基于決策更新的多級(jí)火箭彈道重規(guī)劃技術(shù)研究

馬昊磊 李學(xué)鋒

1. 北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854 2. 宇航智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100854

在實(shí)際飛行任務(wù)中，運(yùn)載火箭可能由于故障原因偏離原先設(shè)計(jì)好的標(biāo)稱彈道，繼續(xù)沿用標(biāo)稱彈道條件下的制導(dǎo)控制方案將難以完成任務(wù)。增強(qiáng)飛行安全與可靠性是未來火箭的發(fā)展目標(biāo)，這就要求火箭既能將載荷高精度送入預(yù)定軌道，還能在發(fā)生故障偏差時(shí)重新規(guī)劃飛行彈道。

彈道重規(guī)劃包括任務(wù)決策和軌跡規(guī)劃2部分內(nèi)容。當(dāng)飛行過程中出現(xiàn)異常狀態(tài)時(shí)，需要通過任務(wù)決策確定下一步的行動(dòng)目標(biāo)。任務(wù)決策設(shè)計(jì)需要綜合利用全箭信息，根據(jù)飛行狀態(tài)判斷是否開展重規(guī)劃工作[1]，采用軌道設(shè)計(jì)反方法[2]與組合性能指標(biāo)函數(shù)[3]等設(shè)計(jì)思想，分析飛行器的機(jī)動(dòng)變軌能力，進(jìn)而確定滿足要求的最優(yōu)任務(wù)軌道。軌跡規(guī)劃則是將目標(biāo)軌道根數(shù)作為終端約束，設(shè)計(jì)從重規(guī)劃初始點(diǎn)到入軌點(diǎn)的飛行彈道。根據(jù)目標(biāo)軌道約束和火箭運(yùn)行規(guī)律，結(jié)合最優(yōu)控制原理設(shè)計(jì)火箭多級(jí)點(diǎn)火的彈道規(guī)劃算法[4-5]。采用級(jí)數(shù)設(shè)計(jì)[6]與非線性規(guī)劃[7-8]等方法進(jìn)行問題求解，能夠有效應(yīng)對(duì)各種偏差，實(shí)現(xiàn)飛行彈道的快速規(guī)劃。本文采用基于決策更新的彈道重規(guī)劃方法完成任務(wù)決策，當(dāng)存在飛行異?；蚱顣r(shí)能夠根據(jù)任務(wù)要求，重新規(guī)劃出一條滿足條件的飛行彈道，盡可能保證任務(wù)順利完成。即使偏差較大不能進(jìn)入目標(biāo)軌道，也要盡可能保證載荷進(jìn)入次優(yōu)軌道。

1 模型建立

在地心慣性坐標(biāo)系OE-XEYEZE中描述火箭的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程，原點(diǎn)OE位于地球質(zhì)心，OEXE在地球赤道平面內(nèi)指向發(fā)射點(diǎn)所在經(jīng)度線，OEXEYE平面為赤道平面，OEZE為地球自轉(zhuǎn)軸，指向北極。

假設(shè)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推力方向始終沿著體軸方向，并忽略附加哥氏力?？紤]空氣動(dòng)力影響的條件下，根據(jù)牛頓第二定律，火箭在地心慣性坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程如下

(1)

其中，r=[x,y,z]T為位移矢量在地心慣性系中的投影；V=[Vx,Vy,Vz]T為速度矢量在地心慣性系中的投影；ux,uy,uz為推力單位矢量分量；FDx,FDy,FDz為阻力分量；FLx,FLy,FLz為升力分量；FSx,FSy,FSz為側(cè)向力分量；m為火箭質(zhì)量；μ為引力系數(shù)；T為發(fā)動(dòng)機(jī)推力；ISP為發(fā)動(dòng)機(jī)比沖。

氣動(dòng)力在地心慣性系中的分量可以表示為

(2)

(3)

(4)

