適應(yīng)性回歸分析(Ⅲ)構(gòu)建具有混合結(jié)構(gòu)的回歸模型
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羅艷虹，胡良平

(1.山西醫(yī)科大學(xué)公共衛(wèi)生學(xué)院衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)教研室，山西 太原 030001；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計學(xué)專業(yè)委員會，北京 100029；3.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850

1 基于多個回歸模型采用ADAPTIVEREG過程實現(xiàn)一次性擬合

1.1 問題與模型

【實例1】假定在自變量的定義域內(nèi)，可以構(gòu)造出三個回歸模型，它們分別為指數(shù)回歸模型、對數(shù)回歸模型和直線回歸模型[1-2]。這三個回歸模型的表達式見式(1)。

(1)

是否可以通過一個SAS過程步來一次性擬合出上述三個回歸模型？

1.2 利用ADAPTIVEREG過程實現(xiàn)上述要求

1.2.1 所需要的SAS程序

data Mixture;

drop i;

do i=1 to 1000;

X=ranuni(1);

C=int(3*ranuni(1));

if C=0 then Y=exp(5*(X-0.3)**2)+rannor(1);

else if C=1 then Y=log(X*(1-X))+rannor(1);

else Y=7*X+rannor(1);

output;

end;

run;

ods graphics on;

proc adaptivereg data=Mixture plots=fit;

class c;

model y=c x;

run;

1.2.2 SAS數(shù)據(jù)步程序說明

在SAS數(shù)據(jù)步程序中，擬產(chǎn)生1 000個觀測(即樣本含量N=1 000)；將自變量X設(shè)置為在“0～1”區(qū)間上變化且服從均勻分布的隨機變量；首先將分類變量C設(shè)置為在“0～1”區(qū)間上變化且服從均勻分布的隨機變量，然后將變量C乘以3，最后再將其取整(這樣做的目的是使“C”成為隨機變量，而不是一般變量，也就是說，它在數(shù)據(jù)集中的取值仍為0～2，但不是按確定性的順序出現(xiàn)的，而是隨機出現(xiàn)的)；接下來按式(1)進行計算，得出C在取不同值條件下的因變量y的數(shù)值。應(yīng)注意：在因變量y的每個數(shù)值上，還加上了一個服從N(0,1)分布的隨機變量的數(shù)值，其意義在于：因變量y也是一個隨機變量，而不是一個一般變量。

1.2.3 SAS過程步程序說明

調(diào)用“ADAPTIVEREG過程”，在過程步語句中，要求繪制圖形；使用“CLASS語句”，指定分類變量為“C”；在“MODEL語句”中，包含了兩個自變量，一個為變量C、另一個為變量X。

1.2.4 SAS主要輸出結(jié)果及解釋

擬合統(tǒng)計量GCV1.08046GCV R-Square0.90279Effective Degrees of Freedom25R-Square0.90740Adjusted R-Square0.90628Mean Square Error1.04064Average Square Error1.02711

以上為擬合統(tǒng)計量的計算結(jié)果，R2和調(diào)整R2分別為0.90740和0.90628，說明模型對資料的擬合效果比較好。

向后選擇后的回歸樣條模型名稱系數(shù)父級變量結(jié)點水平Basis05.3829InterceptBasis1-4.3871Basis0C10Basis332.7761Basis0C1Basis520.2859Basis4X0.7665Basis7-11.4183Basis2X0.7665Basis8-7.0758Basis2X0.7665Basis958.4911Basis3X0.5531Basis10-71.6388Basis3X0.5531Basis11-69.0764Basis3X0.04580Basis13-119.71Basis3X0.9526Basis1566.5733Basis1X0.9499Basis176.6681Basis1X0.5143Basis19-185.21Basis1X0.9890

以上為“向后選擇后的回歸樣條模型”中“各基函數(shù)”及其回歸系數(shù)，以“基函數(shù)”為新“自變量”的適應(yīng)性回歸模型比式(1)更復(fù)雜。

