高中數(shù)學“數(shù)列”教學中的核心素養(yǎng)培育元素思考

郭嵐

[摘? 要] 核心素養(yǎng)的培育途徑，在于堅持知識建構(gòu)的傳統(tǒng)，并在其中發(fā)掘核心素養(yǎng)培育的元素. 數(shù)列作為重要知識點之一，在定義、項、一般形式、通項公式、分類的教學中，存在著豐富的核心素養(yǎng)培育元素，基于學生的學習過程發(fā)掘這些元素，可以讓傳統(tǒng)教學與核心素養(yǎng)培育有效對接，從而實現(xiàn)核心素養(yǎng)培育的目標.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學;數(shù)列;核心素養(yǎng);培育元素

核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學課堂，面臨的一個基本問題是：核心素養(yǎng)如何與知識教學更好地銜接起來？這個問題具有現(xiàn)實性，因為無論什么樣的教學背景，都無法改變數(shù)學教學需要讓學生建構(gòu)數(shù)學知識及其體系的基本任務，任何其他任務包括核心素養(yǎng)培育在內(nèi)，都需要依附在這個基本任務之上. 很顯然，教師具有核心素養(yǎng)培育意識，真正在知識建構(gòu)的過程中發(fā)掘出核心素養(yǎng)培育的元素，就顯得十分重要. 所謂核心素養(yǎng)培育元素，其實就是在傳統(tǒng)教學的基礎上，尋找核心素養(yǎng)培育可能的機會、載體等，下面以“數(shù)列”這一知識的教學為例，來進行詳細的說明.

[?]核心素養(yǎng)培育元素的發(fā)掘必要性

可以肯定的是，核心素養(yǎng)的培育，不是在原有教學習慣上的簡單嫁接，更不是在原有教學的某些環(huán)節(jié)上貼上核心素養(yǎng)的標簽. 高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)由數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等六個要素組成，固然在傳統(tǒng)的教學中客觀上也存在這些過程，但如果說僅僅是在原有基礎上貼標簽，那核心素養(yǎng)的培育肯定會失之于空、失之于假. 而在傳統(tǒng)教學的基礎上，發(fā)掘并發(fā)現(xiàn)核心素養(yǎng)培育的元素存在，并基于學生的認知規(guī)律與核心素養(yǎng)培育需要進行教學設計與實施的優(yōu)化，才是銜接傳統(tǒng)教學與核心素養(yǎng)培育需要的根本途徑. 因此，核心素養(yǎng)培育元素的發(fā)掘是必要的.

而從數(shù)學學科核心素養(yǎng)培育的角度來看，數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等六個要素往往也不是獨立存在的，不是說教學中的某個過程是在進行數(shù)學抽象，另一個過程是在邏輯推理，更多時候，這些要素是共同存在、互相交織的，這就意味著教師的教學實施需要根據(jù)實際情形來進行，而不是肢解學生的學習過程. 因此核心素養(yǎng)的培育，應當是一個從學生的學習過程走向核心素養(yǎng)培育的過程，而不是從教師的核心素養(yǎng)培育需要去肢解學生的學習過程. 但核心素養(yǎng)培育又是一個新生事物，教師不可能只期待核心素養(yǎng)的自然生成，而應當將核心素養(yǎng)的培育作為教學研究的一個出發(fā)點與落腳點，并思考學生的學習過程中存在著的更多的核心素養(yǎng)培育的機會，因此從這個角度講，挖掘核心素養(yǎng)培育元素也是必要的.

