混凝土箱梁氯離子擴(kuò)散效應(yīng)分析與壽命預(yù)測的CA模型

(1.蘭州交通大學(xué) 甘肅省道路橋梁與地下工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730070； 2.蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730070)

1 研究背景

與其他建筑材料相比，混凝土具有無定形、制作工藝簡便、就地取材、價(jià)格低廉等優(yōu)點(diǎn)，因此在國內(nèi)外橋梁建設(shè)中一直被廣泛采用。但當(dāng)混凝土箱梁長期暴露在含有不同濃度的酸、堿、鹽等腐蝕性物質(zhì)的環(huán)境中時(shí)，這些腐蝕性的物質(zhì)會和混凝土的組成成分發(fā)生電化學(xué)反應(yīng)，從而使混凝土中鋼筋發(fā)生腐蝕，最后鋼筋銹脹，使混凝土脫落，進(jìn)一步影響結(jié)構(gòu)的使用性和耐久性[1-2]。目前，國內(nèi)外很多研究工作者在混凝土結(jié)構(gòu)耐久性方面，尤其是在混凝土氯離子腐蝕性能方面，已經(jīng)做了大量研究[3-6]。但很少有文獻(xiàn)對混凝土箱梁進(jìn)行研究。在實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)中，大量數(shù)據(jù)顯示，每年由于氯離子腐蝕導(dǎo)致橋跨結(jié)構(gòu)提前退出工作的案例不在少數(shù)。因此，為了使結(jié)構(gòu)能夠達(dá)到預(yù)期的設(shè)計(jì)使用年限，本文重點(diǎn)分析和模擬了混凝土箱梁中氯離子傳輸過程。

氯離子在混凝土中傳輸機(jī)理主要有基于混凝土孔隙的毛細(xì)管吸收作用、基于壓力梯度的滲透作用和基于濃度梯度的擴(kuò)散作用。目前，氯離子在混凝土中的擴(kuò)散過程主要通過Fick第二擴(kuò)散定律來描述[7-9]，但是由于Fick第二擴(kuò)散定律的表達(dá)式用高斯誤差函數(shù)來表示，實(shí)際的模型分析時(shí)往往含有高階微分方程，而對于高階微分方程的求解比較繁瑣，從而不能被工程設(shè)計(jì)人員所推廣。

為了簡化計(jì)算，避免高次微分方程的求解，本文基于元胞自動機(jī)原理，建立了氯離子在混凝土箱梁中的元胞自動機(jī)擴(kuò)散模型(CA模型)。通過MATLAB編寫了計(jì)算程序，分析了氯離子在混凝土箱梁中的擴(kuò)散過程，計(jì)算了混凝土箱梁在不同深度、不同時(shí)刻、不同位置截面各個部位的氯離子含量，并和解析解作了比較，同時(shí)對結(jié)構(gòu)耐久性極限使用壽命進(jìn)行了預(yù)測。

2 元胞自動機(jī)原理

元胞自動機(jī)(Cellular Automata，簡稱CA)是把研究對象定義成一個由離散、有限狀態(tài)的元胞空間，按照一定的局部進(jìn)化規(guī)則，在使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算的基礎(chǔ)上，通過與其它相關(guān)理論的結(jié)合，在離散的時(shí)間維度上進(jìn)化的動力網(wǎng)格系統(tǒng)。元胞自動機(jī)主要由元胞、元胞空間、元胞領(lǐng)域、局部進(jìn)化規(guī)則、元胞狀態(tài)、邊界條件和初始條件等構(gòu)成[10]，其相互關(guān)系如圖1所示。

圖1 元胞自動機(jī)組成示意圖Fig.1 Schematic diagram of cellular automata

(1)元胞：元胞是元胞自動機(jī)的基本組成單位，是由分布在一維、二維等歐幾里德空間網(wǎng)格上的格點(diǎn)構(gòu)成的。

(2)元胞領(lǐng)域：在運(yùn)用元胞自動機(jī)原理來求解問題之前，必須定義一定的領(lǐng)域規(guī)則，確定元胞領(lǐng)域的類型。對于不同類型的元胞空間，應(yīng)當(dāng)采用不同維度的領(lǐng)域類型。根據(jù)文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]，對于二維元胞空間，常采用圖2所示的元胞領(lǐng)域。

