高中數(shù)學(xué)思想方法及其在教學(xué)中的滲透

劉振國

[摘要]現(xiàn)階段很多高中學(xué)生學(xué)不明白高中數(shù)學(xué)，大部分學(xué)生能看明白教材中的內(nèi)容，對于教師講解的知識也基本都能聽明白，但是一進(jìn)入考場解題時就會出現(xiàn)很多問題，其中最主要的原因就是缺乏必要的數(shù)學(xué)思想方法，導(dǎo)致學(xué)生在考場沒有解題思路，因此，要求學(xué)生靈活掌握數(shù)學(xué)思想方法是必要的。高中數(shù)學(xué)思想方法是分析、處理和解決問題的策略，是高中數(shù)學(xué)知識體系的精髓與靈魂，同時也是對高中數(shù)學(xué)知識最高層次的概括與提煉。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對思想方法的教學(xué)滲透意義重大。

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué);思想方法;教學(xué);滲透

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)是讓學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)知識，并且能夠?qū)⑺鶎W(xué)的知識靈活應(yīng)用，這就需要高中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中要注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

一、高中數(shù)學(xué)七大基本思想方法

1.函數(shù)與方程思想

第一，函數(shù)思想是用變化的觀點解決實際問題中的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)具體問題建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合相關(guān)的函數(shù)知識解決問題的思想。在研究方程、不等式、數(shù)列和解析幾何等內(nèi)容時，把函數(shù)思想應(yīng)用于其中。第二，方程思想是分析高中數(shù)學(xué)問題中變量間的相等關(guān)系，解決相關(guān)計算問題的基本思想，高考將函數(shù)與方程思想作為重點來考查。

2.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)研究的對象就是數(shù)與形兩個方面，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法就是根據(jù)數(shù)與形之間的相互關(guān)系，在處理數(shù)學(xué)問題時運用數(shù)與形之間的彼此互換來解決問題的思想方法。在初中學(xué)習(xí)的一維空間中，將實數(shù)與數(shù)軸上的點建立了一一對應(yīng)關(guān)系;而在學(xué)習(xí)二維空間中，又將這種一一對應(yīng)的關(guān)系創(chuàng)立在實數(shù)對（x，y）與坐標(biāo)平面上的點;在高中階段學(xué)習(xí)了三維空間，又將數(shù)對（x，y，z）與空間中的點建立了一一對應(yīng)的關(guān)系。在高考數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用中，對數(shù)到形的轉(zhuǎn)化的考察主要體現(xiàn)在選擇、填空題上，而對學(xué)生推理論證是否嚴(yán)密的考察則是在解答題中體現(xiàn)的，并且突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化考察。

3.分類與整合思想

分類與整合的思想方法是解決高中數(shù)學(xué)問題的基本邏輯方法，對如何選擇適合的分類標(biāo)準(zhǔn)，要根據(jù)題目而定。分類與整合思想的本質(zhì)屬性是先分再合，當(dāng)教師側(cè)重檢查學(xué)生數(shù)學(xué)思維是否嚴(yán)謹(jǐn)與周密時，就可把分類與整合思想的研究運用在含字母參數(shù)的數(shù)學(xué)題目上。

4.化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想要求學(xué)生在處理數(shù)學(xué)問題時要具備化繁為簡和化難為易的能力。一般與特殊的轉(zhuǎn)化、繁與簡的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、命題的等價轉(zhuǎn)化等這些數(shù)學(xué)思想常用方法在高考中都是檢驗學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容。

5.特殊與一般思想

在處理數(shù)學(xué)問題時，首先應(yīng)著手特殊問題，由表及里，層層深入。從問題的表面現(xiàn)象揭示其本質(zhì)規(guī)律，并以此由特殊推廣到一般，在解決特殊問題的實踐中總結(jié)、形成解決一般問題的理論，解決其他特殊問題時可以加以指導(dǎo)。在近幾年的高考中，對學(xué)生特殊與一般思想加大了考查力度。

6.有限與無限的思想

將對無限的研究轉(zhuǎn)化為對有限的研究，是解決無限問題的必由之路。當(dāng)積累了解決無限問題的經(jīng)驗后，可以將有限的問題轉(zhuǎn)化成無限來解決。在高中階段立體幾何中，對球的表面積公式和體積公式的推導(dǎo)過程正是運用了這一思想：先對球進(jìn)行有限次分割，然后再求和，求極限。

7.或然與必然的思想

隨機(jī)事件的產(chǎn)生是隨機(jī)的，而事件產(chǎn)生的頻率是不變的，這要求學(xué)生能夠在偶然事件中尋找到必然規(guī)律，再用必然規(guī)律去解決出現(xiàn)的偶然事件。高中階段的等可能性事件的概率、互斥事件發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、對立重復(fù)試驗、隨機(jī)事件的分布列、數(shù)學(xué)期望等都是高考的重點考查內(nèi)容。