因此我們認為，挖掘?qū)嶋H教學中的核心素養(yǎng)培育元素，實際上是將核心素養(yǎng)培育的“理論可能性”轉(zhuǎn)化為“實踐可能性”的重要舉措. 數(shù)列是高中數(shù)學知識體系中的重要知識點之一，當學生的研究對象從單個的“數(shù)”變成“數(shù)列”時，需要的是思路上的轉(zhuǎn)變，需要的是觀念的建構(gòu). 由于數(shù)列本身就是一個抽象的概念，而學生建立這個概念又不大可能完全基于數(shù)的關(guān)系去進行，因此必要的數(shù)學抽象過程是必須呈現(xiàn)給學生的;數(shù)列本身的規(guī)律以及數(shù)列的一般形式的書寫，顯然是邏輯推理的產(chǎn)物;數(shù)列本身就是描述事物規(guī)律與關(guān)系的載體，其是可以作為數(shù)學模型存在的. 至于直觀想象、數(shù)學運算與數(shù)據(jù)分析，實際上鑲嵌在數(shù)學抽象、邏輯推理與數(shù)學建模的過程中，限于篇幅，這里不一一贅述.

[?]“數(shù)列”教學中核心素養(yǎng)元素發(fā)掘例析

沿襲數(shù)學教學的傳統(tǒng)，筆者以為數(shù)列這一知識的教學中，教師需要關(guān)注這樣的幾個基本問題：一是數(shù)列的定義;二是數(shù)列的“項”;三是數(shù)列的一般形式;四是數(shù)列的通項公式;五是數(shù)列的分類. 其中，數(shù)列的一般形式、通項公式以及分類是教學的重點. 從知識建構(gòu)的角度來看，教師的教學重心顯然會直接放在這三個方面，并通過具體的實例來讓學生理解何為一般形式，何為通項公式，如何分類. 而從核心素養(yǎng)培育元素的發(fā)掘角度來看，筆者則以為要進行如下幾點思考：

其一，數(shù)學抽象、直觀想象應當存在于數(shù)列的定義以及一般形式的教學中. 數(shù)列定義的前提是學生對數(shù)列有所感知，因此教師要提供感知對象，例如教師可以給學生提供一個數(shù)軸，然后讓學生去發(fā)現(xiàn)數(shù)軸上的數(shù)與數(shù)之間存在的“一定次序”，那學生很容易發(fā)現(xiàn)整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、三倍數(shù)……等，將它們逐個提取出來（可以借助于現(xiàn)代教學手段直觀顯現(xiàn)），那就可以得到一個個數(shù)列;教師還可以給學生提供三角形數(shù)（1，3，6，10…）或正方形數(shù)（1，4，9，16…）等. 在這樣的直觀感知的基礎上，讓學生進一步進行直觀想象，那就可以完成一個從直觀想象對象到數(shù)列定義的抽象過程，其后在用數(shù)學語言描述數(shù)列的時候，學生對“按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列”等表述就容易理解了.

其二，數(shù)列的項與一般形式、通項公式的教學中存在著豐富的邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)元素. 數(shù)列的項的表達形式通常是an，其表示的是某數(shù)列中的第n項，由于n可以在一定范圍內(nèi)任意取值，因此具有一般意義，這是一個簡單的邏輯推理，教學中不要刻意強調(diào)，學生自然能夠理解并接受;而數(shù)列的{an}的表示方式則具有一定的挑戰(zhàn)性，因為作為數(shù)列的一般形式的簡寫形式，其表示的是數(shù)列及項的定義，其與數(shù)在數(shù)列中所處的序號有沒有關(guān)系，數(shù)列中的項是否可以重復等，這些學生容易產(chǎn)生的問題，往往都需要通過邏輯推理或數(shù)學運算來加以解決. 至于數(shù)列的通項公式，是最需要進行邏輯推理的，譬如給出數(shù)列1，0，1，0…，其通項公式可能是什么呢？初學者可能要通過試錯的方式進行，而最終得到諸如an=或an=

cosπ

時，學生已經(jīng)經(jīng)歷了多遍邏輯推理的過程，邏輯推理的能力自然得到了培養(yǎng).