ANOVA分解功能性成分基數(shù)DF變化量(若忽略)失擬GCVC241112.501.1519C X10203773.943.7690

以上為“方差分析分解”的計算結(jié)果，對因變量y影響較大的是“C”與“X”之間的交互作用項，其次是變量C。

變量重要性 變量基數(shù)重要性C12100.00X1050.68

以上為兩個變量“C”與“X”對因變量y的重要性的計算結(jié)果，可以看出：變量C對因變量y的影響最大，其次是變量X。

擬合結(jié)果用圖示法呈現(xiàn)，見圖1。

圖1 ADAPTIVEREG過程按式(1)擬合的結(jié)果

由圖1可知：自上而下有三條線，第1條為“直線”，對應(yīng)式(1)中第3式；第2條為“指數(shù)曲線”，對應(yīng)式(1)中第1式；第3條為“對數(shù)曲線”，對應(yīng)式(1)中第2式。

2 基于具有混合結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)集采用ADAPTIVEREG過程實現(xiàn)一次性擬合

2.1 問題與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

【實例2】假定有一個具有混合結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)集。見表1。

在此次研究中,觀察組患者的腹脹幾率是5.46%,對照組的腹脹幾率是21.82%,兩組結(jié)果對比存在統(tǒng)計學(xué)差異性(P<0.05)。觀察組患者的胃腸蠕動時間、腸鳴音、肛門排氣時間等均比對照組短,兩組結(jié)果存在統(tǒng)計學(xué)差異性(P<0.05)。觀察組臨床護理滿意度是94.54%,對照組是76.37%,結(jié)果存在統(tǒng)計學(xué)差異性(P<0.05)。

表1 一個具有三類(C=1、2、3)結(jié)構(gòu)不同的混合型數(shù)據(jù)集

注：在C=1、2、3類的數(shù)據(jù)集中，x的取值均為1～12，但y的取值是不同的

【問題】試在每一類中，構(gòu)建y依賴x變化而變化的回歸模型。

2.2 試采用ADAPTIVEREG過程直接擬合該數(shù)據(jù)集

2.2.1 創(chuàng)建SAS數(shù)據(jù)集

所需要的SAS數(shù)據(jù)步程序如下：

Data a1;

INPUT x y c @@;

CARDS;

此處輸入表1中12行6列數(shù)據(jù);

;

RUN;

所需要的SAS過程步程序如下：

ods graphics on;

proc adaptivereg data=a1 plots=fit;

class c;

model y=c x;

run;

2.2.3 顯示SAS主要分析結(jié)果

擬合統(tǒng)計量GCV132.61471GCV R-Square0.97285Effective Degrees of Freedom21 R-Square0.99501 Adjusted R-Square0.99302 Mean Square Error33.15368 Average Square Error23.02339

以上為“擬合統(tǒng)計量”的計算結(jié)果。由R2和調(diào)整R2的計算結(jié)果可知，模型對資料的擬合效果比較好。

向后選擇后的回歸樣條模型名稱系數(shù)父級變量結(jié)點水平Basis087.2987InterceptBasis4-11.0742Basis1x10.0000Basis6-39.7160Basis2x6.0000Basis7-107.33Basis0c2Basis944.6297Basis7x10.0000Basis109.5651Basis7x10.0000Basis11-22.0541Basis2x9.0000Basis1315.7856Basis8x6.0000Basis15-25.0254Basis2x3.0000Basis1749.1853Basis7x11.0000Basis19-13.9451Basis8x8.0000

以上為“向后選擇后的回歸樣條模型”的計算結(jié)果，需要用到19個“基函數(shù)”。

ANOVA分解功能性成分基數(shù)DF變化量(若忽略)失擬GCVC12128071565.97C X9181633895296.08

以上為“方差分析分解”的計算結(jié)果，說明變量C和“C”與“X”的交互作用項對因變量y的影響很大。

變量重要性變量基數(shù)重要性C9100.00X1093.90

以上是對兩個變量的重要性所做的評價，兩個變量對于因變量y的影響都很大。

由于模型的表達式非常復(fù)雜且不直觀，SAS采用圖形方式呈現(xiàn)模型擬合結(jié)果。見圖2。

圖2 采用ADAPTIVEREG過程擬合表1資料的結(jié)果以圖形呈現(xiàn)

