培養(yǎng)學生數(shù)學運算素養(yǎng)案例舉隅

張海強陳 剛

一、引言

解析幾何強調(diào)用代數(shù)方法解決幾何問題，因此，數(shù)學運算是解析幾何的一項重要內(nèi)容。在實際教學中，學生的數(shù)學運算能力不強是一個不爭的事實。其原因可能是多方面的，比如初高中的銜接不暢，教師指導不力，學生重視不足等。由此，如何有效提高學生的運算能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng)是一個亟待解決的問題。

二、概念界定

數(shù)學運算是數(shù)學學科六大核心素養(yǎng)之一，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“2017年版課標”）中指出，數(shù)學運算素養(yǎng)是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結(jié)果；數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段，數(shù)學運算是演繹推理，是計算機解決問題的基礎；數(shù)學運算主要表現(xiàn)為理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結(jié)果。

江蘇省2019年版考試說明中關于“運算求解能力”的考查要求是：能夠根據(jù)法則、公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理；能夠根據(jù)問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑；能夠根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計和近似計算。

我們看到，數(shù)學運算是演繹推理，數(shù)學運算的培養(yǎng)必須和演繹推理相融合。關于數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)要結(jié)合具體內(nèi)容做具體分析，不宜用大而化之的“題海戰(zhàn)術”。以高中解析幾何為例，由于高中解析幾何的主體是二次曲線，因此運算對象主要是“二次三項式”，運算法則主要是多項式運算法則和分式運算法則，在運算中尤其要重視對簡化和轉(zhuǎn)化策略的運用。

三、案例設計

案例1 如圖1設F1，F(xiàn)2分別為橢圓y2=1的左，右焦點，點A，B在橢圓上。若則點A的坐標是_______。

本題是想讓學生明晰處理方程組是解決解析幾何試題的基本技能，消元則是處理方程組的基本方法。學生在初中階段較為系統(tǒng)地學習了一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程的解法，而對三元（多元）一次方程組和高次方程的解法涉及較少。因此，在高三復習時，教師要有意識地對方程組的處理作適當?shù)膹娀?，以突出消元法的地位，彰顯化歸思想。

（1）求該橢圓的標準方程；

本案例設計旨在強化學生“整體消元”的意識。在教學過程中，教師應引導學生根據(jù)幾何條件和向量條件列出方程組，即

案例3 如圖2在平面直角坐標系xOy中，曲線y=x2-6x+1與坐標軸的交點都在圓C上，則圓C的方程為_______。

學生在解決本題時常采用的有如下兩種解題思路：

（圖2）

思路一是選擇圓的標準方程，可設圓 C的標準方程為（x-3）2+（y-b）2=r2（r＞0），利用題干求得點A，B，D的坐標，進而得到答案。

思路二是選擇圓的一般方程，設圓C的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，同樣由點A，B，D的坐標求得答案。

但以上兩種思路都還沒有達到最簡，思路三是利用整體處理的方式，設圓C的一般方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，方程 x2-6x+1=0與方程x2+Dx+F=0均表示點A，B的橫坐標，故這兩個方程同解，所以D=-6，F(xiàn)=1。同理E=-2，所以圓C的方程為x2+y2-6x-2y+1=0。

教師在教學時要詳細呈現(xiàn)上述三種思路，引導學生在運算思路和運算方法的選取方面進行對比分析。教師要向?qū)W生講明：（1）運算方法的選擇首先體現(xiàn)在圓的方程的選擇上，思路一是選擇圓的標準方程，并利用幾何條件優(yōu)先得出圓心的橫坐標，有效簡化了計算；（2）運算方法的選擇還體現(xiàn)在局部和整體的選擇上，思路一和思路二均從局部入手，計算出曲線y=x2-6x+1與坐標軸的交點的坐標，而思路三則引導學生從曲線與方程的關系入手，從整體著眼，有效避開了無效計算，減少了步驟，極大地簡化了數(shù)學運算。有了不同解題思路的對比和詳細講解，才有利于學生數(shù)學運算素養(yǎng)的提升。

案例4 如圖3，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A（2，4）。設點 T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點 P 和 Q，使得求實數(shù) t的取值范圍。

（圖3）

綜上，我們對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應該精于一點，對教學資源進行充分分析。具體到學生的數(shù)學運算素養(yǎng)，一方面應該對部分重點內(nèi)容做教學上的強化處理，另一方面則要精選例題，教會學生簡化與轉(zhuǎn)化的運算技巧。