二、高中數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透

教師想要提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力，在數(shù)學(xué)教學(xué)中就要滲透數(shù)學(xué)思想方法。教師可以在課堂教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法。在講解數(shù)學(xué)概念時，可采用數(shù)形結(jié)合法，讓學(xué)生借助圖形的形象直觀性來理解概念，這樣做可加深學(xué)生對概念的理解。在數(shù)學(xué)公式的講解中，也可以運用數(shù)學(xué)思想方法。在解題過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，能提高學(xué)生的解題能力，運用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問題可以優(yōu)化解題策略，提高學(xué)生解題速度。

1.函數(shù)與方程的思想方法

方程的思想是通過解析式將變量間的關(guān)系表示出來，函數(shù)與方程之間有著必然的聯(lián)系，如方程f（x）=0的解就是函數(shù)y= f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)。高中數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)繁雜，而其中的一條主線就是函數(shù)與方程思想，函數(shù)教學(xué)自始至終貫穿高中數(shù)學(xué)，也是高考必考內(nèi)容，分為高、中、低三個難度檔次。

例：當(dāng)x∈[-2，1]時，不等式ax3-x2+4x+3 ≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

本例題在恒成立的條件下求參數(shù)a的取值范圍，教學(xué)過程中要注意引導(dǎo)學(xué)生將參數(shù)a分離出來，這樣此問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間的最值問題，然后運用函數(shù)單調(diào)性及其相關(guān)性質(zhì)求出最值，此問題也就得以解決。

函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想是解決高中數(shù)學(xué)問題的一種很常用的方法，它主要表現(xiàn)在兩個方面： 第一，建立函數(shù)關(guān)系或者構(gòu)造出新函數(shù)，將所要求的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的問題解決;第二，利用一些基本初等函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決有關(guān)解方程、不等式或求參數(shù)取值范圍等問題。

2.數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)形結(jié)合的思想方法是把抽象的字母和符號與直觀的圖形結(jié)合，實現(xiàn)數(shù)與形間的相互轉(zhuǎn)化。使用數(shù)形結(jié)合的思想方法既直觀又形象，還可以使很多較難的問題簡單化。解決高中數(shù)學(xué)題目時，常常會使用數(shù)形結(jié)合的思想方法。比如，求函數(shù)的最值、解方程等問題。另一方面，數(shù)形結(jié)合的思想方法也可以運用到高考中，尤其是處理某些抽象的選擇題與填空題，在速度與準(zhǔn)確率方面比較有優(yōu)勢。

本例題常規(guī)的解法是去分母，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的形式，然后利用三角函數(shù)的有界性求出y的范圍，但是，這種常規(guī)方法計算起來很復(fù)雜，計算量很大。因此，在教學(xué)過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，將此問題與圖形結(jié)合起來，轉(zhuǎn)化為求A（3，2）和點B（cos x，- sin x）所確定的直線的斜率的最值問題來解決，再結(jié)合圖形的直觀性來分析就更簡單了，這樣就將問題簡單化了，既容易理解，又容易計算。

在運用數(shù)形結(jié)合的方法解題時，圖形要準(zhǔn)確，這樣才能讓學(xué)生快速準(zhǔn)確找到解決問題的方法。當(dāng)然，問題的最終解決離不開準(zhǔn)確的運算。

3.分類討論的思想方法

分類討論的數(shù)學(xué)思想方法是教師在教學(xué)過程中常常用到的一種重要的方法。教師在日常教學(xué)中經(jīng)常會遇到這樣的問題：這些問題并不能進(jìn)行統(tǒng)一研究，但是局部和整體之間又有著一定的關(guān)系。這樣的問題可通過分類討論的方法按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，再對每個局部進(jìn)行研究，最后綜合各類的結(jié)果得到整個問題的答案。分類討論是高中數(shù)學(xué)思想方法中相當(dāng)重要的組成部分，在高考中，分類討論這方面的數(shù)學(xué)問題一直都占據(jù)著重要地位。

例：已知函數(shù)f（x）=In x+a（1-x），討論f（x）的單調(diào)性。

本題是含有字母參數(shù)的函數(shù)確定其單調(diào)性，一般要根據(jù)字母的取值范圍進(jìn)行分類討論，其方法是以函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點為分界點，把定義域劃分為若干個區(qū)間，在不同區(qū)間上確定導(dǎo)數(shù)的符號，對極值的確定也要根據(jù)字母的取值進(jìn)行討論。一般地，如果遇到問題的條件就是分類給出的、問題中含有參數(shù)變量、幾何問題中位置變化的或以分段形式給出的數(shù)學(xué)公式等問題時，要進(jìn)行分類求解。分類討論的原則是分類對象確定，分類標(biāo)準(zhǔn)一致，做到不重不漏，最后還要歸納總結(jié)出結(jié)論。

以上介紹的幾種數(shù)學(xué)思想方法是高中數(shù)學(xué)中常常用到的數(shù)學(xué)思想方法，如果學(xué)生能熟練掌握這些數(shù)學(xué)思想方法，并能夠靈活運用，一定能提高自己的數(shù)學(xué)成績，從而使高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加容易。教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的任何一個環(huán)節(jié)都應(yīng)該注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透，學(xué)生掌握好了高中數(shù)學(xué)思想方法，一定會受益終生。

參考文獻(xiàn)：

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[2]羅增儒，李文銘.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2003.

（責(zé)任編輯 馮 璐）