圖2 二維元胞領(lǐng)域Fig.2 Cell domain in two dimensions

(3)局部進(jìn)化規(guī)則：是一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)，根據(jù)中心元胞在某一時(shí)刻(t)的狀態(tài)以及領(lǐng)域元胞的狀態(tài)來分析下一時(shí)刻(t+1)該元胞狀態(tài)的函數(shù)，即

(1)

3 基于2D元胞自動機(jī)的氯離子擴(kuò)散模型

3.1 模型的建立

在氯鹽等腐蝕性環(huán)境下，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)隨著氯離子擴(kuò)散作用的進(jìn)行，鋼筋表面氯離子濃度逐漸增加，使得混凝土中的鋼筋發(fā)生銹蝕。當(dāng)鋼筋表面氯離子濃度值大于某一臨界值時(shí)，鋼筋表面的鈍化膜將會發(fā)生破壞，從而導(dǎo)致鋼筋表面混凝土發(fā)生脫落，最終使結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞，嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的使用壽命。因此，只要通過研究在使用年限內(nèi)結(jié)構(gòu)中氯離子濃度的變化，就能夠?yàn)榛炷两Y(jié)構(gòu)耐久性設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)以及有效地預(yù)測結(jié)構(gòu)的耐久性極限使用壽命。

利用元胞自動機(jī)的算法來模擬混凝土結(jié)構(gòu)中氯離子的擴(kuò)散規(guī)律，獲得結(jié)構(gòu)內(nèi)任意時(shí)刻、任意位置處的氯離子濃度。首先應(yīng)對研究對象進(jìn)行網(wǎng)格劃分，根據(jù)問題的復(fù)雜程度，將所要研究的對象在時(shí)間和空間上離散成一維或二維的動力網(wǎng)格系統(tǒng)，系統(tǒng)中的每個網(wǎng)格可以看成一個元胞。此時(shí)，該元胞的狀態(tài)就代表了該位置處的氯離子濃度。

本文所建立的氯離子擴(kuò)散的元胞自動機(jī)模型，主要是在采用一定的局部進(jìn)化規(guī)則和元胞領(lǐng)域類型的基礎(chǔ)上，通過某一時(shí)刻(t)元胞(i，j)以及其領(lǐng)域元胞的狀態(tài)(濃度)來分析下一時(shí)刻(t+1)該元胞的狀態(tài)(濃度)，從而來獲得截面任意時(shí)刻、任意位置處氯離子濃度。

圖3 二維1/4無限大體的氯離子擴(kuò)散與領(lǐng)域模型Fig.3 The diffusion of chloride ion in 1/4 infinitely general and the model of cellular domain

3.2 進(jìn)化規(guī)則的確定

對于元胞自動機(jī)模型而言，局部進(jìn)化規(guī)則的制定是必不可少的步驟，氯離子在混凝土中的擴(kuò)散過程主要通過局部進(jìn)化規(guī)則來實(shí)現(xiàn)。對于圖3(a)所示的1/4半無限體而言，氯離子在混凝土中的擴(kuò)散過程屬于二維擴(kuò)散問題。同時(shí)，如果將混凝土看成各向同性材料時(shí)，二維Von Neumann型的元胞領(lǐng)域?qū)⒛軌蚝芎玫亟鉀Q氯離子在混凝土中的擴(kuò)散問題。

對于圖3(a)所示的1/4半無限體而言，氯離子在混凝土中的二維擴(kuò)散效應(yīng)可以進(jìn)一步地描述為式(2)[12],即

(2)

式中：D為氯離子擴(kuò)散系數(shù)；C為氯離子濃度。

對研究對象劃分網(wǎng)格后，取單個中心元胞及領(lǐng)域元胞如圖3(b)所示，網(wǎng)格尺寸分別為xi+1, j-xi, j=Δx，yi+1, j-yi, j=Δy，分別在x和y方向上，網(wǎng)格尺寸保持一致。