其中，ωE為地球自轉(zhuǎn)角速度；L為發(fā)射點(diǎn)緯度；θ為彈道傾角；σ為航跡偏航角；A,B分別為

A=sinLcosθcosσ+cosLsinθ
B=sinLsinθcosσ-cosLcosθ

(5)

對(duì)于阻力，其數(shù)值可以表示為

(6)

其中，CD為阻力系數(shù)，由飛行馬赫數(shù)和攻角確定；S為氣動(dòng)參考面積；ρ為大氣密度；Vre為火箭相對(duì)于大氣的速度。升力和側(cè)向力的大小可同理求得。

多級(jí)火箭在上升段飛行過程中，各級(jí)的飛行狀態(tài)有所不同。級(jí)間分離的過渡階段需要滿足約束[9]

(7)

其中，p=1,2,…表示火箭不同的飛行階段；md為級(jí)間分離拋去前級(jí)的質(zhì)量。

多級(jí)火箭彈道重規(guī)劃問題可以描述為最優(yōu)控制問題，最優(yōu)控制模型以有限推力作用下的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型(1)作為狀態(tài)方程，系統(tǒng)包含7個(gè)狀態(tài)量X=[x,y,z,Vx,Vy,Vz,m]T和3個(gè)控制量U=[ux,uy,uz]T。

初始狀態(tài)為重規(guī)劃起始點(diǎn)的位置、速度和質(zhì)量，初始時(shí)刻狀態(tài)由導(dǎo)航信息給定，即

X0=X|t=t0

(8)

目標(biāo)集為滿足終端約束要求的目標(biāo)軌道根數(shù)，即

h(Xf)=0

(9)

當(dāng)末端滿足軌道根數(shù)半長(zhǎng)軸a、偏心率e、軌道傾角i、升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω及近地點(diǎn)幅角ω五個(gè)終端約束時(shí)，具體可描述為[10]

(10)

其中，hN為目標(biāo)軌道法向矢量，即

(11)

2 彈道重規(guī)劃方案

2.1 軌跡規(guī)劃

當(dāng)運(yùn)載火箭的飛行偏差在允許范圍內(nèi)，無需開展彈道重規(guī)劃工作，采用系統(tǒng)自身的適應(yīng)性調(diào)整就可以將載荷送入目標(biāo)軌道。當(dāng)超出總體給定的偏差，但超出偏差范圍不大時(shí)，可以采用軌跡規(guī)劃設(shè)計(jì)，綜合考慮運(yùn)載火箭實(shí)時(shí)位置、速度、目標(biāo)及約束條件，通過快速規(guī)劃算法得到滿足飛行終端任務(wù)要求的彈道，將載荷送入目標(biāo)軌道。

本文采用自適應(yīng)偽譜法[11]實(shí)現(xiàn)運(yùn)載火箭的軌跡規(guī)劃設(shè)計(jì)，配點(diǎn)選擇正交Legendre多項(xiàng)式的零點(diǎn)，積分過程采用Gauss積分公式。自適應(yīng)偽譜法在傳統(tǒng)偽譜法的基礎(chǔ)上加入了自適應(yīng)區(qū)間劃分，在優(yōu)化過程中可以更新配點(diǎn)設(shè)置，動(dòng)態(tài)調(diào)整區(qū)間和函數(shù)階次。這種方法可以更加靈活地完成優(yōu)化問題的求解。

正交Legendre多項(xiàng)式的基點(diǎn)在(-1,1)之間取值，需要首先將時(shí)間變量[t0,tf]投影變換到[-1,1]，即

(12)

將連續(xù)最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為以基點(diǎn)處的狀態(tài)變量和控制變量為未知系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)非線性規(guī)劃問題，原來的連續(xù)問題轉(zhuǎn)化成為離散問題。變量取值包括初值和K個(gè)基點(diǎn)值，時(shí)間變量有-1

(13)

(14)

(15)

