可變換3-PRS并聯(lián)機構(gòu)的運動學及動力學仿真研究

孫付偉，陳國強，代 軍，孟凡茂，劉 念

（1.河南理工大學 機械與動力工程學院，焦作 454003；2.河南理工大學 財經(jīng)學院，焦作 454003）

0 引言

隨著工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，并聯(lián)機構(gòu)的應用越來越廣泛，相比于串聯(lián)機構(gòu)，并聯(lián)機構(gòu)具有運結(jié)構(gòu)緊湊、運動慣性小、誤差累計小、承載力大等有點[1,2]。以Stewart為基礎(chǔ)的6自由度并聯(lián)機構(gòu)已經(jīng)廣泛應用于航空航天和工業(yè)生產(chǎn)中，近年來，少自由度并聯(lián)機構(gòu)或混聯(lián)機構(gòu)在工業(yè)生產(chǎn)中的應用也越來越多，而它所具有的運動的特性也成為學者的研究熱點[3～6]。與串聯(lián)機構(gòu)類似，并聯(lián)機構(gòu)也存在者正向運動與逆向運動的求解計算問題，需要建立相應的數(shù)學模型，這也是對少自由度并聯(lián)機構(gòu)的誤差分析、動力學分析等問題解決的基礎(chǔ)[7～9]。ADAMS（Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems）是世界上應用最廣的一種機械系統(tǒng)動力學仿真分析軟件，它能夠?qū)崿F(xiàn)仿真分析復雜機械系統(tǒng)的運動學和動力學性能，僅需幾個小時就可以知道各種設(shè)計方案的樣機是如何工作的，大大提高了工作效率[10,11]。本文以一種可變換3-PRS并聯(lián)機構(gòu)為研究對象，在建立其運動學數(shù)學模型的基礎(chǔ)上，利用動力學仿真軟件ADAMS對其進行運動學和動力學仿真，分析該并聯(lián)機構(gòu)的運動學和動力學特性，驗證求解結(jié)果的準確性。

1 可變換3-PRS并聯(lián)機構(gòu)概述

可變換3-PRS并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，該機構(gòu)主要包含三個驅(qū)動滑塊、三個立柱導軌PiDi（i=1，2，3）、三個在基座上均勻分布的水平導軌AiBi（i=1，2，3）、三個支鏈PiDi（i=1，2，3）、動平臺S1S2S3、刀具和定平臺。刀具垂直安裝在動平臺中心，每一條支鏈包含球面副（S）、連桿、轉(zhuǎn)動副（R）和移動副（P），球面副連接著連桿和動平臺，且在動平臺上均勻分布。在定平臺上建立定坐標系O-XYZ，軸線OX過點A1，O為A2A3的中點。在刀具末端建立動坐標系OT=xyz，坐標系中心OT位于刀尖（或主軸軸端）上，軸線OTx過點S1，軸線OTz沿主軸軸線方向。動平臺S1S2S3的外接圓半徑為r，基座水平導軌內(nèi)側(cè)A1A2A3的外接圓半徑為R，刀尖OT到動平臺中心的距離為h，PiDi的高度為Hi（i=1，2，3），基座滑塊Di（i=1，2，3）到基座中心O'的距離為Ri（i=1，2，3），PiSi與PiDi的夾角為（i=1，2，3）。

可變換3-PRS并聯(lián)機構(gòu)具有3個自由度，分別是繞X和Y軸的轉(zhuǎn)動和沿著Z軸移動，由于分布在基座上的三個調(diào)節(jié)滑塊可調(diào)，可以通過調(diào)節(jié)滑塊改變Di在水平導軌AiBi上的位置，從而改變3-PRS并聯(lián)機構(gòu)的工作空間大小。

