數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)與形

謝仕飛

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中空間形式與數(shù)量關(guān)系的一門學(xué)科，故數(shù)學(xué)的研究是圍繞數(shù)和形展開的，而數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)在于數(shù)量關(guān)系決定著幾何圖形屬性，幾何圖形的屬性反映著數(shù)量關(guān)系。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中，數(shù)形結(jié)合既是一種常用的數(shù)學(xué)方法又是一種數(shù)學(xué)思想。由此可見，在中學(xué)階段，掌握并熟練運(yùn)用這一思想是十分必要的。本文針對數(shù)形結(jié)合思想的形成和演進(jìn)，數(shù)形結(jié)合思想解題能力的培養(yǎng)，以及在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用范圍做了淺顯陳述。

1 數(shù)形結(jié)合思想

1.1 數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”?！耙詳?shù)解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等。

1.2 數(shù)形結(jié)合思想歷史

隨著時間的推移，數(shù)學(xué)得到了不斷的拓展和充實(shí)，數(shù)學(xué)中最原始的研究對象數(shù)與形也在不斷地變化，從最初因需要而產(chǎn)生數(shù)到歐幾里德撰寫的《幾何原本》，再到從笛卡爾創(chuàng)立平面直角坐標(biāo)系到近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究，數(shù)形結(jié)合一直伴隨其行。在古希臘數(shù)學(xué)時期，畢達(dá)哥斯拉學(xué)派在研究數(shù)學(xué)時，就借助形來歸納數(shù)的性質(zhì)，這便是早期的“數(shù)”與“形”結(jié)合的體現(xiàn)。

數(shù)軸的建立使人類對數(shù)與形的統(tǒng)一有了初步的認(rèn)識，把實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)起來，數(shù)可視為點(diǎn)，點(diǎn)可當(dāng)作數(shù)，點(diǎn)在直線上的位置關(guān)系可以數(shù)量化，而數(shù)的運(yùn)算可以幾何化。1637年，笛卡爾在其《幾何學(xué)》中，首次提出了點(diǎn)的坐標(biāo)和變數(shù)的思想，并借助坐標(biāo)系用含有數(shù)的代數(shù)方程來表示和研究曲線。笛卡爾把數(shù)軸（一維）擴(kuò)展到平面直角坐標(biāo)系，把有序數(shù)對 與平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)起來，從而使得平面曲線的點(diǎn)集與二元方程組的解集一一對應(yīng)起來。于是就可以用代數(shù)方法來研究幾何圖形的性質(zhì)，把幾何研究轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的代數(shù)的研究。

1.3 數(shù)形結(jié)合思想方法在教學(xué)中的作用

有助于學(xué)生形成和諧、完整的數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)邏輯的起點(diǎn)，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的核心，但是由于數(shù)學(xué)中的概念往往是高度抽象的，給人一種單調(diào)、乏味、枯燥、難懂的錯覺。利用數(shù)形結(jié)合的思想可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念。化抽象為具體，有利于數(shù)學(xué)概念的理解、記憶。這一點(diǎn)主要表現(xiàn)在以下幾個方面，第一、利用數(shù)形結(jié)合，容易揭示數(shù)學(xué)概念的來龍去脈，學(xué)生易于感知和接受。第二、利用數(shù)形結(jié)合有利于學(xué)生對知識本質(zhì)的理解。第三、利用數(shù)形結(jié)合，為概念賦予圖形信息，幫助學(xué)生利用圖形信息來理解記憶概念及對相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行應(yīng)用。

2 數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位

2.1 從新課程標(biāo)準(zhǔn)對思維能力的要求看數(shù)形結(jié)合

（1）從新課程標(biāo)準(zhǔn)對“雙基”的要求來看數(shù)形結(jié)合思想

強(qiáng)調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握。對一些核心概念和基本思想都要貫穿中學(xué)教學(xué)的始終，由于數(shù)學(xué)的高度抽象性，要注重體現(xiàn)概念的來龍去脈，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)概念的過程。重視基本技能訓(xùn)練。與時俱進(jìn)地審視雙基。隨著時代和數(shù)學(xué)的發(fā)展，中學(xué)數(shù)學(xué)中的雙基也在發(fā)生變化，例如統(tǒng)計、概率、導(dǎo)數(shù)、向量、算法等內(nèi)容已成為中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識。從整體到局部，從具體到抽象，從一般到特殊，而且應(yīng)注意用向量方法（代數(shù)方法）處理有關(guān)問題；不等式教學(xué)要關(guān)注它的幾何背景及應(yīng)用；三角恒等變形的教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)與向量的聯(lián)系，簡化相應(yīng)的運(yùn)算和證明……由此可見，新課程把數(shù)形結(jié)合思想作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想，要求教師能充分挖掘它的教學(xué)功能和解題功能。

（2）從新課程標(biāo)準(zhǔn)對思維能力的要求來看數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想能幫助學(xué)生樹立現(xiàn)代思維意識：第一通過數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，把形象思維與抽象思維有機(jī)地結(jié)合，盡可能地先形象后抽象，不但能促進(jìn)這兩種思維能力同步發(fā)展，還為學(xué)生初步形成辯證思維能力創(chuàng)造了條件。第二通過數(shù)形結(jié)合，能夠有的放矢地幫助學(xué)生 從多角度、多層次出發(fā)地思考問題，養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣。第三通過數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生變靜態(tài)思維方式為動態(tài)思維方式，也就是以運(yùn)動、變化、聯(lián)系的觀點(diǎn)考慮問題，更好地把握事情的本質(zhì)。

2.2 從新課程教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)來看數(shù)形結(jié)合

縱觀近年來的中、高考，熔“數(shù)”和“形”于一體的試題屢見不鮮。目前我們使用的新課本，不再把數(shù)學(xué)課劃分為“代數(shù)”、“幾何”，而是綜合為一門數(shù)學(xué)課，這樣更有利于“數(shù)”與“形”的結(jié)合，因此數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要做好“數(shù)”與“形”關(guān)系的揭示與轉(zhuǎn)化，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學(xué)生類比、發(fā)掘，剖析其所具有的幾何模型，這對于幫助學(xué)生深化思維，擴(kuò)展知識，提高能力都有很大的幫助。

綜上所述，代數(shù)方法的特點(diǎn)是解答過程嚴(yán)密、規(guī)范，思路清晰，幾何方法具有直觀、形象的優(yōu)勢。數(shù)形結(jié)合思想方法貫穿整個中學(xué)數(shù)學(xué)，它既是一種解題方法，又是一種數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合思想方法能夠變抽象思維為形象思維，有助有在解題的過程當(dāng)中把握問題的本質(zhì)，其實(shí)質(zhì)就是“數(shù)中思形，以形助數(shù)”，數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，它能使很多代數(shù)問題化繁為簡，使我們能快速準(zhǔn)確的獲得結(jié)果。因此對數(shù)形結(jié)合思想的掌握與運(yùn)用，對于中學(xué)生來說是有必要的。

（作者單位：余慶縣城關(guān)中學(xué)）