基于CWLS時差頻差無源定位閉式解算方法*

馮 奇，曲長文，周 強，郭林鵬

（海軍航空大學，山東 煙臺 264001）

0 引言

無源定位是一種觀測設備自身不輻射信號，僅通過接收目標電磁信號來估計目標狀態(tài)的技術(shù)。相對于雷達、聲納等有源探測技術(shù)，無源定位系統(tǒng)［1］具有生存能力強、偵察作用距離遠、能夠有效應對隱身目標等優(yōu)點。無源定位的本質(zhì)就是通過優(yōu)化求解觀測方程獲得目標狀態(tài)估計［2］。

時差（Time Difference of Arrival，TDOA）、頻差（Frequence Difference of Arrival，F(xiàn)DOA）與目標狀態(tài)的非線性關(guān)系很強，導致其觀測方程不能直接進行偽線性處理［3］，需要借助中間變量。對此文獻［4］利用球面插值（Spherical Interpolation，SI）法推導了觀測方程的偽線性形式，然后利用線性最小二乘（Least Squares，LS）估計目標位置。文獻［5-6］改進了SI法，考慮了偽線性方程中誤差項的統(tǒng)計特性及目標狀態(tài)與中間變量之間的關(guān)系，在此基礎上提出了兩步加權(quán)最小二乘（Two-Stage Weighted Least-Squares，TS-WLS）算法。文獻［7］進一步將此類偽線性定位方法抽象歸納，提出一種基于加權(quán)最小二乘（Weighted Least-Squares，WLS）的定位理論模型。但是由于WLS運算中回歸量以及回歸附屬量之間的誤差相關(guān)性導致此類WLS算法的狀態(tài)估計是有偏的［8］。

針對WLS估計有偏的問題，文獻［9］中討論了基于CWLS的無源定位閉式解算理論框架。本文將該理論框架應用于TDOA/FDOA無源定位場景，在TS-WLS基礎上提出一種基于CWLS的TDOA/FDOA無源定位閉式解算方法。通過理論分析證明了本文算法在保持了TS-WLS算法定位精度基礎上，有效減小了目標狀態(tài)估計偏差。

1 定位模型

不失一般性，考慮多運動觀測站對運動目標的TDOA/FDOA無源定位場景。顯然，TDOA定位就是該場景中觀測站與目標速度為零的情況下的一個特例，因此，本文結(jié)論完全適用于TDOA無源定位算法。

2 CWLS定位算法

本文算法在TS-WLS算法框架基礎上改進，第1步中使用CWLS算法代替WLS算法，在保持WLS算法定位精度的基礎上，有效減小估計偏差，下面給出基于CWLS的定位模型。

第1步：TDOA/FDOA無源定位體制的觀測方程借助中間變量進行偽線性化處理得

式（7）中，0m×1表示m行的零向量。WLS算法通過選擇使下式最小化的t作為估計值

同上，將向量h1表示為確定矩陣與噪聲向量乘積的形式，可得

將式（11）帶入式（10）得

其中，誤差項ΔD是零均值的，因此，對式（12）兩邊求均值得

將式（18）代入式（17）得

估計誤差可以表示為

至此，第1步結(jié)束，第2步與TS-WLS算法完全相同。綜上，所提基于CWLS的閉式解保持了與TS-WLS算法相同的定位精度。文獻［5］給出了TS-WLS目標狀態(tài)估計MSE的具體表達式，且證明了其漸近有效性，本文不再贅述。

下面根據(jù)前面的推導及分析給出算法的實現(xiàn)步驟：

1）借助中間變量對TDOA/FDOA無源定位方程進行偽線性化處理，構(gòu)造擴維系數(shù)矩陣D。

2）將擴維系數(shù)矩陣D每一列表示為系數(shù)矩陣與誤差向量乘積形式，如式（11）所示。

3）令權(quán)重矩陣W1=Qα，計算得到矩陣和 E［G］。對矩陣束進行廣義特征值分解，選取最小特征值min對應的特征向量作為選擇向量，則目標狀態(tài)向量估計值。

4）利用步驟3）中目標狀態(tài)粗估計值，求得精確的權(quán)重矩陣W1。重復步驟3）得目標狀態(tài)精估計值，第1步結(jié)束。

5）第2步與TS-WLS算法相同，進一步提高定位精度。

需要說明的是，TS-WLS算法第2步中系數(shù)矩陣G2為常系數(shù)矩陣，不能將每一列表示為系數(shù)矩陣與誤差向量的乘積形式，因此，無法應用本文算法優(yōu)化。