2 運動學分析

2.1 逆向運動學分析

可變換3-PRS并聯(lián)機構(gòu)具有3個自由度，因此，并聯(lián)機構(gòu)的位姿獨立參數(shù)有3個，在該并聯(lián)機構(gòu)中，其逆向運動學就是給定末端執(zhí)行器的位姿zT、α和β，求解驅(qū)動滑塊位置H1、H2和H3。歐拉角（Euler）是用來唯一地確定定點轉(zhuǎn)動明體位置的三個一組獨立角參量，在并聯(lián)機構(gòu)中，我們可以用歐拉角和動坐標系原點位置來描述該機構(gòu)動平臺的位姿。這里設(shè)動坐標系OT=xyz繞定坐標系O-XYZ的X軸、Y軸、Z軸的的旋轉(zhuǎn)角度分別為α、β、γ，則旋轉(zhuǎn)矩陣T為：

每個連桿都被約束在固定的空間平面內(nèi)運動，三個平面依次為平面，三個圓柱鉸的平面約束方程為。

根據(jù)可變換3-PRS并聯(lián)機床的結(jié)構(gòu)特點，在定坐標系O-XYZ中，Di與Pi（i-1，2，3）的位置矢量為：

在動坐標系OT=xyz中，球鉸Si（i-1，2，3）的位置矢量為：

圖1 可變換3-PRS并聯(lián)機構(gòu)簡圖

設(shè)動坐標系OT=xyz的原點OT的位置矢量為：

則球鉸Si在定坐標系O=XYZ的位置可以表示為：

由于連桿受到圓柱鉸的平面約束，其僅能在相應的空間平面內(nèi)運動，由式(2)和式(7)可得：

式(8)表明，參數(shù)γ、xT和yT取決于α和β，即它們僅僅取決于平臺的運動方向。若給定zT，α和β，則三個球鉸中心Si在定坐標系O-XYZ的位置可由式(7)求得。

由于連桿的長度li（i=1，2，3）是固定的，旋轉(zhuǎn)鉸在Z軸上的位置可由下式求出：

2.2 正向運動學分析

在可變換3-PRS并聯(lián)機構(gòu)中，其正向運動學就是給定驅(qū)動滑塊位置H1、H2和H3，求解末端執(zhí)行器的位姿，根據(jù)該并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點，給定H1、H2和H3時，在定坐標系O-XYZ中，三個球鉸S1、S2、S3的位置矢量可表示為：

由此，可得動平臺末端位姿（位置坐標和方向坐標）為：

在定坐標系O-XYZ中，圓柱鉸P1、P2、P3的位置矢量為：

在可變換3-PRS-XY串并聯(lián)機構(gòu)中，圓柱鉸只能沿立柱導軌上下運動，因此要滿足如下條件：

由于球鉸在動平臺上均勻分布，因此滿足如下條件：

3 實例仿真分析

3.1 仿真模型的建立

利用PRO/E軟件創(chuàng)建可變換3-PRS三維實體模型，模型建立后，通過ADAMS/View提供的模型數(shù)據(jù)交換接口，將模型導入到ADAMS/View中，通過檢查模型、添加質(zhì)量、修改外觀、添加約束等操作完成模型的建立，如圖2所示。根據(jù)機構(gòu)運動的實際情況創(chuàng)建約束，可變換3-PRS并聯(lián)機構(gòu)由三個驅(qū)動滑塊、三個立柱導軌、三根連桿、一個刀具和一個運動平臺組成，連桿與動平臺通過球面副連接，驅(qū)動滑塊與連桿通過轉(zhuǎn)動副連接，驅(qū)動滑塊與立柱導軌通過移動副連接，加入約束后的可變換3-PRS并聯(lián)機構(gòu)圖如圖3所示。驅(qū)動滑塊的運動作為輸入運動，動平臺末端刀具的運動為輸出運動?？勺儞Q3-PRS并聯(lián)機構(gòu)的仿真模型結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖2 可變換3-PRS并聯(lián)機構(gòu)三維圖

圖3 加入約束機構(gòu)三維圖

表1 仿真模型結(jié)構(gòu)參數(shù)

3.2 運動學仿真

由Kutzbach-Grubler計算公式可求得該并聯(lián)機構(gòu)的自由度為3[12]。為保證建模的正確性和仿真分析的順利進行，利用ADAMS自身的模型自檢功能，檢驗該并聯(lián)機構(gòu)的模型。通過檢驗，所建立模型的自由度為3，無冗余約束。

