帶鋼熱連軋機(jī)工作輥動(dòng)態(tài)溫度場(chǎng)仿真與冷卻工藝優(yōu)化

孫業(yè)中 劉國(guó)勇 孫長(zhǎng)福 李曉杰 宋 鳴

(1:上海寶鋼股份有限公司 上海201900；2:北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 北京100083)

1 前言

在帶鋼熱軋生產(chǎn)過(guò)程中，由于工作輥所受熱載荷及冷卻散熱條件的空間分布不均勻，造成了工作輥沿各個(gè)方向溫度分布的不均勻。其中，軋輥溫度軸向分布的不均勻及其在軋制過(guò)程中的動(dòng)態(tài)變化，將通過(guò)軋輥的熱膨脹及其動(dòng)態(tài)變化改變軋輥的在線輥形并影響承載輥縫形狀，從而影響帶鋼的板形。因此，研究帶鋼熱軋過(guò)程工作輥的熱行為，對(duì)于提高產(chǎn)品板形質(zhì)量以及厚度與表面質(zhì)量、改善軋輥的表面磨損行為都具有重要意義。

近些年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開展了大量的相關(guān)研究工作。國(guó)際上，Ginzburg等用二維有限差分模型研究了邊界條件、熱交換系數(shù)以及各種設(shè)計(jì)參數(shù)(冷卻水流速、壓力等)對(duì)工作輥溫度的影響[1]。Saboonchi等建立了二維有限差分模型，研究了冷卻水噴射的幾何參數(shù)，包括噴嘴角度、噴嘴到工作輥距離、噴嘴類型等對(duì)工作輥溫度場(chǎng)的影響[2]。Abbaspour 等研究了帶鋼寬度、帶鋼溫度、間隙時(shí)間、壓下量等對(duì)工作輥溫度場(chǎng)的影響[3]。在國(guó)內(nèi)，Xuan-li Zhang等利用有限差分法建立了軋輥的二維軸對(duì)稱模型，研究了帶鋼寬度和竄輥對(duì)工作輥熱輥形的影響[4]。Lian-sheng WANG等采用一種二維交替差分的新方法建立了工作輥的二維熱凸度模型，并且研究了軋制節(jié)奏和帶鋼寬度對(duì)于工作輥熱凸度的影響[5]。Chang-Sheng Li等通過(guò)有限元方法建立了工作輥的三維溫度場(chǎng)模型，研究了工作輥表面溫度在軋制過(guò)程的變化規(guī)律，其計(jì)算結(jié)果得出工作輥在軋制過(guò)程的最高溫度為593℃[6]。Ning-tao Zhao等研究了在軋制無(wú)取向硅鋼過(guò)程中，軋制速度和竄輥對(duì)工作輥溫度場(chǎng)和熱輥形的影響[7]。東北大學(xué)的史靜對(duì)于工作輥橫移策略、熱軋過(guò)程摩擦熱和變形熱、周圍介質(zhì)間熱交換系數(shù)、帶鋼溫度分布對(duì)工作輥溫度的影響做出了研究[8]。北京科技大學(xué)張鵬雁對(duì)于軋件寬度、軋件溫度、軋制節(jié)奏、環(huán)境溫度等對(duì)工作輥溫度的影響進(jìn)行了研究[9]?？紫閭ゲ苫贏NSYS有限元軟件，對(duì)工作輥的溫度場(chǎng)進(jìn)行了仿真，動(dòng)態(tài)分析了熱軋時(shí)工作輥的升溫過(guò)程[10],郝龍等人利用有限差分法建立工作輥溫度場(chǎng)及熱變形的數(shù)學(xué)模型,并利用 VC++平臺(tái)進(jìn)行模擬研究,建立適合在線計(jì)算的快速模擬軟件[11],孔繁博對(duì)首鋼某熱軋1580生產(chǎn)線工作輥冷卻方式進(jìn)行改造, 從而獲得較好的工作輥熱凸度輪廓曲線，軋制出板形和表面質(zhì)量良好的帶鋼產(chǎn)品[12],婁蕾完善了包含熱凸度模型和磨損模型的板形程序，利用熱凸度和磨損與板凸度的關(guān)系，結(jié)合首秦現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)熱凸度模型和磨損模型進(jìn)行了驗(yàn)證，模型計(jì)算值與實(shí)測(cè)值吻合良好，充分說(shuō)明了模型的準(zhǔn)確性[13]。