其三，數(shù)列的分類本質(zhì)上是學生對數(shù)列這一模型深度加工的產(chǎn)物. 數(shù)列的分類在數(shù)列這一知識的教學中至關(guān)重要，其具有承上啟下的作用，學生后面對具體數(shù)列的研究與分析，都是建立在對數(shù)列準確分類的基礎之上的. 同時應當注意到，數(shù)列的分類是以對數(shù)列本身的準確認識為基礎的，開始對數(shù)列進行分類，意味著就是對原有數(shù)列模型的深度耕耘. 由于這是學生已有的學習經(jīng)驗，學生自然知道分類標準不同，分類的結(jié)果就不同，那在數(shù)列的分類中，可以怎樣分類呢？這仍然需要邏輯推理，需要直觀想象，比如常數(shù)數(shù)列、有窮數(shù)列與無窮數(shù)列往往就是直觀想象能力運用的結(jié)果，而對于一些稍微復雜一些、憑著直觀想象難以獲得結(jié)果的數(shù)列，則需要進行邏輯推理，如遞增、遞減數(shù)列等.

挖掘到上述元素，在實際教學中就可以基于這些元素進行重點教學. 如在寫數(shù)列的通項公式的時候，教師提供的數(shù)列可以具有一定的多樣性，如筆者給學生提供的有：3，5，9，17，33，…;，，，，…;2，-6，12，-20，30，-42，…等，這些數(shù)列的通項公式的得出，需要學生先進行直觀想象，然后通過邏輯推理來驗證自己的想象結(jié)果是否正確，如果正確則完成下一題，如果錯誤則需要重新進行一次循環(huán)，直到得出正確結(jié)果. 實踐表明，當學生在學習過程中能夠順利地寫出一個數(shù)列的通項公式時，往往具有一種類似于高難度的證明題獲得證明一樣的高峰體驗，這種體驗可以強化學生對數(shù)學學習的興趣，從而提升其對數(shù)學課程的理解，顯然這也是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的一部分.

而在數(shù)列的相關(guān)變式訓練中，也可以尋找到數(shù)學學科核心素養(yǎng)培育的元素，如告訴學生某數(shù)列的第一項值為2，且an+1=2an，要學生寫出該數(shù)列的前5項并寫出an. 這就是數(shù)列知識的變式訓練的常見方式，其需要學生在已經(jīng)掌握的數(shù)列知識上進行反向推理與運用，豐富的邏輯推理過程可以保證學生的邏輯推理能力進一步養(yǎng)成，而對問題的解決（包括數(shù)學運算與數(shù)據(jù)分析）又會豐富學生對數(shù)列模型的理解. 同時，這也是數(shù)學學科核心素養(yǎng)培育元素共同存在于一個學習過程的典型例證.

[?]核心素養(yǎng)培育元素的發(fā)掘注意點

在數(shù)列這一知識的教學中，核心素養(yǎng)培育自然成為數(shù)列知識建構(gòu)與理解之外的另一個教學重點，作為一個相對新興的事物，教師在數(shù)學學科核心素養(yǎng)培育元素的發(fā)掘過程中，筆者以為還是有一些注意點的，簡述兩點：

第一，防止知識建構(gòu)與核心素養(yǎng)培育過程中的本末倒置現(xiàn)象. 近二十年的課程改革帶給我們的最大教訓就是對傳統(tǒng)的無端顛覆，其中尤以數(shù)學學科教學為甚. 課程改革之所以受到深度反思，數(shù)學學科教學中出現(xiàn)的問題不可忽視，其中的典型問題之一，就是為了追求所謂的“新”而忽視了數(shù)學學科的基本規(guī)律. 數(shù)學教學，肯定是要以數(shù)學知識建構(gòu)為基礎的，忽視了這個基礎，任何三維目標的達成，任何核心素養(yǎng)的培育，都是空話.

第二，核心素養(yǎng)培育應當是依附于知識教學的. 如上一點，當強調(diào)了知識建構(gòu)的基礎之后，尋找其中存在著的核心素養(yǎng)培育元素，并將這些元素轉(zhuǎn)化為教學中的有機組成部分，可以讓學生在建構(gòu)知識的同時，領略到數(shù)學學科自身的特質(zhì)，從而強化其對數(shù)學課程的理解.

總之，高中數(shù)列這一知識的教學中，核心素養(yǎng)培育元素是存在的，實踐中是需要悉心發(fā)掘并與知識建構(gòu)這一傳統(tǒng)對接的，對接成功，核心素養(yǎng)的培育就成為現(xiàn)實了.