機電產品模塊化設計重用的博弈決策

(1.浙江工業(yè)大學 設計藝術學院，浙江 杭州 310023；2.浙江工業(yè)大學 機械工程學院，浙江 杭州 310014)

在機電產品競爭日趨激烈的國際化市場環(huán)境下，對產品提出了快速設計與制造、大批量、個性化以及低成本等要求，模塊化設計正是為了滿足這些要求而發(fā)展的機電產品設計方法。所謂模塊化設計是指在對一定范圍內的不同功能或相同功能不同性能、不同規(guī)格的產品進行功能分析的基礎上，劃分并設計出一系列功能模塊，通過模塊的選擇和組合構成不同的產品，以滿足市場不同需求的設計方法[1]。模塊化設計過程中，模塊的選擇和組合方式很多，不同模塊組合的產品，其功能、性能、可靠性和成本等不同，且這些指標常常是相互矛盾的，因此設計者設計產品需要綜合考慮產品功能[2]、可靠性、制造和維護成本[3]等多目標要求，最終形成一個盡可能滿足多個設計目標要求的方案即博弈均衡。因此如何優(yōu)化模塊化設計在本質上也是一個多目標優(yōu)化問題?；诙嗄繕说漠a品優(yōu)化設計問題與博弈思想的相似性，1991年Rao等[4]率先將博弈論方法應用到機械設計的多目標優(yōu)化問題中，隨后國內外眾多學者開展了這方面的研究，Dingra等[5]基于合作博弈理論證明了博弈論可以作為解決多目標優(yōu)化問題的工具，Lewis等[6]結合飛行器中的多學科設計問題，探討了合作、非合作和領導隨從等3 種博弈模型，謝能剛等[7-8]將博弈論方法應用于拱壩體型和滑輪組變幅機構多目標優(yōu)化設計，趙健冬等[9]研究了基于Nash均衡的多學科優(yōu)化設計求解方法，并應用于挖掘機工作裝置設計, 陳亮等[10-11]根據(jù)各博弈方策略集劃分情況，分別構建基于合作博弈、非合作博弈和混合博弈等多目標設計決策模型，并探討各種模型的求解方法，Xiao等[12]提出一種非合作環(huán)境下多目標多學科設計優(yōu)化問題的新方法，方法基于博弈論的納什均衡。

通過對多目標模塊化設計重用過程的分析，發(fā)現(xiàn)其與博弈論思想的契合度非常高。筆者將多目標設計優(yōu)化的博弈論思想發(fā)展，推廣應用于模塊化設計重用的決策問題，論述產品模塊化設計重用博弈策略的建立方法，針對合作博弈、非合作博弈與混合博弈等3 種博弈形式，分別建立相應的數(shù)學模型和求解方法，并以小型健身器械——踏步機的模塊化設計為例驗證方法的有效性。

1 模塊化設計重用問題

(1)

式中：X為一組由可變參數(shù)組成的n維向量，稱為設計變量或設計參數(shù)；F(X)為目標函數(shù)；fi(X)為各設計需求(目標)收益函數(shù)；gi(X)，hj(X)分別稱為不等式約束函數(shù)和等式約束函數(shù)；變量數(shù)n、約束個數(shù)k和l之間是相互獨立的，無任何關聯(lián)；s.t.(subjected to)表示“受制于”。

采用博弈論方法求解式(1)表示的模塊化多目標設計重用問題，需要對已有模塊進行整理，劃分博弈方并建立相應的策略空間。

機電產品一般由功能模塊、控制模塊、動力模塊和基座(機架)模塊等N個模塊組成。根據(jù)博弈設計重用的要求，將以上模塊中的各設計變量(設計參數(shù))按設計需求重新劃分與歸類，將它們劃分與歸類為功能參數(shù)、控制參數(shù)、動力參數(shù)、可靠性以及成本等m個設計需求，作為博弈模型中的m個博弈方P={P1,P2,…,Pm}，如圖1所示。

圖1 機電產品模塊構成和設計需求劃分Fig.1 Modular structure of electromechanical product and design requirement

(2)

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2 目標函數(shù)與求解

2.1 博弈方收益函數(shù)