3.2.1 逆向運動學仿真

可調(diào)變換3-PRS并聯(lián)機構(gòu)進行逆向運動學仿真，就是給定動平臺一定的運動規(guī)律，求解滑塊運動變化規(guī)律。該機構(gòu)只能繞X、Y軸的旋轉(zhuǎn)和沿Z軸的平移，選擇動平臺末端為執(zhí)行關(guān)鍵點，施加點激勵函數(shù)方程為：

設(shè)置仿真參數(shù)，持續(xù)時間為10秒，步數(shù)為500。驅(qū)動滑塊的位移、速度和加速度的變化規(guī)律曲線如圖4～圖6所示。

圖4 滑塊位移變化圖

圖5 滑塊速度變化圖

圖6 滑塊加速度變化圖

3.2.2 正向運動學仿真

可變換3-PRS并聯(lián)機構(gòu)的運動學正解就是將在豎直導軌上作直線運動的滑塊作為輸入運動，求解動平臺的位姿變化。利用ADAMS提供的CUBSPL和AKISPL命令，將前述逆向運動學所求解出的離散數(shù)據(jù)擬合為三個樣條函數(shù)Motion_1、Motion_2、Motion_3，然后分別加載到對應的滑塊上作為輸入運動函數(shù)。所對應的樣條函數(shù)分別為：

Motion_1：AKISPL(time,0,Motion_1,0)；

Motion_2：AKISPL(time,0,Motion_2,0)；

Motion_3：AKISPL(time,0,Motion_3,0)。

驅(qū)動函數(shù)添加完成后，同樣對并聯(lián)機構(gòu)模型進行持續(xù)時間為10秒，步數(shù)為500的運動學仿真，可得到動平臺末端速度、軌跡的變化規(guī)律曲線如圖7和圖8所示，刀尖運動軌跡曲線也是該并聯(lián)機構(gòu)所對應的運動學正解。

圖7 末端速度變化圖

從圖4～圖8可以得知，通過MATLAB模擬得到的機構(gòu)的運動學和動力學仿真結(jié)果與通過ADAMS模擬得到的運動學和動力學仿真結(jié)果基本吻合，證明了對機構(gòu)的運動學和動力學分析結(jié)果是正確的。

3.3 動力學仿真

當加工刀具沿著某一運動軌跡加工零部件時，刀具將受到一定的作用力，進而各個驅(qū)動桿也受到一定的載荷，在完成規(guī)定軌跡運動的過程中，各個驅(qū)動桿所受到的載荷是否符合設(shè)計要求，所受到的載荷變化是否平緩，都將影響到機構(gòu)的設(shè)計與控制。在ADAMS中，按照正向運動仿真的步驟添加驅(qū)動后，修改滑塊、連桿、動平臺的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量和設(shè)置重力加速度，具體數(shù)值如表2所示。通過運行仿真程序，可得到各個滑塊的所受到的載荷變化曲線，如圖9所示，從圖9可以看出，隨著刀具在零部件上的運動，滑塊所受到的載荷變化比較均勻平緩，符合設(shè)計要求。

圖8 末端軌跡圖

圖9 驅(qū)動力變化曲線圖

表2 仿真模型結(jié)構(gòu)參數(shù)

4 結(jié)論

分析了可變換3-PRS并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點，建立了該并聯(lián)機構(gòu)的正向運動學和逆向運動學數(shù)學模型，基于幾何解析法對該并聯(lián)機構(gòu)的正向運動學和逆向運動學進行了求解。

分別運用MATLAB和ADAMS對可變換3-PRS并聯(lián)機構(gòu)進行了運動學求解和仿真，對比二者所得結(jié)果，驗證了該機構(gòu)正向運動學和逆向運動學的正確性。

運用MATLAB和ADAMS對可變換3-PRS并聯(lián)機構(gòu)的動力學進行了求解和仿真，從得到的結(jié)果可以看出，該機構(gòu)運行過程中驅(qū)動力變化平穩(wěn)，具有良好的運動性能，符合該機構(gòu)的設(shè)計要求。