具有不對稱非線性項平面系統(tǒng)周期解的存在性*(下)

馬 田 田

(首都師范大學，北京 100048)

4 主要引理的證明

x(t)=r(t)cosθ(t),y(t)=r(t)sinθ(t).

通過極坐標變換，系統(tǒng)(3.1)變形為

(3.2)

這里p1(t,r,θ)=p1(t,rcosθ,rsinθ),p2(t,r,θ)=p2(t,rcosθ,rsinθ). 令

(r(t),θ(t))=(r(t,r0,θ0),θ(t,r0,θ0))

表示系統(tǒng)(3.2)滿足初始條件r(0,r0,θ0)=r0,θ(0,r0,θ0)=θ0的解，其中x0=r0cosθ0,y0=r0sinθ0.

接下來，引進旋轉(zhuǎn)數(shù)的定義. 假設(shè)(x(t),y(t))是系統(tǒng)(3.1)的一個2π周期解，且對任意t∈[0,2π]，有x(t)2+y(t)2≠0, 其相應(yīng)的極坐標表示為(r(t),θ(t)). 定義 (x(t),y(t))的旋轉(zhuǎn)數(shù)為

4.1 引理3.4的證明

使得

和

x*=x(t*)=max{x(t)∶α≤x(t)≤β}.

因為x′(t*)=0, 所以f(y(t*))+λp1(t*,x(t*),y(t*))=0. 根據(jù)條件(h4), |f(y(t*))|≤M0. 由(h2)、(h3)可知存在d1>0使得|y(t*)|≤d1. 根據(jù)(h2)可知f(y)在區(qū)間[-d1,+∞)上是有下界的，而由(h3)可知f(y)在區(qū)間(-∞,d1]上是有上界的. 因此, 存在η>0使得

f(y)≥-η,y∈[-d1,+∞);f(y)≤η,y∈(-∞,d1].

(3.3)

下面估計t*-α. 選取常數(shù)M>M0(M0是條件(h4)中的常數(shù)).令

顯然,M1>M0. 由(h1)可知存在d2>0使得

sgn(x)g(x)≥M1, |x|≥d2.

(3.4)

定義W+∶R2→R,

W+(x,y)=F(y)+G(x)+M(x-y).

記

W+(t)=F(y(t))+G(x(t))+M(x(t)-y(t)).

則有

若x(t)≥d2，y(t)≥-d1, 則由(h4), (3.3)和(3.4)可得

從而當(x(t),y(t))位于區(qū)域{(x,y)∈R2∶x≥d2,y≥-d1}中時，W+(t)是遞增的. 取tα∈(α,t*)，tβ∈(t*,β)使得

x(tα)=d2,x(t)≥d2,t∈(tα,t*),

及

x(tβ)=d2,x(t)≥d2,t∈(t*,tβ).

因為y′(t)=-g(x(t))+λp2(t,x(t),y(t)), 所以由條件(h4)和(3.4)可知當t∈[tα,t*]時，有y′(t)≤0. 進而，y(t)≥y(t*)≥-d1,t∈[tα,t*]. 這樣，當t∈[tα,t*]時, 有

W+(t)≤W+(t*).

因此，

F(y(t))+G(x(t))+M(x(t)-y(t))≤F(y(t*))+G(x*)+M(x*-y(t*)).

由于|y(t*)|≤d1, 故存在常數(shù)B1>0使得|F(y(t*))|≤B1. 進而可知

F(y(t))-My(t)≤[G(x*)-G(x(t))]+M[x*-x(t)]+B1+Md1.

(3.5)

(l+-ε)y-Mε≤f(y)≤(l++ε)y+Mε,y≥-d1,

及

(3.6)

由(3.5)和(3.6)可得當t∈[tα,t*]時, 有

(l+-ε)y2(t)-2(M+Mε)y(t)≤2[G(x*)-G(x(t))]+2M[x*-x(t)]+B2,

這里B2=2(Mε′+B1+Md1). 因此，可得

故當t∈[tα,t*]時, 有

y(t)≤

注意到x′(t)=f(y(t))+λp1(t,x(t),y(t)), 由(h4)可知當t∈[tα,t*]時, 有

(3.7)

由(h1)可以推出當x*→+∞時,

故有

+o(1).