對于圖1所示的m個博弈方(設計需求)P={P1,P2,…,Pm}中任一博弈方Pj及相應的策略空間Sj(X)，建立收益函數(shù)。建立收益函數(shù)的基本原則：1) 能夠體現(xiàn)各設計變量在各設計需求中的重要性；2) 能夠體現(xiàn)各模塊在各設計需求中的重要性。根據(jù)這兩條基本原則，可以建立的收益函數(shù)形式很多，筆者建立的收益函數(shù)為

(4)

在各博弈方收益函數(shù)式(4)的基礎上，根據(jù)產品的類型與模塊化設計要求等，從合作博弈、非合作博弈和混合博弈等3 種博弈類型出發(fā)，建立相應的數(shù)學模型并求解。

2.2 合作博弈

合作博弈將整體收益最佳作為決策目標，因此整體收益函數(shù)應與各博弈方收益函數(shù)正向相關。建立整體收益函數(shù),即式(1)中的目標函數(shù)F(X)為

(5)

式中bj(0≤bj≤1)表示第j項需求對整體產品的重要性，稱為需求-產品重要性指數(shù)。

合作博弈的目標函數(shù)及最后的求解結果，能較準確地體現(xiàn)各設計需求對產品整體的重要性，該模型適用于各設計需求對產品整體的相對重要性較為明確的產品設計。

2.3 非合作博弈

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式中：Xi為第i個設計方案；M為可選的模塊化設計方案總個數(shù)。根據(jù)納什均衡，對于每一個博弈方j，其對任一設計方案的收益期望值相等，即

(7)

(8)

(9)

非合作博弈模型不能體現(xiàn)各設計需求對產品整體的相對重要性，故其適用于各博弈方設計需求對產品整體的相對重要性較模糊或者無法確定的產品設計。

2.4 混合博弈

在合作博弈與非合作博弈均不非常適合的情況下，可以將兩者結合，采用混合博弈模型，即將關系緊密的博弈方組成博弈同盟，在同盟內部進行合作博弈，在同盟外部進行非合作博弈。

設共有m個博弈方，其中k個博弈方P1,P2,…,Pk組成一個博弈同盟，同盟內部進行合作博弈，參照合作博弈整體收益函數(shù)式(5)，博弈同盟收益函數(shù)fco(X)為

(10)

式中：fl(X)為博弈同盟中第l個博弈方的收益函數(shù)，其計算同式(4)；bl(0≤bl≤1)表示第l個博弈方需求對同盟的重要性，稱為需求-同盟重要性指數(shù)。

將博弈同盟作為一方(收益函數(shù)為fco)，與不參與同盟的m-k個博弈方(收益函數(shù)為fj)組成非合作博弈，并按前述非合作博弈方法求解。這種博弈方法稱為混合博弈，當博弈同盟不止一個時，同樣適用。

2.5 模型的求解

由以上3 種博弈模型的分析可知：模塊化設計重用的目標函數(shù)F(X)可以統(tǒng)一寫成

(11)

式中指數(shù)wj對于不同的博弈模型，其意義有所不同，如式(5，10)所述，其中對于非合作博弈，wj=1,j=1,2,…,m。

實際產品設計過程中，不論采用何種博弈模型，其最終的最優(yōu)策略應該是相近的，甚至是一致的。式(11)表示的3 種博弈模型最終目標函數(shù)的統(tǒng)一性正是反映了這種特性。

由于合作博弈體現(xiàn)了各設計需求對產品整體的相對重要性，而非合作博弈模型不能體現(xiàn)這種相對重要性(混合博弈介于二者之間)，因此，在一般情況下應優(yōu)先考慮采用合作博弈模型。

3 設計簡例

將以上博弈論方法用于踏步機產品的模塊化設計重用。踏步機是一種小型健身器材，主要用于腿部運動健身，其主要模塊包括踏板模塊、運動機構模塊和機架模塊，如圖2所示。該款機型當前可供設計重用的歷史方案共有4 種，分別為方案1～方案4，它們各功能模塊的相關變量如表1所示。這些歷史方案的模塊重組后可以組成的設計方案共有4×4×4=64 種。新的設計就是從這64 種方案中選取較為合適的參考設計方案。