綜合文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，以往的研究沒有對(duì)軋制工藝參數(shù)、冷卻系統(tǒng)參數(shù)等對(duì)工作輥輥溫變化規(guī)律及軸向輥溫分布的影響進(jìn)行系統(tǒng)的研究。本文基于ANSYS有限元軟件，建立工作輥二維非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的計(jì)算模型，探討上輥、下輥輥溫的差異，入口與出口水量分配比例、軋制速度、初始輥溫分布等對(duì)輥溫的影響。通過(guò)設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)，采用直觀分析和方差分析方法，研究入口與出口水量分配比例、軋制速度、工作輥中部與邊部的水流密度比值對(duì)工作輥軸向輥溫分布的影響程度，并在此基礎(chǔ)上得到最優(yōu)的工藝條件。

2 有限元模擬

2.1邊界條件

根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)條件，上工作輥圓周方向的熱交換過(guò)程可等效為 10 個(gè)區(qū)域，如圖1 所示。每個(gè)區(qū)域的熱交換形式如表1所示。

圖1 上工作輥邊界條件

區(qū)域換熱形式AB工作輥與帶鋼的接觸傳熱BC、JA工作輥與空氣的對(duì)流傳熱以及帶鋼的輻射傳熱DC、JI擋水板間的積水換熱DE、HI冷卻水與工作輥的強(qiáng)制對(duì)流換熱EF、GH工作輥與空氣的對(duì)流換熱GF工作輥與支撐輥間的接觸傳熱

下工作輥圓周方向的熱交換過(guò)程可等效為8 個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域的熱交換形式,如圖2 表2所示。

圖2 下工作輥邊界條件

區(qū)域換熱形式AB工作輥與帶鋼的接觸傳熱BC、HA工作輥與空氣的對(duì)流傳熱以及帶鋼的輻射傳熱CD、GH冷卻水對(duì)工作輥的強(qiáng)制對(duì)流換熱DE、FG工作輥與空氣的對(duì)流換熱以及流水對(duì)工作輥的冷卻EF工作輥與支撐輥間的接觸傳熱

本文邊界條件的換熱系數(shù)主要參考相關(guān)文獻(xiàn)[14-20]進(jìn)行計(jì)算。

2.2有限元模型的建立

軋輥溫度場(chǎng)是一個(gè)三維非穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。在軋制過(guò)程中，軋輥軸向、徑向和周向的溫度都要發(fā)生變化。求解工作輥的溫度場(chǎng)應(yīng)該從分析工作輥的三維溫度場(chǎng)變化出發(fā)，但這會(huì)成倍增加求解的復(fù)雜性和求解的計(jì)算量。為提高求解速度，滿足計(jì)算精度，本文基于ANSYS有限元軟件，建立了兩種溫度場(chǎng)模型，在分析軋輥內(nèi)部不同深度處溫度變化時(shí)，采用徑向有限元模型，不考慮軸向傳熱；另外建立了軋輥軸對(duì)稱溫度場(chǎng)模型，忽略周向傳熱，主要是進(jìn)行軋輥軸向溫度分布規(guī)律的研究。

2.2.1 工作輥橫截面內(nèi)溫度場(chǎng)模型 為了研究圓周方向冷卻水系統(tǒng)布置對(duì)軋輥溫度場(chǎng)的影響，有必要建立工作輥橫截面內(nèi)溫度場(chǎng)計(jì)算模型。忽略工作輥軸向的熱傳導(dǎo)，只考慮徑向和周向的熱傳導(dǎo)，利用ANSYS軟件，取垂直于軋輥軸向某一截面進(jìn)行分析研究，選取Plane55單元，建立工作輥徑向溫度場(chǎng)有限元模型，如圖3所示。由于軋輥熱量的交換主要發(fā)生在其表面，即表面熱梯度較大，因此對(duì)軋輥表面層網(wǎng)格進(jìn)行徑向加密。