假定圖3(a)所示的二維氯離子在混凝土中的擴(kuò)散過程滿足各向同性，則對于二維氯離子的非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散微分方程，可以利用中心差分法來求解。差分法是把所求解的基本方程近似地改用差分方程來表示，把求解二維氯離子擴(kuò)散微分方程的問題轉(zhuǎn)化成求解代數(shù)方程的問題。

根據(jù)中心差分法[13]，可得：

(3)

(4)

(5)

式中：Δx為元胞沿x方向的尺寸;Δy為元胞沿y方向的尺寸;Δt為氯離子擴(kuò)散的時(shí)間步長。

將式(3)、式(4)、式(5)代入式(2)可得

(6)

假定所有元胞形狀大小相等，即Δx=Δy，則上式可進(jìn)一步簡化為：

λ0=1-4DΔt/(Δx)2；

(8)

λ1=DΔt/(Δx)2。

(9)

式中：λ0為位于(i，j)處的中心元胞t時(shí)刻氯離子濃度對t+Δt時(shí)刻中心元胞氯離子濃度的影響系數(shù)；λ1為位于(i，j)處的領(lǐng)域元胞t時(shí)刻氯離子濃度對t+Δt時(shí)刻中心元胞氯離子濃度的影響系數(shù)。

上式即為氯離子在混凝土中擴(kuò)散的濃度傳遞公式，即可通過t時(shí)刻中心元胞以及領(lǐng)域元胞的氯離子濃度值得到t+Δt時(shí)刻該中心元胞的濃度值。通過式(7)、式(8)和式(9)就可建立氯離子在混凝土中擴(kuò)散的元胞自動機(jī)模型。

3.3 模型計(jì)算參數(shù)的確定

3.3.1 氯離子擴(kuò)散系數(shù)

眾所周知，氯離子在混凝土中的擴(kuò)散過程不是一成不變的，而是一個隨時(shí)間、材料水灰比等變化的過程。為此，美國混凝土協(xié)會進(jìn)行了大量的試驗(yàn)研究，最終建議混凝土養(yǎng)護(hù)28 d時(shí)考慮水灰比的擴(kuò)散系數(shù)為

D28=1×10(-12.06+2.4w/b)。

(10)

式中w/b為材料水灰比。

Willam等根據(jù)試驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)混凝土中氯離子擴(kuò)散系數(shù)隨著時(shí)間的推移而逐漸降低。結(jié)果表明，擴(kuò)散系數(shù)隨時(shí)間增長而減小的規(guī)律能較好地用冪函數(shù)來擬合[1]，即：

Dt=D0(t28/t)m；

(11)

m=2.5w/b-0.6 。

(12)

式中：D0為初始氯離子擴(kuò)散系數(shù)；(t28/t)m為混凝土養(yǎng)護(hù)齡期系數(shù)；t為結(jié)構(gòu)服役時(shí)間；m為擴(kuò)散系數(shù)隨時(shí)間的依賴指數(shù)。

3.3.2 表面氯離子濃度

文獻(xiàn)[14]的試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，混凝土結(jié)構(gòu)表面氯離子濃度往往不是常數(shù)，而是一個隨時(shí)間變化的過程。根據(jù)文獻(xiàn)中的試驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)一步擬合得到混凝土表面氯離子濃度隨時(shí)間變化的擬合公式，即

Cs=0.196 8t0.104 1，R=0.937 1 。

(13)

3.3.3 臨界氯離子濃度

隨著氯離子擴(kuò)散作用的進(jìn)行，截面內(nèi)部氯離子濃度逐漸增加，使得混凝土中的鋼筋發(fā)生銹蝕，鋼筋表面混凝土發(fā)生銹脹，導(dǎo)致鋼筋表面混凝土發(fā)生脫落，最終使結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞。鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中，鋼筋表面氯離子濃度值大于某一臨界值時(shí)，鋼筋表面的鈍化膜將會發(fā)生破壞，此時(shí)氯離子濃度即為臨界氯離子濃度。文獻(xiàn)[15]的研究結(jié)果表明，對于預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)，臨界氯離子濃度一般取為0.13%。

