基于分層貝葉斯模型的損失準(zhǔn)備金估計(jì)

章溢 劉志強(qiáng) 鄒思思 溫利民

摘要：傳統(tǒng)的準(zhǔn)備金模型主要是通過(guò)加總個(gè)體數(shù)據(jù)得到聚合損失三角形數(shù)據(jù)建立的，然而，這種數(shù)據(jù)的加總對(duì)原始個(gè)體數(shù)據(jù)產(chǎn)生不可避免的信息浪費(fèi).雖然這種方法簡(jiǎn)單，但可導(dǎo)致準(zhǔn)備金估計(jì)的較大偏差.近年來(lái)提出的個(gè)體數(shù)據(jù)準(zhǔn)備金模型中大都沒(méi)有考慮保單合同之間的相依性.本文假設(shè)相同事故年的保單產(chǎn)生的索賠具有某種共同效應(yīng)導(dǎo)致的相依情形，通過(guò)建立個(gè)體數(shù)據(jù)準(zhǔn)備金的分層貝葉斯模型，利用信度理論的思想，得到每個(gè)事故年的準(zhǔn)備金估計(jì)，從而得到總準(zhǔn)備金的估計(jì).進(jìn)而，討論了發(fā)展因子和結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計(jì)及其相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì).最后，給出數(shù)值例子表明本文給出的準(zhǔn)備金估計(jì)的計(jì)算方法，并且比較了個(gè)體數(shù)據(jù)和聚合數(shù)據(jù)下準(zhǔn)備金估計(jì)的均方誤差.

關(guān)鍵詞：損失準(zhǔn)備金;共同效應(yīng);個(gè)體損失數(shù)據(jù);信度估計(jì)

中圖分類(lèi)號(hào)：0157.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI：10.3969/j.issn.1000-5641.2019.01.002

0引言

損失準(zhǔn)備金是指保險(xiǎn)人為未來(lái)可能的索賠導(dǎo)致的損失所提取出來(lái)的金額.充足的準(zhǔn)備金是保證保險(xiǎn)公司業(yè)務(wù)穩(wěn)定的前提.準(zhǔn)備金的估計(jì)和提取是保險(xiǎn)公司中最為重要的一項(xiàng)工作.

準(zhǔn)備金估計(jì)最常用的方法是所謂的鏈梯法，或B-F法等.這些方法估計(jì)未來(lái)準(zhǔn)備金的基礎(chǔ)是損失三角形數(shù)據(jù).注意到損失三角形數(shù)據(jù)是精算師為了準(zhǔn)備金估計(jì)的方便對(duì)以往所有保單的索賠數(shù)據(jù)進(jìn)行加工整理而得到的.由于鏈梯法有現(xiàn)成的計(jì)算規(guī)則，計(jì)算簡(jiǎn)單且操作方便，更加易于理解，因此在保險(xiǎn)公司中得到廣泛運(yùn)用，理論上也進(jìn)行了大量的研究.然而，在損失三角形數(shù)據(jù)的形成過(guò)程中，數(shù)據(jù)的加總?cè)菀讚p失保單個(gè)體索賠的信息，從而導(dǎo)致準(zhǔn)備金估計(jì)出現(xiàn)較大的偏差.另外，加總后的損失三角形也無(wú)法再恢復(fù)原始的索賠信息.因此，有研究者提出利用個(gè)體索賠數(shù)據(jù)的原始信息直接估計(jì)準(zhǔn)備金，最后對(duì)準(zhǔn)備金進(jìn)行加總得到總準(zhǔn)備金.為了和鏈梯法相區(qū)分，我們常常把鏈梯法中運(yùn)用的損失三角形稱(chēng)為聚合數(shù)據(jù)模型，而后者稱(chēng)為個(gè)體數(shù)據(jù)模型.近年來(lái)，個(gè)體數(shù)據(jù)的責(zé)任準(zhǔn)備金模型得到充分的發(fā)展，也積累了大量的文獻(xiàn)，例如俞雪梨和溫利民利用個(gè)體數(shù)據(jù)模型研究了已報(bào)未決賠款準(zhǔn)備金的線性估計(jì)，Zhao等人建立了個(gè)體數(shù)據(jù)的半?yún)?shù)預(yù)測(cè)模型，Zhao和Zhou建立了個(gè)體索賠的Copula模型等.