為了能夠真實(shí)的反應(yīng)軋制過(guò)程中工作輥的旋轉(zhuǎn)過(guò)程，在進(jìn)行加載時(shí)，將工作輥模型固定不動(dòng)，給定一個(gè)與工作輥旋轉(zhuǎn)方向相反的速度進(jìn)行加載。施加了這種反向的邊界條件，就可得到工作輥真實(shí)的瞬態(tài)溫度場(chǎng)。

圖3 工作輥徑向有限元模型

2.2.2 工作輥軸對(duì)稱溫度場(chǎng)模型

建立工作輥軸對(duì)稱溫度場(chǎng)模型對(duì)于研究工作輥軸向的溫度場(chǎng)分布是有幫助的。忽略工作輥圓周方向的熱傳導(dǎo)，通過(guò)ANSYS有限元軟件，采用Plane55單元，建立工作輥軸對(duì)稱平面溫度場(chǎng)模型，如圖4所示。由于工作輥表面和與帶鋼接觸區(qū)域溫度梯度較大，將這部分網(wǎng)格加密。

在對(duì)軸對(duì)稱模型進(jìn)行加載時(shí)，根據(jù)工作輥圓周方向的邊界條件，針對(duì)每個(gè)區(qū)域的角度以及工作輥轉(zhuǎn)速，計(jì)算出工作輥在該區(qū)域的加載時(shí)間，然后根據(jù)加載時(shí)間和邊界條件對(duì)模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)加載。

圖4 工作輥軸向溫度場(chǎng)有限元模型

3 工作輥溫度場(chǎng)的關(guān)鍵影響因素及其影響規(guī)律仿真研究

針對(duì)某鋼廠2250生產(chǎn)線，對(duì)精軋機(jī)工作輥溫度場(chǎng)進(jìn)行研究，平均軋制節(jié)奏為73s / 60s(軋制時(shí)間 / 間歇時(shí)間)。

3.1上輥與下輥上機(jī)輥溫差異的影響

以F2機(jī)架為研究對(duì)象，利用徑向模型計(jì)算上輥、下輥的溫度。圖5為軋制過(guò)程中，軋輥旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間內(nèi)，上工作輥及下工作輥表面節(jié)點(diǎn)溫度的變化情況。從圖5中可以看出，在軋制過(guò)程中，上工作輥的表面溫度比下工作輥的表面溫度高，這是上輥及下輥不同的冷卻條件導(dǎo)致的。由于下輥沒有擋水板的遮擋作用，擋水板的積水換熱變成冷卻水的流水換熱；另外上輥的冷卻水在軋鋼時(shí)會(huì)落到下輥上，也會(huì)加強(qiáng)下工作輥的冷卻效果。

圖5 上工作輥及下工作輥軋制期間表面溫度比較

圖6為上工作輥及下工作輥的下機(jī)實(shí)測(cè)溫度比較，考慮到對(duì)稱性，只測(cè)量輥身長(zhǎng)度的1/2，每隔100mm測(cè)一點(diǎn)，下文皆同。從圖6中可以看出，與下工作輥相比，上工作輥的下機(jī)實(shí)測(cè)溫度整體要高，這也印證了下工作輥的冷卻效果要好于上工作輥的冷卻效果。

圖6 上工作輥及下工作輥下機(jī)實(shí)測(cè)溫度比較

在現(xiàn)有的技術(shù)方案下，上輥及下輥的冷卻噴嘴布置方式普遍均一致，上輥及下輥的冷卻水量一致?；谏鲜鲇?jì)算分析，可將下工作輥的冷卻水量適當(dāng)減小，可達(dá)到節(jié)約水量的效果。

3.2入口與出口水量分配比例的影響

工作輥圓周方向冷卻水流量的分配比例對(duì)工作輥的冷卻有著很大的影響。以F1機(jī)架為研究對(duì)象，結(jié)合建立的計(jì)算模型對(duì)六種分配比例(入口側(cè)25%，出口側(cè)75%；入口側(cè)20%，出口側(cè)80%；入口側(cè)17%，出口側(cè)83%；入口側(cè)14%，出口側(cè)86%；入口側(cè)12%，出口側(cè)88%；入口側(cè)0%，出口側(cè)100%)進(jìn)行了計(jì)算。

