基于相空間對(duì)稱Lorenz陣子群的混沌保密通信研究

劉林芳，芮國(guó)勝，張洋，吳前龍

（海軍航空大學(xué)信號(hào)與信息處理山東省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 煙臺(tái) 264001）

1 引言

混沌運(yùn)動(dòng)是自然界中存在的一類復(fù)雜的非線性運(yùn)動(dòng)，具有初值敏感性、有界性、類隨機(jī)性、連續(xù)寬帶頻譜等特征[1-4]，因此在保密通信、信號(hào)檢測(cè)、自動(dòng)控制等諸多領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用[5-8]。早在1990年，數(shù)學(xué)家Pecora等[9]就提出了基于混沌理論的加密方法?；煦缤降睦碚摵头椒ǔ霈F(xiàn)后，混沌保密通信便成為保密通信領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)，其研究主要集中于混沌同步控制、混沌加密算法等方面。

目前，國(guó)內(nèi)外已提出的混沌同步控制方法有線性反饋法[10]、自適應(yīng)控制法[11]、主動(dòng)控制法[12]、非線性控制法[13-14]、滑模控制法[15]等。文獻(xiàn)[16]研究了混沌系統(tǒng)與超混沌系統(tǒng)的脈沖同步，文獻(xiàn)[17]實(shí)現(xiàn)了超混沌系統(tǒng)的完全同步及時(shí)延同步，文獻(xiàn)[18]實(shí)現(xiàn)了不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步控制?；煦绫Ｃ芡ㄐ胖饕谢煦缪谏w通信[19]、混沌鍵控通信[20]、混沌調(diào)制通信[21]等?；煦缪谏w通信的原理是在發(fā)送端將待發(fā)送信息隱藏在混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌信號(hào)中，在接收端通過(guò)混沌同步去掉接收信號(hào)中的混沌信號(hào)，實(shí)現(xiàn)對(duì)原始信息的恢復(fù)?；煦珂I控通信的原理是在發(fā)送端利用2種不同的混沌信號(hào)分別代表0和1，接收端由與發(fā)送端相同的2個(gè)混沌陣子組成，通過(guò)判斷每個(gè)碼元內(nèi)接收信息與混沌陣子的同步與否來(lái)解調(diào)出有用信息。混沌調(diào)制通信的原理是在發(fā)送端將待發(fā)送信息調(diào)制到混沌系統(tǒng)參數(shù)中，在接收端通過(guò)混沌系統(tǒng)的同步來(lái)恢復(fù)出混沌系統(tǒng)的參數(shù)，從而解調(diào)出有用信息。為滿足混沌陣子在大規(guī)模通信中的應(yīng)用需求，文獻(xiàn)[22]研究了新的六階混沌電路，文獻(xiàn)[23]在現(xiàn)有混沌陣子的基礎(chǔ)上構(gòu)建了混沌陣子的沿坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的模型。

綜上，目前的混沌保密通信主要是基于混沌同步理論，利用混沌陣子的類隨機(jī)性、不可預(yù)測(cè)性實(shí)現(xiàn)保密通信。雖然混沌陣子具有優(yōu)良的特性，但是現(xiàn)有的混沌陣子數(shù)目有限、結(jié)構(gòu)已知，且在大規(guī)模并發(fā)式混沌保密通信中需要用到大量的混沌陣子，針對(duì)這些問(wèn)題，本文進(jìn)行了以下研究：1)建立了混沌陣子的相空間對(duì)稱模型，可由某一個(gè)混沌陣子得到混沌陣子群，陣子群中包含數(shù)目眾多的對(duì)稱陣子，能滿足大量使用的需求；2)研究了陣子群的同步特性，得到了相空間對(duì)稱陣子群的同步條件；3)設(shè)計(jì)了基于相空間對(duì)稱混沌陣子的保密通信系統(tǒng)并對(duì)其進(jìn)行理論分析和仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明該方法具有較好的保密性能。

2 混沌陣子相空間對(duì)稱模型

Lorenz混沌系統(tǒng)狀態(tài)方程為

其中，x˙1為x1的一階導(dǎo)數(shù)，b σ、γ、為系統(tǒng)參數(shù)，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，本文以 Lorenz混沌陣子為例進(jìn)行研究，其結(jié)論可應(yīng)用于任意混沌系統(tǒng)。

2.1 理論模型

記三維空間直線l的參數(shù)方程為

記混沌系統(tǒng)方程為

定義1將式(3)的混沌系統(tǒng)相空間中任意一點(diǎn)x關(guān)于相空間中任意直線l對(duì)稱的點(diǎn)記為點(diǎn)y，所有的關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)組成的系統(tǒng)稱為混沌陣子相空間中關(guān)于直線l的對(duì)稱系統(tǒng)，所有的對(duì)稱系統(tǒng)組成混沌系統(tǒng)的相空間對(duì)稱系統(tǒng)群。