4 模型驗(yàn)證

基于上述理論公式，本文借助MATLAB軟件，編寫了鋼筋混凝土中氯離子擴(kuò)散的二維CA模型的計(jì)算程序。選用文獻(xiàn)[16]中的混凝土試件氯離子侵蝕試驗(yàn)，建立氯離子擴(kuò)散的CA模型，分析計(jì)算了混凝土試件中氯離子的擴(kuò)散過程。試件的尺寸為100 mm×100 mm×100 mm，材料水灰比為0.5。選取立方體試件的中心截面，距離截面端部較遠(yuǎn)，因此氯離子在其截面內(nèi)的擴(kuò)散可以近似地認(rèn)為是二維擴(kuò)散。模型中采用的參數(shù)分別為：擴(kuò)散系數(shù)D=1.192 7 mm2/d；影響系數(shù)λ0和λ1分別為0.5和0.125；模型網(wǎng)格尺寸Δx=1 mm；通過式(9)計(jì)算得到元胞進(jìn)化步長Δt=0.104 8 d。通過MATLAB軟件編制的模型計(jì)算程序，計(jì)算了氯離子在試件橫截面內(nèi)擴(kuò)散經(jīng)歷30 d和70 d后，距離截面表面不同深度處氯離子的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，結(jié)果如圖4所示。為了便于比較，圖4同時(shí)給出了根據(jù)Fick第二擴(kuò)散定律得到的解析解。

圖4 不同時(shí)刻混凝土內(nèi)部氯離子濃度隨深度的 變化規(guī)律Fig.4 Variation of chloride ion concentration in concrete box girder with depth at different instances

由圖4可知，隨著擴(kuò)散作用的進(jìn)行，氯離子濃度隨著深度的增加而逐漸減小。除個別計(jì)算點(diǎn)外，元胞自動機(jī)模型的模擬結(jié)果與采用理論公式計(jì)算的解析解非常接近，且與文獻(xiàn)中的試驗(yàn)值也非常吻合，說明本文建立的元胞自動機(jī)模型能夠有效地模擬混凝土中氯離子的擴(kuò)散過程且精度較高。

5 算例分析

5.1 混凝土氯離子擴(kuò)散效應(yīng)分析

本文以我國南部沿海地區(qū)氯鹽環(huán)境下時(shí)速為250 km/h的欽防鐵路單線箱梁為研究對象。箱梁計(jì)算跨度31.5 m，梁寬7.6 m，底板寬3.8 m，跨中截面及配筋尺寸如圖5所示，材料水灰比為0.4。列車活荷載縱向采用ZK標(biāo)準(zhǔn)活荷載。梁體采用C50混凝土，彈性模量按規(guī)范[14]取值為E=3.55×104MPa，材料泊松比按規(guī)范取值為m=0.2。由于橋梁順橋向尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于橫橋向尺寸，因此氯離子在混凝土箱梁內(nèi)的擴(kuò)散過程可以看成是二維擴(kuò)散過程，可采用2D元胞自動機(jī)模型來分析。選取截面頂板中心、頂板與腹板交接外側(cè)、底板與腹板交接外側(cè)等3個部位的鋼筋作為研究對象，如圖5所示，分別記為1#鋼筋、2#鋼筋、3#鋼筋。