圖7為六種入出口水量分配比例的工況下，工作輥旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中表面溫度的變化情況。六種工況下，工作輥上升的最高溫度都是在 520℃左右，但是出口側(cè)工作輥表面冷卻到的最低溫度有所不同。當(dāng)出口側(cè)分配比例為100%時(shí)，工作輥表面溫度最低能降到86℃，其它5種分配比例下，工作輥下降到的最低溫度分別為96℃、97℃、100℃、106℃、117℃。為了縮短輥面處于高溫狀態(tài)的時(shí)間，控制氧化膜厚度，必須盡快使輥面溫度降下來(lái)，通過(guò)加大出口側(cè)冷卻水量、減少入口側(cè)水量來(lái)加強(qiáng)工作輥的冷卻效果。

圖7 工作輥溫度與出入口水量分配比例的關(guān)系

圖8和圖9分別為12%：88%的入出口水量比例和0%：100%的入出口水量比例兩種情況下，工作輥的下機(jī)溫度云圖。通過(guò)比較，兩種情況下工作輥表面溫度相差不大，都在63℃左右，可以看出，關(guān)閉入口水不會(huì)對(duì)工作輥的溫度產(chǎn)生不良影響。因此，可以考慮關(guān)閉入口水，只開出口水的方式，迅速將工作輥表面的熱量散失掉，縮短輥面處于高溫狀態(tài)的時(shí)間，有利于維護(hù)工作輥輥面氧化膜，減少帶鋼表面氧化鐵皮缺陷。

圖8 12%：88%的入出口水量比例的下機(jī)輥溫云圖

圖9 0%：100%的入出口水量比例的下機(jī)輥溫云圖

3.3軋制速度的影響

在其它軋制條件相同的情況下，模擬工作輥速度分別為1.2m/s、2.2m/s、3.2m/s時(shí)的工作輥溫度。圖10—圖12為不同工作輥速度條件下，距工作輥輥面不同深度處節(jié)點(diǎn)溫度的變化曲線?？梢钥闯?，軋制速度越慢，工作輥表面溫度越高， 原因是軋制速度越慢，工作輥與軋件接觸的時(shí)間越長(zhǎng)，工作輥吸收的熱量越多。同時(shí)，距表面越深的區(qū)域，溫度變化受軋制速度的影響越小，在距表面2mm以內(nèi)的區(qū)域，受軋制速度影響大；對(duì)距表面深度大于2 mm處的區(qū)域，影響較小?？梢钥闯?，軋制速度的影響具有“淺層效應(yīng) ”。

圖10 軋制速度為1.2m/s時(shí)的工作輥溫度

圖11 軋制速度為2.2m/s時(shí)的工作輥溫度

圖12 軋制速度為3.2m/s時(shí)的工作輥溫度

3.4初始輥溫分布的影響

對(duì)工作輥中部與邊部初始溫差分別為0℃、20℃、40℃三種情況進(jìn)行輥溫的計(jì)算。圖13—圖15分別為軋制第3塊、第5塊、第10塊帶鋼時(shí)三種初始輥溫分布情況下的工作輥軸向溫度。可以看出，隨著軋制帶鋼塊數(shù)的增加，初始輥溫的不同對(duì)于工作輥軸向溫度的影響越來(lái)越小。工作輥軸向溫度分布在經(jīng)過(guò)軋制5塊帶鋼即可穩(wěn)定。在軋制第10塊帶鋼時(shí)，在軋制區(qū)域內(nèi)，三種初始輥溫情況下的工作輥軸向溫度分布幾乎一致，最大溫差在1℃以內(nèi)。