性能指標(biāo)可選取燃料消耗最少，對(duì)于推力大小不可調(diào)的火箭來說，等效于飛行時(shí)間最短。連續(xù)問題轉(zhuǎn)化成為離散的最優(yōu)問題，性能指標(biāo)可以描述為

(16)

其中，Wk為Gauss積分公式中的積分權(quán)重，當(dāng)基點(diǎn)數(shù)給定時(shí)為常值。

最優(yōu)問題的約束條件包括地心慣性系中控制變量的單位化約束、變化率約束以及狀態(tài)變量約束

(17)

其中，α表示控制變量變化率的幅值約束，將地球近似為圓球取半徑RE。最優(yōu)控制問題可以轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題。對(duì)于非線性規(guī)劃問題，可以采用SNOPT[12]求解器完成求解。

2.2 決策等級(jí)更新

當(dāng)運(yùn)載火箭飛行超出的偏差范圍過大，但尚未造成致命性故障時(shí)，載荷不能進(jìn)入目標(biāo)軌道。運(yùn)載火箭需要開展彈道重規(guī)劃工作，通過任務(wù)決策與軌跡規(guī)劃將載荷送入次優(yōu)軌道，對(duì)異常飛行狀態(tài)實(shí)現(xiàn)一定程度的補(bǔ)救。為實(shí)現(xiàn)快速規(guī)劃，可以先完成滿足部分約束條件的規(guī)劃任務(wù)，盡可能保證規(guī)劃問題有解且收斂，之后通過提高約束條件和求解精度等方法更新任務(wù)決策，獲得決策等級(jí)更高的高精度優(yōu)化解。

如果無法將載荷送入預(yù)訂目標(biāo)軌道，需要規(guī)劃出次優(yōu)軌道或備用救援軌道。在飛行任務(wù)決策時(shí)，需要確定保留軌道根數(shù)的決策等級(jí)，提出合理可行的更新策略。保留軌道根數(shù)的決策依據(jù)主要包括任務(wù)需求、后續(xù)調(diào)整難度和可實(shí)現(xiàn)性等因素。綜合上述因素，確定重規(guī)劃方案保留軌道根數(shù)的決策等級(jí)。本文選用三級(jí)決策等級(jí)方案，如表1所示，其中“〇”表示需要滿足約束條件的軌道根數(shù)，“—”表示不受約束允許出現(xiàn)偏差的軌道根數(shù)。表中等級(jí)III代表最低決策等級(jí)，等級(jí)I代表最高決策等級(jí)，任務(wù)決策等級(jí)越高，則終端約束條件越多，獲得收斂解的難度就會(huì)越大。

表1 軌道根數(shù)約束的任務(wù)決策等級(jí)

任務(wù)決策等級(jí)的更新策略如圖1所示。當(dāng)火箭飛行過程中出現(xiàn)異常狀態(tài)時(shí)，應(yīng)急模式啟動(dòng)，開始彈道重規(guī)劃任務(wù)。根據(jù)選用的決策等級(jí)方案，完成任務(wù)約束條件的初始化。本文不考慮導(dǎo)航系統(tǒng)故障，即認(rèn)為系統(tǒng)提供的導(dǎo)航信息準(zhǔn)確可靠，由導(dǎo)航信息可以確定初始時(shí)刻的位置和速度。根據(jù)火箭設(shè)計(jì)方案及燃油測(cè)量裝置可以確定火箭的質(zhì)量。位置、速度和質(zhì)量信息共同構(gòu)成優(yōu)化問題的初始時(shí)刻狀態(tài)量。建立優(yōu)化問題，采用自適應(yīng)偽譜法完成規(guī)劃問題求解。在此過程中若是無法滿足誤差精度要求，可以更新配點(diǎn)設(shè)置后再進(jìn)行規(guī)劃求解。