由定義1可知，相空間對(duì)稱系統(tǒng)的相軌跡僅僅在相空間發(fā)生了位置變化，其相軌跡圖的形態(tài)、系統(tǒng)特性并未發(fā)生改變。以Lorenz系統(tǒng)為例，其系統(tǒng)相圖和關(guān)于任意直線l1對(duì)稱的系統(tǒng)相圖如圖 1所示。其中，直線l1的參數(shù)式方程為

圖1 Lorenz系統(tǒng)相圖及其關(guān)于直線l1對(duì)稱的系統(tǒng)相圖

混沌理論應(yīng)用于保密通信主要是利用了混沌陣子處于混沌狀態(tài)時(shí)信號(hào)的類隨機(jī)特性，并通過(guò)混沌同步來(lái)解調(diào)信號(hào)。Lyapunov指數(shù)是判斷混沌系統(tǒng)狀態(tài)的重要參數(shù)之一，若最大Lyapunov指數(shù)大于0則可以判斷系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。通過(guò)計(jì)算可得，Lorenz系統(tǒng)關(guān)于直線l1的對(duì)稱系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為0.885 0，這驗(yàn)證了對(duì)稱后的系統(tǒng)仍處于混沌狀態(tài)，保持了混沌系統(tǒng)的優(yōu)良特性。

2.2 相空間對(duì)稱系統(tǒng)群的同步

定義2混沌系統(tǒng)(1)關(guān)于相空間中直線lm對(duì)稱的系統(tǒng)表達(dá)式為

令相空間對(duì)稱系統(tǒng)(5)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，原系統(tǒng)(1)為響應(yīng)系統(tǒng)，則有

定義3若存在同步控制器，使式(7)中誤差滿足

則稱原系統(tǒng)(1)與空間對(duì)稱系統(tǒng)(5)達(dá)到同步。

定理1存在同步控制器

使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)達(dá)到同步，其中，Δ為n×n維正定矩陣。

證明由式(5)～式(7)和式(9)可知

因此有

其中，Δn為1×n維矩陣。構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為，則有

因?yàn)棣檎ň仃嚕视?/p>

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可得該系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，即存在同步控制器

使原系統(tǒng)與混沌相空間對(duì)稱系統(tǒng)達(dá)到同步。

2.3 仿真驗(yàn)證

根據(jù)定義1，求得Lorenz系統(tǒng)關(guān)于直線l2、l3的相空間對(duì)稱系統(tǒng)的方程分別為

根據(jù)式(1)、式(10)、式(11)及定理 1設(shè)計(jì)同步控制器，選取Δ為三維單位矩陣，符合定理1的約束條件，即則同步控制器為

任選系統(tǒng)(10)初始值為(1,-3,4)，系統(tǒng)(11)初始值為(-2,3,5)。根據(jù)上述條件進(jìn)行仿真，得到2個(gè)相空間對(duì)稱系統(tǒng)相圖及同步誤差分別如圖2和圖3所示。從圖2(a)和圖3(a)可以看出，對(duì)稱系統(tǒng)相圖仍保持了Lorenz陣子的相圖特性，但空間位置發(fā)生了變化；從圖2(b)和圖3(b)可以看出，在同步控制器作用下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)5 s后與響應(yīng)系統(tǒng)完全同步。

3 基于相空間對(duì)稱陣子群的混沌掩蓋保密通信

混沌保密通信主要有混沌掩蓋通信、混沌鍵控通信、混沌調(diào)制通信[19-21]，利用第2節(jié)提出的相空間對(duì)稱混沌陣子群的混沌特性及同步特性設(shè)計(jì)混沌保密通信系統(tǒng)。本文僅設(shè)計(jì)了基于相空間對(duì)稱陣子群的混沌掩蓋保密通信模型，但是該對(duì)稱陣子群也可應(yīng)用于其他混沌保密通信模型中。

3.1 系統(tǒng)模型

基于相空間對(duì)稱混沌陣子群的保密通信模型如圖4所示。發(fā)送端首先在相空間對(duì)稱混沌陣子群中選擇某一對(duì)稱陣子，利用該對(duì)稱陣子產(chǎn)生信號(hào)的隨機(jī)特性生成加密函數(shù)g(y)，再利用函數(shù)g(y)對(duì)待傳輸信號(hào)進(jìn)行混沌掩蓋；接收端在混沌同步控制器的控制下產(chǎn)生與發(fā)送端對(duì)稱混沌陣子同步的信號(hào)，在此基礎(chǔ)上生成解密函數(shù)h(x)，利用解密函數(shù)h(x)對(duì)接收到的信號(hào)進(jìn)行解密得到有用信號(hào)。加密函數(shù)g(y)、解密函數(shù)h(x)的計(jì)算式分別為