圖5 箱梁截面尺寸Fig.5 Dimensions of box girder section

當(dāng)混凝土氯離子擴(kuò)散作用進(jìn)行100 a時(shí)，由式(13)計(jì)算可得混凝土表面氯離子濃度Cs=0.587 4%。將水灰比0.4代入到式(10)、式(11)和式(12)可得到考慮時(shí)間和水灰比后的氯離子擴(kuò)散系數(shù)Dt=0.450 8×10-6mm2/s。選取模型網(wǎng)格尺寸為2 mm，影響系數(shù)λ0和λ1分別為0.5和0.125。由式(9)計(jì)算得到元胞進(jìn)化步長Δt=12.838 4 d。為了便于描述，取截面上A點(diǎn)到B點(diǎn)為Ⅰ方向、C點(diǎn)到D點(diǎn)為Ⅱ方向、E點(diǎn)到F點(diǎn)為Ⅲ方向，各個點(diǎn)的位置如圖5所示。通過MATLAB軟件編制的2D元胞自動機(jī)模型計(jì)算程序，分別計(jì)算了擴(kuò)散經(jīng)歷50,100 a時(shí)截面內(nèi)各個方向氯離子濃度隨深度的變化規(guī)律，結(jié)果如圖6所示。同時(shí)，根據(jù)程序得到的氯離子擴(kuò)散過程氯離子濃度分布圖如圖7所示，該圖真實(shí)地反映了氯離子在混凝土箱形截面中的擴(kuò)散過程和變化規(guī)律。

圖6 不同時(shí)刻各個方向氯離子濃度隨深度的變化規(guī)律Fig.6 Variations of chloride ion concentration with depth in different directions at different instances

圖7 不同時(shí)刻截面氯離子濃度分布Fig.7 Distribution of chloride ion concentration in cross section at different instances

從圖6可以看出，沿同一擴(kuò)散方向，隨著擴(kuò)散作用的進(jìn)行，曲線的斜率逐漸減小，表明氯離子擴(kuò)散速度隨著時(shí)間的推移逐漸減小，這是因?yàn)殡S著擴(kuò)散作用的進(jìn)行，混凝土內(nèi)部孔隙逐漸減小以及混凝土內(nèi)外濃度差逐漸減小的原因造成的。除此之外，隨著擴(kuò)散作用的進(jìn)行，截面內(nèi)部氯離子濃度隨深度的增加而逐漸減小。

從圖6中數(shù)值結(jié)果來看，2#鋼筋保護(hù)層位置的氯離子濃度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他2個位置的氯離子濃度。3#鋼筋保護(hù)層位置的氯離子濃度明顯大于其他同等保護(hù)層厚度部位氯離子濃度，主要是因?yàn)樵谶@些部位混凝土受到2個方向的擴(kuò)散作用，因此在結(jié)構(gòu)耐久性設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)后期的維修和加固時(shí)對此部位應(yīng)予以重視。對于箱梁這種復(fù)雜截面形式的混凝土結(jié)構(gòu)而言，應(yīng)特別注重截面倒角部位氯離子擴(kuò)散效應(yīng)的分析。

從圖7可以看出:隨著擴(kuò)散時(shí)間的推移，氯離子逐漸從截面表面向截面內(nèi)擴(kuò)散，截面同一深度氯離子濃度逐漸增加。根據(jù)截面倒角形式的不同，截面內(nèi)部氯離子擴(kuò)散呈現(xiàn)出不同的特點(diǎn)，在頂板與腹板相交位置處，氯離子擴(kuò)散速度小于其他普通位置，是因?yàn)槁入x子擴(kuò)散的路徑相比其他位置較遠(yuǎn)造成的；底板與腹板相交位置處，氯離子擴(kuò)散速度明顯大于其他普通位置，主要是由于在此處氯離子受到2個方向擴(kuò)散作用的影響，這和圖6得到的結(jié)論相一致。

5.2 結(jié)構(gòu)耐久性使用壽命預(yù)測

基于上述建立的混凝土箱梁氯離子擴(kuò)散的2D元胞自動機(jī)模型，本文通過計(jì)算得到各個控制點(diǎn)氯離子濃度達(dá)到臨界氯離子濃度0.13%時(shí)的擴(kuò)散時(shí)間，以此來實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)耐久性使用壽命的預(yù)測。根據(jù)模型計(jì)算程序，計(jì)算得到截面各個控制點(diǎn)鋼筋表面氯離子濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖8所示。

圖8 各控制點(diǎn)氯離子濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律Fig.8 Variation of chloride ion concentration of control points against time