圖1 任務(wù)決策等級(jí)更新策略

由于火箭飛行的實(shí)時(shí)性要求，若在一定時(shí)間內(nèi)無法得到確定的收斂解，需要對(duì)優(yōu)化求解問題進(jìn)行中斷，滿足中斷條件即認(rèn)為當(dāng)前任務(wù)決策等級(jí)下無法快速獲得收斂解。如果在最低決策等級(jí)條件下無法獲得收斂解，則飛行偏差過大，即使通過彈道重規(guī)劃也不能將載荷送入軌道。如果能夠獲得滿足誤差精度要求的收斂解，則對(duì)現(xiàn)有的火箭飛行彈道進(jìn)行更新，并生成相應(yīng)的制導(dǎo)指令。

為獲得滿足更多目標(biāo)約束條件的飛行彈道，需要更新任務(wù)決策，增加約束條件以滿足更高決策等級(jí)的要求。增加目標(biāo)約束條件以后，原有的優(yōu)化問題發(fā)生了變化，重新構(gòu)建最優(yōu)控制問題并進(jìn)行求解。為提高迭代運(yùn)算的收斂速度，可以采用之前決策等級(jí)條件下的彈道規(guī)劃結(jié)果作為優(yōu)化問題新的迭代初值。如果仍能獲得滿足誤差精度要求的收斂解，則對(duì)飛行彈道和制導(dǎo)指令進(jìn)行更新替換，同時(shí)繼續(xù)更新決策等級(jí)，直到滿足最高決策等級(jí)條件下的目標(biāo)軌道約束要求。

為滿足彈道規(guī)劃的實(shí)時(shí)性要求，優(yōu)化求解過程中配點(diǎn)數(shù)目不宜過多，這種條件下獲得的彈道精度相對(duì)不高，制導(dǎo)指令可能存在一定的偏差。進(jìn)一步更新配點(diǎn)設(shè)置，增加配點(diǎn)數(shù)量，可以獲得更高精度的飛行彈道，生成更為準(zhǔn)確的制導(dǎo)控制指令，從而完成火箭的自主彈道重規(guī)劃。

3 仿真分析

以多級(jí)運(yùn)載火箭上升段飛行為例，應(yīng)用MATLAB對(duì)彈道重規(guī)劃方案進(jìn)行仿真驗(yàn)證。首先根據(jù)任務(wù)要求規(guī)劃標(biāo)稱彈道。標(biāo)稱彈道可以直接采用本文提到的自適應(yīng)偽譜法完成設(shè)計(jì)。

當(dāng)火箭飛行過程中出現(xiàn)推力偏差和跟蹤偏差時(shí)，采用本文所設(shè)計(jì)的任務(wù)決策方案，確定任務(wù)目標(biāo)軌道根數(shù)的約束條件，并規(guī)劃新的飛行彈道。

仿真具體參數(shù)如下：

運(yùn)載火箭的初始位置在地心慣性系下分量：X=5.5236×106m，Y=0m，Z=3.1891×106m；

運(yùn)載火箭的初始速度在地心慣性系下分量：Vx=0m/s，Vy=402.79m/s，Vz=0m/s；

對(duì)于多級(jí)火箭，載荷質(zhì)量為4000kg，各級(jí)質(zhì)量及推力參數(shù)如表2所示。

表2 多級(jí)火箭質(zhì)量與推力參數(shù)

原有任務(wù)的目標(biāo)軌道根數(shù)為：a=24400km，e=0.72，i=30°，Ω=270°，ω=130°，真近點(diǎn)角f=0°?；鸺c(diǎn)火起飛后，正常情況下會(huì)按照預(yù)先設(shè)計(jì)好的標(biāo)稱彈道飛行。