在圖2中，可以比較清楚地看出：在“C=1”類中，y與x之間呈現(xiàn)“Logistic曲線”關(guān)系；在“C=2”類中，y與x之間呈現(xiàn)“拋物線”關(guān)系；在“C=3”類中，y與x之間呈現(xiàn)“指數(shù)曲線”關(guān)系。

2.3 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的揭秘

在表1的“C=1”類中，(x，y)的兩列數(shù)據(jù)來自文獻[3]，該資料描述的是“某縣瘧疾發(fā)病的季節(jié)性特點”，即某縣1961年-1996年瘧疾的月累計發(fā)病率(x代表1月-12月，y代表“累計發(fā)病率”，單位為“1/10萬”)。繪制該資料的散布圖，呈現(xiàn)“Logistic曲線”變化趨勢，適合擬合“Logistic曲線回歸模型”。

在表1的“C=2”類中，(x，y)的兩列數(shù)據(jù)中的“x”保持不變，而“y”列數(shù)據(jù)是采用如下的式(2)計算出來的：

y=-5×(x-6)2+10

(2)

式(2)表達的是一個y關(guān)于x 的“二次拋物線模型”。

在表1的“C=3”類中，(x，y)的兩列數(shù)據(jù)中的“x”保持不變，而“y”列數(shù)據(jù)是采用如下的式(3)計算出來的：

y=e(x-7)-30

(3)

式(3)表達的是一個y關(guān)于x 的“指數(shù)曲線模型”。

結(jié)合上面圖1中呈現(xiàn)的“三條曲線”及其解釋，不難發(fā)現(xiàn)：適應(yīng)性回歸樣條算法給出的結(jié)果與數(shù)據(jù)所代表的真實模型是基本吻合的。

3 討論與結(jié)論

3.1 討論

“實例1”與“實例2”看起來有所不同，前者似乎是從“模型”出發(fā)，產(chǎn)生“數(shù)據(jù)”，再用“ADAPTIVEREG過程”去擬合數(shù)據(jù)；而后者似乎是從“數(shù)據(jù)”出發(fā)，采用“ADAPTIVEREG過程”去擬合數(shù)據(jù)，再交代各類數(shù)據(jù)所代表的“模型”。其實，二者在本質(zhì)上是完全一樣的。對于“ADAPTIVEREG過程”而言，它并不知曉正在擬合的“數(shù)據(jù)”究竟包含了“哪幾種模型”或存在“哪些客觀規(guī)律”，只是基于“特定類中兩變量之間的數(shù)量關(guān)系”并依據(jù)“適應(yīng)性回歸樣條算法”去逐一構(gòu)造“基函數(shù)”，在“失擬(LOF)”和“廣義交叉驗證(GCV)”等的“擬合優(yōu)度評價指標”的“監(jiān)控”之下，找到“基函數(shù)”及其組合。

3.2 結(jié)論

適應(yīng)性回歸樣條算法(由ADAPTIVEREG過程實現(xiàn))確實具有一定的揭示“混雜結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)集”中隱藏的數(shù)據(jù)規(guī)律的“能力”；然而，它給出的基于“基函數(shù)”的“回歸模型”過于復(fù)雜且很不直觀；通過“圖形方式”呈現(xiàn)的結(jié)果雖然很直觀，但很不“精確”，不同的分析者可能會給出不同的“解讀結(jié)果”。但是，圖形呈現(xiàn)的結(jié)果確實可以給分析者提供一些有價值的“分析線索”或“積極暗示”，有利于分析者縮小“探索性研究的空間”[4]。