圖2 踏步機及功能模塊Fig.2 Step machine and its functional modules

模塊分類參數(shù)方案1方案2方案3方案4踏板模塊設計承重/kN0.600.700.800.90設計壽命/萬次200100150120制造成本/元8.011.013.014.0運動機構模塊設計承重/kN0.800.901.001.10行程高度/mm200200230230最大傾角/( °)25263030設計壽命/萬次2 0001 5001 2001 000制造成本/元100.0120.0130.0140.0機架模塊設計承重/kN0.800.901.001.10制造成本/元20.024.027.029.0

按式(3)對表1各設計變量進行歸一化處理，得到表2所示歸一化設計變量。其中踏板行程高度與最大角度為有最優(yōu)值的參數(shù)，最優(yōu)行程高度為220 mm，最優(yōu)最大角度為28°；設計承重與設計壽命為無最優(yōu)值參數(shù)，為正向指標，制造成本為無最優(yōu)值參數(shù)，為逆向指標。

表2 歸一化設計變量Table 2 Normalized design variables

本次設計要求：利用已有模塊進行重組，設計1 臺踏板承重W1≥0.75 kN的新樣機，其中約束條件為W3≥1.1W1。因此，方案1及方案2的踏板模塊被排除出本次設計策略空間。

根據(jù)設計變量的屬性，將各設計變量劃分為3 類設計需求(3 個博弈方)：功能需求(設計承重、行程高度和最大角度)、制造成本需求以及可靠性需求(設計壽命)。根據(jù)踏步機的特點，設定模塊-需求權重系數(shù)aij如表3所示。

表3 模塊-需求權重系數(shù)aijTable 3 Module-requirement weight coefficient aij

對所有的設計方案，用編號ijk表示，其中i,j,k依次為踏板模塊、運動機構模塊和機架模塊的選擇方案編號，例如324方案表示選擇方案3的踏板模塊、方案2的運動機構模塊以及方案4的機架模塊的設計方案。將表2變量值代入式(12)，計算得到不同設計方案時各博弈方的收益函數(shù)值，列于表4。

表4 不同設計方案對應的各博弈方收益函數(shù)Table 4 Benefit of each player for different design scheme

以下分別通過合作博弈、非合作博弈和混合博弈等3 種模型進行設計求解。

1) 合作博弈：根據(jù)各博弈方需求對踏步機整體的重要性，確定需求-產品重要性系數(shù)bj為功能需求b1=1.0，成本需求b2=1.0，可靠性需求b3=0.5,代入式(5)，有

(13)

2) 非合作博弈：由式(9)可得

F(X)=f1(X)f2(X)f3(X)

(14)

3) 混合博弈：將功能需求與可靠性需求組成博弈同盟，取功能需求與可靠性需求的需求-同盟重要性指數(shù)分別為b1=0.7和b2=0.3，由式(9，5)可得

(15)

將表4所有設計方案的各博弈方收益函數(shù)分別逐一代入式(13～15)，求出各個博弈模型的各個設計方案相應的目標函數(shù)值F(Xi)，分別按其數(shù)值大小排序，取函數(shù)值最大的若干個方案作為本次設計的備選方案。本次設計結果：合作博弈和混合博弈排序前3 個設計方案完全相同，均為422，322和423，而非合作博弈排序前3 個設計方案為322,323和324。由此可見：3 種博弈方法的博弈結果是相近的，由于非合作博弈沒有考慮需求-產品重要性系數(shù)，因此與另2 種博弈模型結果略有差別。該設計雖然相對簡單，但在一定程度上驗證了筆者所建立方法的可行性和有效性。

4 結 論

據(jù)模塊化設計重用的博弈要求，將機電產品劃分為功能參數(shù)、控制參數(shù)、動力參數(shù)、成本以及可靠性等設計需求，并構建相應的策略空間，劃分方法具有一定的科學性和普遍性，對于模塊化設計重用，完全是合適的；提出了構建各博弈方收益函數(shù)的基本原則，并構建了相應的收益函數(shù)，構建的收益函數(shù)綜合考慮各個模塊及各個設計變量在整個產品中的重要性，符合產品設計的基本要求；從合作博弈、非合作博弈和混合博弈等3 種博弈方式出發(fā)，分別建立了相應的設計決策模型以及統(tǒng)一的目標函數(shù)和求解方法。將所建立的博弈模型及求解方法用于小型健身器材的模塊化設計重用，算例結果表明：求解結果基本符合實際設計情況，具有指導意義，建立的博弈模型和求解方法是可行和有效的。