本文選取t=150s作為異常狀況發(fā)生點(diǎn)，此時(shí)也是彈道重規(guī)劃的任務(wù)起始點(diǎn)。根據(jù)表2的有關(guān)參數(shù)可知，當(dāng)t=150s時(shí)，運(yùn)載火箭已完成助推級(jí)分離，正處于芯一級(jí)工作階段。之后的過程包括芯一級(jí)剩余工作階段、一二級(jí)分離、芯二級(jí)工作階段。選擇芯一級(jí)推力下降20%、25%、30%和35%這4種推力偏差情況，假設(shè)推力偏差情況下發(fā)動(dòng)機(jī)比沖不變，剩余燃料仍能充分燃燒，級(jí)間正常分離并且芯二級(jí)能夠完全正常工作。采用基于決策更新的方法完成彈道的重規(guī)劃設(shè)計(jì)。

當(dāng)推力下降20%時(shí)，重規(guī)劃彈道與原標(biāo)稱彈道的位移、速度、控制變量對(duì)比如圖2～4所示，其中虛線為原標(biāo)稱彈道變化情況，實(shí)線為重規(guī)劃彈道變化情況。

圖2 彈道位移對(duì)比

圖3 彈道速度對(duì)比

圖4 彈道控制變量對(duì)比

通過仿真過程可以驗(yàn)證，當(dāng)推力下降20%時(shí)，任務(wù)決策等級(jí)可到達(dá)最高的I級(jí)，即半長(zhǎng)軸、偏心率、軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)、近地點(diǎn)幅角5個(gè)終端約束均能滿足原有要求。根據(jù)圖2～4所示的仿真結(jié)果可以看出，推力下降時(shí)完成目標(biāo)的飛行用時(shí)有所增加。

采用同樣的方案可以確定推力下降25%、30%和35%情況下的重規(guī)劃彈道。表3為原目標(biāo)軌道、推力下降20%、下降25%、下降30%及推力下降35%重規(guī)劃的目標(biāo)軌道根數(shù)。

由表3可以看出，推力下降25%時(shí)，任務(wù)決策等級(jí)仍能到達(dá)I級(jí)，5個(gè)終端約束均能滿足原有要求；推力下降30%時(shí)，任務(wù)決策等級(jí)可到達(dá)II級(jí)，目標(biāo)軌道可以滿足半長(zhǎng)軸、偏心率、軌道傾角及升交點(diǎn)赤經(jīng)4個(gè)終端約束條件；推力下降35%時(shí)，任務(wù)決策等級(jí)僅能到達(dá)III級(jí)，目標(biāo)軌道可以滿足半長(zhǎng)軸、偏心率及軌道傾角3個(gè)終端約束條件。隨著推力偏差的增加，彈道重規(guī)劃任務(wù)可實(shí)現(xiàn)的決策等級(jí)會(huì)降低，能夠滿足的終端約束條件也隨之減少。若進(jìn)一步增大推力偏差，最低任務(wù)決策等級(jí)也有可能無法達(dá)到。

表3 不同推力偏差條件下的目標(biāo)軌道根數(shù)

4 結(jié)論

針對(duì)多級(jí)火箭上升段飛行的偏差問題，提出了一種基于任務(wù)決策等級(jí)更新的火箭彈道重規(guī)劃方案。將多級(jí)火箭彈道重規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題，在考慮氣動(dòng)力和飛行約束的條件下，構(gòu)造了火箭飛行的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型和最優(yōu)控制模型。根據(jù)不同任務(wù)的特點(diǎn)設(shè)計(jì)任務(wù)決策等級(jí)方案，確定重規(guī)劃任務(wù)的終端約束條件。采用自適應(yīng)偽譜法快速生成高精度的收斂彈道，設(shè)計(jì)了當(dāng)火箭飛行過程中出現(xiàn)推力偏差狀況時(shí)的彈道重規(guī)劃方案。仿真結(jié)果表明本文提出的方案能夠快速規(guī)劃出滿足任務(wù)要求的飛行彈道，在火箭飛行出現(xiàn)異常狀態(tài)時(shí)實(shí)現(xiàn)了一定程度的補(bǔ)救挽回。