斐波那契數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù)

嚴(yán)婉琳，鐘球盛

（1.惠州城市職業(yè)學(xué)院 國際學(xué)院，廣東 惠州 516000；2.廣州番禺職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，廣東 廣州 511483）

1 引言及預(yù)備知識(shí)

由數(shù)學(xué)家Leonardo Fibonacci提出的斐波那契數(shù)列，在化學(xué)、物理、數(shù)學(xué)、環(huán)境自然等多個(gè)領(lǐng)域有許多重要應(yīng)用.斐波那契數(shù)列的第零項(xiàng)為0.第一項(xiàng)是1，此后，每項(xiàng)都為前兩項(xiàng)之和.

定義1[1-2]斐波那契數(shù)列是指遞推關(guān)系Fn=Fn-1+Fn-2(n≥2)所確定的數(shù)列{Fn}n≥0，這里的初始條件是F0=0,F1=1，并且Fn稱為斐波那契數(shù).

文獻(xiàn)[3-10]分別研究了關(guān)于斐波那契數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子2，3，5，7，11，13，17，19的指數(shù).文獻(xiàn)[11-12]則證明了斐波那契數(shù)的整除性.文獻(xiàn)[13]不但提出了關(guān)于一般奇素因子p在Fd(p)標(biāo)準(zhǔn)分解式中指數(shù)的猜想，還探討了對(duì)一般奇素因子p與d(p)=min{w：p/Fw}的整除關(guān)系.基于上述相關(guān)文獻(xiàn)，本文研究得出斐波那契數(shù)Fn下標(biāo)n的分解式中因數(shù)23的指數(shù)與24的指數(shù)將共同決定Fn標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23指數(shù)的結(jié)論.

引理1[6]4設(shè)m,n均是正整數(shù)，a整除b用“a|b”表示.若m|n，則有Fm|Fn成立.

引理2[6]5設(shè)m,n均是正整數(shù)，則Fm+n=FmFn-1+Fm+1Fn成立.

引理3設(shè)n是正整數(shù)，23|Fn?24|n.

逐一計(jì)算Fn(0≤n≤47)關(guān)于模23的最小非負(fù)剩余，設(shè)Fn≡m(mod23)，則可得表1.

表1 Fn關(guān)于模23的最小非負(fù)剩余

由此可得Fn關(guān)于模23的最小非負(fù)剩余的周期是48.Fn≡0(mod23)當(dāng)且僅當(dāng)n≡0(mod24).

引理4設(shè)m是一個(gè)正整數(shù)，則有F24m+1≡F24m-1(mod23)成立.

證明由引理3及斐波那契數(shù)的定義與性質(zhì)可知，F(xiàn)24m≡F24m+1-F24m-1≡0(mod23)成立，故引理4成立.

引理5[9]214設(shè)m,p均是正整數(shù)，則有

引理6[9]215假設(shè)m是一個(gè)正整數(shù)，則有成立.

假設(shè)a,b均是整數(shù)，t是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，記號(hào)at||b表示at|b且b不能被at+1整除.

2 相關(guān)證明

定理1設(shè)p,k均為正整數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù)相同.

證明引理3得設(shè)n=24kp且p為正整數(shù).標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù)大于0恒成立.

i）k=1時(shí)，若s(s≥1)是的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù)，即滿足23s||F24p.因?yàn)?4p|242p，由引理1知，得令m=24p，由引理5得由及2s≥s+1可得由引理4得F24m+1≡F24m-1(mod23).因?yàn)榍?3不能整除，所以

ii）設(shè)k≥1時(shí)，F(xiàn)24kp與的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù)均是s(s≥1).由引理1得所以令m=24k+1p，由引理5得因?yàn)榍?s≥s+1成立，所以有

定理2假設(shè)p為一個(gè)不含23和24且大于零的整數(shù)，則1是F24p的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù).

證明因?yàn)?4|24p，由引理1有F24|F24p，所以F24p≡0(mod23).不妨設(shè)p=23m+r，1≤r≤22，則

由232||F24×23得F24p≡F24×23m+1F24r(mod232).232不能整除F24r（1≤r≤24）且23不能整除F24×23m+1，所以232不能整除F24×23m+1F24r.23||F24p成立.所以1是F24p的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23指數(shù).同理可證定理3.

定理3設(shè)p是一個(gè)不含23和24且大于零的整數(shù)，則2為F24×23p的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù).

定理4設(shè)s是一個(gè)整數(shù)且s≥0，設(shè)p是一個(gè)不含23和24且大于零的整數(shù)，設(shè)n=24×23sp，則標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù)是s+1.

證明i）s=0時(shí)，n=24p，由定理2知，s+1=1是F24p標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù)，所以結(jié)論成立.

ii）s=1時(shí)，n=24×23p，已知定理2，F(xiàn)24×23p標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù)是s+1=2，結(jié)論仍成立.

iii）假設(shè)s≥1時(shí)，的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù)為s+1.下證

令m=24×23sp，由引理2得到式（1），由引理5得到式（2～4）：

由引理6知，

當(dāng)s≥1時(shí)，2(s+1)≥s+3成立.因?yàn)?4|m，由引理4得Fm+1≡Fm-1(mod23)且其最小非負(fù)剩余非0，代入式（6）有

由23s+1||即由式（7）有

因?yàn)?3s+1||Fm=Fm+1-Fm-1=23(q1-q2)，所以23s||(q1-q2).由r+225q1+281q2≡r+18(q1-q2)(mod23)知，23不能整除r+225q1+281q2，(r,23)=1，則(r21,23)=1.

由式（9）知232不能整除由式（8）知23s+3不能整除故

3 結(jié)論

定理5設(shè)k是一個(gè)整數(shù)且k≥0，設(shè)s是一個(gè)整數(shù)且s≥0，p是一個(gè)不含因數(shù)23和24且大于零的整數(shù)，n為正整數(shù)且n=24k×23s×p，則

i）當(dāng)k=0，0是Fn標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù)；

ii）當(dāng)k≥1，s+1是Fn標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù).

證明i）設(shè)k=0.n不能被24整除，引理3得23不能整除Fn，則0是Fn標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù).

ii）設(shè)k≥1，定理2得與準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù)相同，因此僅需討論k=1.由定理4得標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子23的指數(shù)是s+1.所以定理5成立.