圖13 軋制第3塊帶鋼時(shí)不同初始輥溫條件的軸向輥溫

由此可知，隨軋鋼塊數(shù)的增加，初始輥溫分布對(duì)于工作輥軸向溫度的影響越來(lái)越小，最終趨于一致。

圖14 軋制第5塊帶鋼時(shí)不同初始輥溫條件的軸向輥溫

圖15 軋制第10塊帶鋼時(shí)不同初始輥溫條件的軸向輥溫

4 工作輥軸向溫度分布的冷卻調(diào)控工藝優(yōu)化

4.1正交優(yōu)化試驗(yàn)設(shè)計(jì)

在帶鋼軋制時(shí)，工作輥中部受熱最大，散熱最差，因此工作輥中部的熱凸度一般最大。若軸向輥溫分布不合理，會(huì)導(dǎo)致工作輥中部與兩端的輥溫溫差及熱膨脹差偏大，影響帶材的板形質(zhì)量。因此，對(duì)工作輥軸向輥溫分布優(yōu)化就顯得尤為必要。

為了考察各影響因素對(duì)軸向輥溫分布的影響效應(yīng)，本文結(jié)合實(shí)踐生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，選取入出口水量分配比例、軋制速度和工作輥中部與邊部的水流密度比值作為試驗(yàn)的三個(gè)影響因素，采用正交試驗(yàn)的方法尋求軸向輥溫分布最優(yōu)的一組工藝參數(shù)。

以F1機(jī)架為例，每個(gè)影響因素設(shè)定3個(gè)水平，見表3。采用L9(34) 正交表安排一個(gè)3因素3水平的正交試驗(yàn)。

表3 正交試驗(yàn)因素與水平表

正交試驗(yàn)極差分析結(jié)果如表4所示，以第10塊鋼板(板寬為1200mm)的軋制期間內(nèi)，在軋制區(qū)域內(nèi)工作輥中部與邊部的溫差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，表中A、B、C為三種影響因素，D為誤差列。K1、K2、K3分別為各對(duì)應(yīng)列 ( 因素) 上 1、2、3水平效應(yīng)的工作輥中部與邊部的溫差之和，R為各對(duì)應(yīng)列(因素)的極差。

表4 正交試驗(yàn)結(jié)果

4.2正交試驗(yàn)結(jié)果分析

(1)直觀分析

如表3所示，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，因素A(入出口水量分配比例)、因素B(軋制速度)、因素C(工作輥中部與邊部的水流密度比值)的極差分別為2、15.6、49.5，由此可以初步得到工作輥中部與邊部的水流密度比值對(duì)軸向輥溫分布影響最大，軋制速度次之，入出口水量分配比例影響效果最小。

(2)方差分析

正交試驗(yàn)的直觀分析法簡(jiǎn)單直觀，計(jì)算量小，但不能估計(jì)誤差的大小，不能精確地估計(jì)各因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著程度。因此需要對(duì)結(jié)果進(jìn)行方差分析。正交試驗(yàn)的方差分析計(jì)算結(jié)果如表5所示。

表5 方差分析表

對(duì)于入出口水量分配比例，F(xiàn)< F0.1(2,2)，所以該因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒有顯著影響，不做標(biāo)記；對(duì)于軋制速度，F(xiàn)0.01(2,2)>F> F0.025(2,2)=39，所以該因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有一定顯著的影響，記做 “ * ”；對(duì)于工作輥中部與邊部的水流密度比值，F(xiàn)> F0.01(2,2)，所以該因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有非常顯著的影響，記做“* *”。

由方差分析可得到如下結(jié)論：工作輥中部與邊部的水流密度比值對(duì)軸向輥溫分布影響效果最為顯著，軋制速度其次，入出口水量分配比例對(duì)軸向輥溫分布沒有明顯影響。這與直觀分析得到的結(jié)論是一致的。

(3)最優(yōu)工藝條件的確定

由于試驗(yàn)指標(biāo)是工作輥中部與邊部溫差，是越小越好，從表5可以看出，優(yōu)方案應(yīng)取各因素最小K值所對(duì)應(yīng)的水平，即F1機(jī)架的入出口水量分配比例為12%：88%，軋制速度為1.7 m·s-1，工作輥中部與邊部的水流密度比值為1.5。