圖2 相空間對(duì)稱系統(tǒng)yl2相圖及同步誤差

圖3 相空間對(duì)稱系統(tǒng)yl3相圖及同步誤差

圖4 基于相空間對(duì)稱混沌陣子群的保密通信模型

采用混沌掩蓋的方式對(duì)待發(fā)送信號(hào)m(t)進(jìn)行加密，加密后的信號(hào)記為s(t)，加密算法如式(16)所示，其中k為比例系數(shù)，調(diào)節(jié)待加密信號(hào)幅度，一般使待加密信號(hào)幅度小于混沌信號(hào)幅度的以達(dá)到混沌掩蓋的效果。接收端的解密算法如式(17)所示，解調(diào)出的信號(hào)記為m′(t)。

現(xiàn)有的基于Lorenz混沌陣子的混沌保密通信中的密鑰主要為 Lorenz陣子的初始值和計(jì)算步長(zhǎng)，在本文方法中，密鑰除了Lorenz系統(tǒng)初始值及計(jì)算步長(zhǎng)外，還包括陣子對(duì)稱時(shí)的直線方程參數(shù)：點(diǎn)(x0,y0,z0)和方向向量。由于對(duì)稱后的 Lorenz陣子仍處于混沌狀態(tài)，具有混沌系統(tǒng)的初值敏感性，因此本文方法在不降低現(xiàn)有方法性能的基礎(chǔ)上密鑰空間更大，保密性更強(qiáng)。

3.2 仿真驗(yàn)證

利用相空間對(duì)稱陣子對(duì)常用的正弦信號(hào)進(jìn)行加密傳輸驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，根據(jù)圖4的傳輸模型，分別設(shè)計(jì)2個(gè)實(shí)驗(yàn)。

2) 利用式(11)的對(duì)稱陣子加密信號(hào)m2(t)=sin2t后進(jìn)行傳輸，接收端經(jīng)過(guò)同步后解密出原始信號(hào)。

其余參數(shù)與2.3節(jié)和3.1節(jié)相同，信號(hào)m1(t)和m2(t)加密傳輸?shù)姆抡娼Y(jié)果分別如圖5和圖6所示。

從圖5(a)和圖 6(a)可以看出，待傳輸信號(hào)經(jīng)過(guò)加密后完全被掩蓋在混沌信號(hào)中，達(dá)到了混沌掩蓋保密通信的效果；從圖5(b)和圖6(b)可以看出，接收端在5 s內(nèi)迅速達(dá)到混沌同步，經(jīng)過(guò)混沌同步后正確解密出了原始信號(hào)。

圖5 信號(hào)m1( t)傳輸實(shí)驗(yàn)時(shí)域波形

圖6 信號(hào)m2( t)傳輸實(shí)驗(yàn)時(shí)域波形

在圖4的傳輸模型中，每次發(fā)送信號(hào)時(shí)選用不同的對(duì)稱陣子進(jìn)行加密，假設(shè)竊聽(tīng)者竊取了傳輸信號(hào)m1(t)時(shí)所用的對(duì)稱混沌陣子式(10)的信息，并利用該信息解密信號(hào)m2(t)，其結(jié)果如圖7所示。從圖7可以看出，竊聽(tīng)者并不能利用該信息正確解密出信號(hào)m2(t)，因?yàn)槊總€(gè)對(duì)稱混沌陣子在相空間的位置各不相同，即便竊取了某一對(duì)稱陣子的信息也無(wú)法解密出由其他對(duì)稱陣子加密的信號(hào)。

圖7 對(duì)稱陣子yl2解密信號(hào)m2( t)的時(shí)域波形

綜上可知，本文方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：空間對(duì)稱混沌陣子群理論上包含無(wú)數(shù)多個(gè)對(duì)稱陣子，可對(duì)不同的信號(hào)采用不同的對(duì)稱陣子進(jìn)行加密，且各陣子只能解密自己加密的信號(hào)，具有較好的保密性；同時(shí)，與使用大量不同種類混沌陣子進(jìn)行保密通信的方法相比，本文方法在不降低保密性能的前提下降低了實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度，實(shí)用性更強(qiáng)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文首先研究了混沌陣子相空間對(duì)稱模型，該模型中對(duì)稱陣子既能保持原有的混沌特性，又能提供大量可用于保密通信的對(duì)稱陣子；然后研究了相空間對(duì)稱陣子群的同步問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了對(duì)稱陣子系統(tǒng)與原系統(tǒng)的同步；最后在同步的基礎(chǔ)上提出了基于相空間對(duì)稱陣子群的保密通信模型，并對(duì)其進(jìn)行仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，本文方法能有效實(shí)現(xiàn)混沌掩蓋保密通信，具有較好的應(yīng)用前景。數(shù)目眾多的對(duì)稱陣子可在多信道并發(fā)通信中使用，在與MIMO等其他技術(shù)相結(jié)合發(fā)揮其保密功能方面也具有較好的應(yīng)用前景。