取一個正常數(shù)K. 記

其中

若x∈[0,x*-K],則當x*充分大時, 有

G(x*)-G(x)+M(x*-x)≥G(x*)-G(x*-K)+MK=[g(ξ1)+M]K→+∞,x*→∞,

這里ξ1∈[x*-K,x*].因此，當x*→+∞時, 有

若x∈[x*-K,x*], 則有

G(x*)-G(x)+M(x*-x)=[G(x*)+Mx*]-[G(x)+Mx]=[g(ξ2)+M](x*-x)≥μ(x*)(x*-x),

其中ξ2∈[x*-K,x*],μ(x*)=min{g(x)+M∶x*-K≤x≤x*}. 顯然，μ(x*)→+∞,x*→+∞. 從而，可得

易知

根據(jù)Ji(i=1,2)的漸近性可知當時x*→+∞, 有

(3.8)

由[6]中的引理4和條件(τ0)可得

(3.9)

由(3.7)，(3.8)和(3.9)可知當x(t*)→+∞時, 有

接下來估計tα-α. 因為0≤x(t)≤d2,α≤t≤tα,故由引理3.2可知當x*→+∞時, 有min{y(t)|α≤t≤tα}→+∞, 進而，cα=min{f(y(t))|α≤t≤tα}→+∞.

對等式x′(t)=f(y(t))+λp1(t,x(t),y(t))兩邊在區(qū)間[α,tα]上取積分，可得

因此，

(cα-M0)(tα-α)≤d2.

于是，當x*→+∞時, 有

tα-α=o(1).

這樣，就證明了當x*→+∞時, 有

下面估計β-t*.定義函數(shù)W-∶R2→R,

W-(x,y)=F(y)+G(x)+M(x+y).

令

W-(t)=F(y(t))+G(x(t))+M(x(t)+y(t)).

則有

若x(t)≥d2，y(t)≤d1, 則由(h4),(3.3)和 (3.4)可得

由此可知當(x(t),y(t))位于區(qū)域{(x,y)∈R2∶x≥d2,y≤d1}中時，W-(t)是遞減的. 應(yīng)用估計t*-α的方法，可以推得

因此，當x*→+∞時, 有

應(yīng)用同樣的方法可以推得

故有

令ε→0, 可得

4.2 引理3.5的證明

沿用證明引理3.5時的記號, 先估計β-α. 定義U+∶R2→R,

U+(x,y)=F(y)+G(x)-M(x-y).

令

U+(t)=F(y(t))+G(x(t))-M(x(t)-y(t)).

若x(t)≥d2，y(t)≥-d1,則由(h4),(3.3) 和 (3.4) 可得

≤(M+M0)η+(M0-M)g(x(t))+2MM0≤0.

因此，當(x(t),y(t))位于區(qū)域{(x,y)∈R2∶x≥d2,y≥-d1}中時，U+(t)是遞減的. 從而，當t∈[tα,t*]時,

U+(t)≥U+(t*).

由此可知當t∈[tα,t*]時，

F(y(t))+G(x(t))-M(x(t)-y(t))≥F(y(t*))+G(x*)-M(x*-y(t*)).

(3.10)

根據(jù)引理3.5的證明可知存在一個常數(shù)B1>0使得|F(y(t*))|≤B1. 由(3.10)可得

F(y(t))+My(t)≥(G(x*)-G(x(t)))-M(x*-x(t))-M1,t∈[tα,t*],

(3.11)

這里M1=B1+Md1. 對充分小的0<ε0使得當y≥-d1時,

(l+-ε)y-Mε≤f(y)≤(l++ε)y+Mε.

(3.12)

進而，存在M2>0使得當y≥-d1時,

(3.13)

于是，由(3.11)和(3.13) 可推出當t∈[tα,t*]時，

(l++ε)y2(t)+2(M+Mε)y(t)≥2(G(x*)-G(x(t)))-2M(x*-x(t))-2(M1+M2).