以上以F1機(jī)架為例進(jìn)行了正交優(yōu)化試驗(yàn)分析，用同樣的方法對(duì)F2—F7機(jī)架進(jìn)行正交優(yōu)化試驗(yàn)，得到F2—F7軋輥冷卻的最優(yōu)工藝條件如表6所示。

表6 F1—F7軋輥冷卻最優(yōu)工藝條件

5 優(yōu)化冷卻工藝的上機(jī)驗(yàn)證

為驗(yàn)證有限元模型對(duì)冷卻工藝的計(jì)算精度，軸向輥溫分布優(yōu)化方案的合理性，采用表6所示的優(yōu)化工藝方案進(jìn)行上機(jī)軋制試驗(yàn)，圖16為進(jìn)行工藝優(yōu)化試驗(yàn)后的下機(jī)輥溫分布與工藝優(yōu)化前的輥溫分布比較。

從圖16中可以看出，工作輥溫度計(jì)算值與實(shí)測(cè)值基本吻合，本文的計(jì)算模型能夠較好地模擬熱軋工作輥的溫度場(chǎng)分布。

工藝優(yōu)化前，在軋制區(qū)域內(nèi)，工作輥下機(jī)后中部與邊部溫差達(dá)到10～15℃；工藝優(yōu)化后，在軋制區(qū)域內(nèi)，工作輥下機(jī)后中部與邊部溫差會(huì)降到5～6℃。說(shuō)明通過(guò)優(yōu)化，很好地改善了工作輥軸向溫度分布，減小了工作輥中部與邊部的溫差，對(duì)于改善工作輥熱凸度有重要意義。

由此可以看出，本文的優(yōu)化的軋輥冷卻工藝方案是可靠的、合理的。

6 結(jié)論

本文基于ANSYS有限元軟件，建立工作輥二維非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的計(jì)算模型，對(duì)軋制工藝參數(shù)、冷卻系統(tǒng)參數(shù)等對(duì)工作輥輥溫變化規(guī)律及軸向輥溫分布的影響進(jìn)行了研究，得到以下結(jié)論：

(1)通過(guò)仿真計(jì)算和實(shí)測(cè)下機(jī)溫度，上下工作輥冷卻水量相同條件下，驗(yàn)證了上工作輥溫度比下工作輥高。

(2)不同出口水量比對(duì)工作輥下機(jī)溫度相差不大，關(guān)閉軋制入口冷卻水不會(huì)對(duì)工作輥的溫度產(chǎn)生不良影響。

(3)軋制速度越小，工作輥表面溫度越高；距表面越深的區(qū)域，溫度變化受軋制速度的影響越小，在距表面2mm以內(nèi)的區(qū)域，受軋制速度影響大，軋制速度的影響具有“淺層效應(yīng)”。

(4)隨著軋鋼塊數(shù)的增加，初始輥溫分布對(duì)于工作輥軸向溫度的影響越來(lái)越小，工作輥軸向溫度分布在經(jīng)過(guò)軋制5塊帶鋼即可穩(wěn)定。在軋制第10塊帶鋼時(shí)，在軋制區(qū)域內(nèi)，不同初始輥溫情況下的工作輥軸向溫度分布幾乎一致，最大溫差在1℃以內(nèi)。

圖16 工藝優(yōu)化前與優(yōu)化后的軸向輥溫分布比較

(5)通過(guò)設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)研究了不同因素對(duì)工作輥軸向溫度分布的影響，工作輥中部與邊部的冷卻水量比例對(duì)軸向輥溫分布影響效果最為顯著，軋制速度其次，入出口水量分配比例對(duì)軸向輥溫分布沒有明顯影響，得到了F1—F7軋輥冷卻的最優(yōu)工藝條件。

(6)為驗(yàn)證有限元模型的計(jì)算精度和軸向輥溫分布優(yōu)化方案的合理性，采用優(yōu)化方案進(jìn)行上機(jī)軋制試驗(yàn)，并進(jìn)行優(yōu)化試驗(yàn)后的下機(jī)輥溫分布與優(yōu)化前的輥溫分布比較，可以看出工作輥溫度計(jì)算值與實(shí)測(cè)值吻合較好，計(jì)算模型能夠較好地模擬熱軋工作輥的溫度場(chǎng)分布。