由于個(gè)體保單的原始數(shù)據(jù)較為復(fù)雜，特別是保單之間常常呈現(xiàn)相依性.以往的個(gè)體數(shù)據(jù)責(zé)任準(zhǔn)備金模型中常常假設(shè)個(gè)體保單之間的索賠是相互獨(dú)立的.然而，這種獨(dú)立性假設(shè)與實(shí)際的復(fù)雜風(fēng)險(xiǎn)模型是不相符的.在非壽險(xiǎn)精算中，已有許多文獻(xiàn)建立了風(fēng)險(xiǎn)相依模型，相關(guān)的研究可參考文獻(xiàn)[9-11]等.本文將考慮風(fēng)險(xiǎn)相依中責(zé)任準(zhǔn)備金的估計(jì)問(wèn)題.

由于風(fēng)險(xiǎn)的非齊次性，每個(gè)保單的索賠都依賴(lài)于保單本身的風(fēng)險(xiǎn)特征.在非壽險(xiǎn)精算中，常常用隨機(jī)變量θ來(lái)刻畫(huà)該保單的風(fēng)險(xiǎn)特征，稱(chēng)之為風(fēng)險(xiǎn)參數(shù).因而責(zé)任準(zhǔn)備金模型的統(tǒng)計(jì)推斷就落入了貝葉斯框架.假設(shè)各個(gè)保單之間由于某種共同效應(yīng)的影響和呈現(xiàn)相依結(jié)構(gòu)，且這種共同效應(yīng)因子本身也是隨機(jī)變量，則具有共同效應(yīng)相依的風(fēng)險(xiǎn)模型恰好是貝葉斯統(tǒng)計(jì)中的分層貝葉斯模型，可參考文獻(xiàn)[12-13].為了使得準(zhǔn)備金的估計(jì)不依賴(lài)于風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)和共同效應(yīng)的先驗(yàn)分布，本文將利用信度理論的思想，將責(zé)任準(zhǔn)備金的估計(jì)限定在所有個(gè)體損失的線性函數(shù)中.在平方損失函數(shù)下，最小化期望損失得到最小求解責(zé)任準(zhǔn)備金的最優(yōu)估計(jì).

本文主要研究分層相依風(fēng)險(xiǎn)模型中責(zé)任準(zhǔn)備金的估計(jì).為了充分使用樣本信息，我們對(duì)個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)的索賠進(jìn)行模型假設(shè)，利用信度理論的方法避開(kāi)先驗(yàn)分布的選取，從而得到的準(zhǔn)備金估計(jì)只需要先驗(yàn)分布的前兩階矩，最后利用經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法提出了結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計(jì)方法，最終的責(zé)任準(zhǔn)備金估計(jì)僅僅依賴(lài)于樣本數(shù)據(jù)，可以在實(shí)際中直接使用.后面的章節(jié)安排如下：第1節(jié)給出分層貝葉斯模型的假設(shè)和符號(hào);第2節(jié)給出準(zhǔn)備金的信度估計(jì)，并討論估計(jì)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì);第3節(jié)研究信度估計(jì)中的結(jié)構(gòu)參數(shù)和索賠方式的估計(jì)問(wèn)題;最后一節(jié)給出數(shù)值模擬，比較本文的估計(jì)與鏈梯法估計(jì)的均方誤差.

顯然，在均方誤差的意義下，信度估計(jì)比鏈梯估計(jì)更優(yōu).更重要的是，利用個(gè)體數(shù)據(jù)能構(gòu)造結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計(jì)，而聚合數(shù)據(jù)的加總過(guò)程已經(jīng)損失了個(gè)體保單的方差信息，因而個(gè)體數(shù)據(jù)模型比聚合模型更具有優(yōu)勢(shì).