3 算法分析

綜合式（23）、式（24）可得

同理，可得

由式（17）可得，本文算法閉式解是通過對WLS估計值進行雙邊補償?shù)玫降?。綜合式（25）～式（27）可得本文所提閉式解定位偏差小于WLS估計值偏差，具有減小定位偏差特性。

4 仿真分析

本節(jié)對TDOA/FDOA無源定位體制進行數(shù)據(jù)仿真，將本文算法與文獻［5］所提TS-WLS算法及CRLB進行性能比較。

觀測站狀態(tài)參數(shù)真值如表1所示。觀測時刻目標位置為（2000m 2500m 3000m），運動速度為（-20 m/s 15 m/s 40 m/s）。觀測站位置測量誤差方差取。各觀測站站址測量誤差不同，且相互獨立，觀測站的站址誤差協(xié)方差矩陣

式中：diag（·）表示以其中元素為對角線的對角矩陣。觀測站速度測量誤差協(xié)方差陣。TDOA、FDOA測量誤差服從零均值高斯分布，且相互獨立。

表1 觀測站狀態(tài)參數(shù)

4.1 TDOA/FDOA無源定位

在TDOA/FDOA無源定位場景中，從定位精度和估計偏差兩方面，對本文所提基于CWLS的閉式解與TS-WLS算法進行比較。圖1分別給出假定FDOA測量誤差標準差aFDOA=-30 dB情況下，目標位置和速度估計MSE隨著TDOA測量誤差的變化曲線；圖2分別給出假定TDOA測量誤差標準差aTDOA=-30 dB情況下，目標位置和速度估計MSE隨著FDOA測量誤差的變化曲線。仿真中目標狀態(tài)估計MSE定義表達式為

式（28）中，M表示Monte Carlo仿真實驗次數(shù)，仿真中取M=2 000。

圖1 目標狀態(tài)估計MSE隨TDOA測量誤差變化曲線

圖2 目標狀態(tài)估計MSE隨FDOA測量誤差變化曲線

由圖1可得本文所提基于CWLS算法閉式解基本保持了與TS-WLS算法相同的定位精度，且均能較好地逼近CRLB，符合第2節(jié)對CWLS閉式解估計誤差的分析，由圖2可以得到同樣的結(jié)論。值得注意的是，圖1中目標速度估計的CRLB不隨著TDOA的測量誤差變化而變化，這是因為TDOA參數(shù)中不包含目標的速度信息而導致的。圖2中目標的位置估計CRLB隨著FDOA的測量誤差變化而變化，這是因為FDOA參數(shù)中既包含了目標的速度信息，也包含了目標的位置信息。

下面比較TDOA/FDOA無源定位中本文所提基于CWLS算法閉式解與TS-WLS算法的估計偏差特性。圖3分別給出假定FDOA測量誤差標準差aFDOA=-30 dB情況下，目標位置和速度估計偏差隨著TDOA測量誤差的變化曲線；圖4分別給出假定TDOA測量誤差標準差aTDOA=-30 dB情況下，目標位置和速度估計偏差隨著FDOA測量誤差的變化曲線。仿真中目標狀態(tài)估計偏差［12］定義式為

圖3 目標狀態(tài)估計偏差隨TDOA測量誤差變化曲線

圖4 目標狀態(tài)估計偏差隨FDOA測量誤差變化曲線

由圖3可得隨著TDOA測量誤差變化，本文所提基于CWLS算法閉式解的目標位置估計誤差明顯小于TS-WLS算法，當TDOA測量誤差強度達到0 dB時，基于CWLS算法閉式解的目標位置估計偏差能減小大約100 m。由于TDOA參數(shù)中不包含目標速度信息，因此，兩種算法的速度估計誤差偏差差別不明顯。由圖4可得隨著FDOA測量誤差變化，本文所提基于CWLS算法閉式解的目標速度估計誤差基本保持比TS-WLS算法小的趨勢。同上述分析，由于FDOA參數(shù)中同時包含了目標速度信息和位置信息，因此，圖4中本文所提基于CWLS算法閉式解的目標位置估計偏差明顯小于TS-WLS算法，且差值比較恒定，大約為16 m左右。

5 結(jié)論

本文在TS-WLS算法基礎上提出一種基于CWLS的TDOA/FDOA無源定位閉式解算方法。給出了該閉式解的解析表達式，并推導了目標狀態(tài)估計的MSE。數(shù)據(jù)仿真結(jié)果表明本文所提算法與TS-WLS算法具有相同的定位精度，均能較好地逼近CRLB，而且所提算法的目標狀態(tài)估計誤差明顯小于TS-WLS算法，驗證了理論分析的正確性。