從圖8可以看出:由于截面所處位置的不同，氯離子在混凝土中的擴(kuò)散呈現(xiàn)出不同的擴(kuò)散規(guī)律。3#鋼筋表面氯離子濃度首先達(dá)到臨界氯離子濃度所需的擴(kuò)散時(shí)間明顯少于1#鋼筋。主要是由于氯離子在頂板中的擴(kuò)散主要是從頂板表面沿厚度方向進(jìn)行的，可認(rèn)為是一維擴(kuò)散作用的結(jié)果，而底板與腹板相交部位氯離子濃度受到2個方向的擴(kuò)散作用，是二維擴(kuò)散作用的結(jié)果。而對于2#鋼筋而言，即使結(jié)構(gòu)服役100 a，鋼筋表面氯離子濃度也不會達(dá)到臨界濃度。因此，對于該混凝土箱梁而言，3#鋼筋表面氯離子濃度達(dá)到臨界濃度所需的時(shí)間即為該結(jié)構(gòu)耐久性服役壽命。

為了直觀反映各個鋼筋表面氯離子濃度達(dá)到臨界氯離子濃度所需的最小擴(kuò)散時(shí)間，將圖8進(jìn)一步量化得到表1。表1反映了當(dāng)各控制點(diǎn)鋼筋表面濃度達(dá)到臨界濃度時(shí)所需的最少時(shí)間，即為結(jié)構(gòu)的耐久性使用壽命。同時(shí)，為了便于比較，表1同時(shí)給出了壽命預(yù)測的解析解。

表1 鋼筋表面氯離子濃度達(dá)到臨界濃度所需的擴(kuò)散時(shí)間Table 1 Time required for the concentration of chloride ions reaching the critical concentration on surface of steel bars

由圖8和表1可知:該混凝土箱梁橋服役51 a左右,3#鋼筋表面氯離子濃度首先達(dá)臨界氯離子濃度0.13%，因此認(rèn)為該混凝土結(jié)構(gòu)在服役51 a左右時(shí)將達(dá)到結(jié)構(gòu)耐久性極限狀態(tài)。從表1的比較結(jié)果來看，本文建立的元胞自動機(jī)模型的模擬值和解析解吻合良好，最大誤差不超過2%，說明本文方法具有較高的精度，對實(shí)際工程具有一定的指導(dǎo)意義。

6 結(jié) 論

本文以混凝土箱形截面梁為例，建立了模擬混凝土箱梁中氯離子擴(kuò)散過程的2D元胞自動機(jī)模型，并通過該模型對結(jié)構(gòu)耐久性使用壽命進(jìn)行了預(yù)測，并和解析解進(jìn)行了對比。通過分析，可以得到以下結(jié)論：

(1)與Fick第二擴(kuò)散定律的解析解相比，本文建立的元胞自動機(jī)模型的模擬結(jié)果精度較高，可以有效地模擬混凝土箱梁中氯離子侵蝕的過程，可對結(jié)構(gòu)性能退化研究、橋梁結(jié)構(gòu)壽命預(yù)測以及耐久性等方面的研究提供一定的參考價(jià)值。

(2)隨著擴(kuò)散時(shí)間的推移，氯離子逐漸向混凝土截面內(nèi)部侵蝕。由于箱梁截面倒角形式的不同，氯離子擴(kuò)散規(guī)律呈現(xiàn)出不同的擴(kuò)散特點(diǎn)，應(yīng)注重截面倒角部位氯離子擴(kuò)散效應(yīng)的分析。

(3)預(yù)測結(jié)果表明，當(dāng)該混凝土箱梁服役51 a左右時(shí)，箱梁腹板和底板相交位置氯離子濃度最先達(dá)到結(jié)構(gòu)耐久性極限設(shè)計(jì)要求，因此在混凝土結(jié)構(gòu)耐久性壽命設(shè)計(jì)和對既有混凝土箱梁橋進(jìn)行后期的維修和加固時(shí)對該部位應(yīng)予以足夠的重視。