分?jǐn)?shù)階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Mittag-Leffler穩(wěn)定性

劉孝磊，顧麗娟，劉曉燕，郭立娜

（1.海軍航空大學(xué)，山東煙臺(tái)264001；2.南山學(xué)院，山東煙臺(tái)265706）

自1983年，Cohen和Grossberg提出了一種廣義的整數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[1]

以來，對(duì)該類模型的研究就日益深入，并逐步推廣到時(shí)滯Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[2]、Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型魯棒穩(wěn)定性[3]、帶隨機(jī)項(xiàng)Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的研究。而在2009年，由Arefeh Boroomand和Mohammad B.Menhaj提出了分?jǐn)?shù)階Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[4]：

式（2）中：i=1,2,…,n； 0＜α＜1；為Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。

自此，分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)伴隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論、分?jǐn)?shù)階微分方程及其穩(wěn)定性相關(guān)理論的日漸成熟，對(duì)分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性研究也日益豐富[5-8]。而分?jǐn)?shù)階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是分?jǐn)?shù)階Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種推廣，本文提出一類分?jǐn)?shù)階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

進(jìn)而討論了該類型Cohen-Grossberg模型穩(wěn)定性的充分條件。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[9]：給定α∈?，f()x的分?jǐn)?shù)階Caputo導(dǎo)數(shù)Dαf(x)定義為Dαf(x)=Jm-αf(m)(x)，其中m=[]α+1，，這里的Γ()為Γ-函數(shù)，即Γ(β)=

性質(zhì)1：DαC=0，其中，C為常數(shù)。

性質(zhì) 2：Dα(μf(t)+νg(t))=μDαf(t)+νDαg(t)，這里，μ、ν為常數(shù)。

定義 2[10]：Mittag-Leffler函數(shù)Eα(z)和雙參數(shù)形式的Mittag-Leffler函數(shù)分別定義為：

從定義易得，Eα(z)=Eα,1(z)，并且E1,1(z)=ez。

考慮一般的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)：

定 義 3[11]：若xˉ=0 是 系 統(tǒng) 的 平 衡 點(diǎn) ，且，其中λ＞0,b＞0,m(0)=0,則稱系統(tǒng)的解是Mittag-Leffler穩(wěn)定的。

引理1[12]：若x(t)為[0,+∞)上的連續(xù)可微函數(shù)，則

在[0,+∞)幾乎處處成立。

引理2[13]：若V(t)為[0,+∞)上的連續(xù)函數(shù)，且滿足DαV(t)≤θV(t)，0＜α＜1，θ為常數(shù)，則V(t)≤V(0)Eα(θtα)，t≥0。

2 主要結(jié)果

給出如下形式的分?jǐn)?shù)階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

式（6）中：x=(x1,x2,…,xn)T表示神經(jīng)元狀態(tài)變量；A(x(t))=diag[a1(x1),a2(x2),…,an(xn)]T表示放大函數(shù)；B(x(t))=[b1(x1),b2(x2),…,bn(xn)]T表示放大函數(shù)；C為神經(jīng)元之間的互聯(lián)矩陣；F(x)=[f1(x1),f2(x2),…,fn(xn)]T為激活函數(shù)。

對(duì)于函數(shù)ai(xi) 、bi(xi) 、fi(xi) 做如下假設(shè)。

H1：對(duì)于i=1,2,…,n，有

H2：對(duì)于i=1,2,…,n，fi(xi)滿足Lipschitz常數(shù)為li的Lipschitz條件。

H3：存在μi＞0，使得

定理：若系統(tǒng)滿足H1、H2，則x=0是系統(tǒng)的Mittag-Leffler穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

證明：構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

由分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、引理1及假設(shè)H1、H2、H3得：

所以由引理2可得，

故則x=0是系統(tǒng)的Mittag-Leffler穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

3 實(shí)例仿真

為系統(tǒng)選取參數(shù)：

圖1～3分別為x1(t)、x2(t)、x3(t)隨時(shí)間t收斂于0的曲線圖。

由仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)曲線明顯收斂于穩(wěn)定平衡點(diǎn)x=0。

圖1 x1(t)的狀態(tài)曲線圖Fig.1 State curve ofx1(t)

圖2 x2(t)的狀態(tài)曲線圖Fig.2 State curve ofx2(t)

圖3 x3(t)的狀態(tài)曲線圖Fig.3 State curve ofx3(t)

4 結(jié)論

本文首先通過對(duì)分?jǐn)?shù)階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分析，給出了判定該類系統(tǒng)Mittag-Leffler穩(wěn)定的充分性條件，并進(jìn)行了Matlab仿真，通過具體實(shí)例驗(yàn)證了文中給出定理的正確性。