故有

(3.14)

G(x*)-G(x(t))-M(x*-x(t))

=[G(x*)-Mx*]-[G(x(t))-Mx(t)]

≥[G(x*)-Mx*]-[G(x*-L)-M(x*-L)]

=[G(x*)-G(x*-L)]-ML

=[g(ξ)-M]L→+∞, 當x*→+∞,

(3.15)

這里ξ∈[x*-L,x*]. 因此，存在常數(shù)C1>0使得當x*≥C1并且x(t)∈[d2,x*-L]時,

(3.16)

由(3.14)和(3.16)可知當x(t)∈[d2,x*-L]時, 有

因為x′(t)=f(y(t))+λp1(t,x(t),y(t)),所以由 (3.12)可推得

令t1∈[tα,t*]使得x(t1)=x*-L.則可得

由(3.15)和[6]中引理4可知當x*→+∞時, 有

因此，當x*→+∞時, 得到

(3.17)

接下來，估計t*-t1. 對等式x′(t)=f(y(t))+λp1(t,x(t),y(t))兩邊在區(qū)間[t1,t*]積分可得

故有

另一方面， 由(3.12)可知

從而，

(3.18)

對等式y(tǒng)′(t)=-g(x(t))+λp2(t,x(t),y(t))兩邊在區(qū)間[t,t*](t∈[t1,t*])上積分, 可得

這里ν(x*)=min{g(x)|x∈[x*-L,x*]}. 顯然，當x*→+∞時，ν(x*)→+∞. 因此，

(3.19)

根據(jù)(3.18)和(3.19)可知當x*→+∞時,

t*-t1=o(1).

結(jié)合(3.17)可得

由引理3.5的證明可知tα-α=o(1),x*→+∞. 因此， 得到當x*→+∞時, 有

為了估計β-t*, 引進另一個函數(shù)U-∶R2→R,

U-(x,y)=F(y)+G(x)-M(x+y).

令

U-(t)=F(y(t))+G(x(t))-M(x(t)+y(t)).

若x(t)≥d2,y(t)≤d1,則由(h4), (3.3)和(3.4)可得

-η(M0+M)+g(x(t))(M-M0)-2M0M≥0.

由此可知當(x(t),y(t))位于區(qū)域{(x,y)∈R2∶x≥d2,y≤d1}中時，U-(t)是遞增的. 應(yīng)用估計t*-α的方法, 可以得到當x*→+∞時, 有

因此，

類似地，可以推得

于是, 當x*→+∞時, 有

5 定理1.1的證明

只需驗證連續(xù)性定理2.1的4個條件都滿足即可，分4步進行驗證.

(1) 存在常數(shù)D>0使得若(x(t),y(t))是系統(tǒng)

x′=f(y),y′=-g(x)

(4.1)

的任意2π周期解，則有

x2(t)+y2(t)≤D2,t∈[0,2π].

事實上, 系統(tǒng)(4.1)的首次積分可以表示為

Γc∶F(y)+G(x)=c,

這里F(y),G(x)是在第三節(jié)中定義的函數(shù),c是一個任意常數(shù). 易知當c>0充分大時,Γc一條圍繞原點的星型閉曲線. 對充分大的c, 用(xc(t),yc(t))表示系統(tǒng)(4.1)位于曲線Γc的周期解，其最小周期記為T(c). 由引理3.5和引理 3.6的證明 (λ=0的情形)可知對任意充分小的ε(0<ε0, 有

根據(jù)條件(τ0)可以取充分小的ε使得當c充分大時，有

設(shè)(x(t),y(t))是位于曲線Γc的一個2π周期解, 則存在一個整數(shù)k>0使得kT(c)=2π. 從而，n

(2) 定義F∶R3×[0,1]→R2,

F(t,x,y;λ)=(f(y)+λp1(t,x,y), -g(x)+λp2(t,x,y)).

則有

F(t,x,y;0)=(f(y),-g(x))F(x,y)

F(t,x,y;1)=(f(y)+p1(t,x,y), -g(x)+p2(t,x,y)).

由(h2)、(h3) 可得

(4.2)

根據(jù)(4.2)和(h1)可推出當r充分大時，d(F,B(0,r),0)=1.

(4.3)

由(τ0)可知

(4.4)

由(4.3)和(4.4)可得n

注記4.1定理1.2可以用類似證明定理1.1的方法證明. 事實上, 在定理1.2的條件下, 連續(xù)性定理2.1的前3個條件任然成立. 由引理3.4和條件(τ1)可證得條件(4)也成立. 因此，連續(xù)性定理2.1的4個條件都成立，從而, 系統(tǒng)(1.1)至少存在一個2π周期解.