一種導(dǎo)出R-H準(zhǔn)則的方法*

陳紹榮，李曉毅，何 為，王 開(kāi)

（陸軍工程大學(xué)通信士官學(xué)校，重慶 400035）

0 引 言

在國(guó)內(nèi)《信號(hào)與系統(tǒng)》著作中[1-2]，均介紹了R-H準(zhǔn)則。文獻(xiàn)[1]中，基于無(wú)源有耗網(wǎng)絡(luò)阻抗函數(shù)的所有零點(diǎn)均位于s平面左半平面的事實(shí)，間接證明了R-H準(zhǔn)則的正確性。本文在文獻(xiàn)[3-4]的基礎(chǔ)上，給出了一種導(dǎo)出R-H準(zhǔn)則的方法。R-H準(zhǔn)則遺留的問(wèn)題：（1）在R-H陣列中，某一行的首元素為0時(shí)，如何完成R-H陣列的計(jì)算； （2）在R-H陣列中，某一行的元素全部為0的原因是什么，如何完成R-H陣列的計(jì)算，計(jì)算的結(jié)果對(duì)LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的特征根分布是否存在影響。通過(guò)分析和討論，本文將解決R-H準(zhǔn)則遺留的相關(guān)問(wèn)題。

1 R-H準(zhǔn)則的有關(guān)引理

設(shè)n次多項(xiàng)式D(s)為：

考慮到式（1），則有：

式（2）表明，D(-s)=0的根與D(s)=0的根在s平面上對(duì)虛軸互為鏡像關(guān)系。

為了分析問(wèn)題方便，現(xiàn)作下述定義：

將D(s)=0的根均位于s平面左半平面的多項(xiàng)式D(s)，稱(chēng)為霍爾維茨多項(xiàng)式，得到引理Ⅰ。

引理Ⅰ：D(s)為霍爾維茨多項(xiàng)式的充要條件是：

證明：首先證明充分性。若D(s)是霍爾維茨多項(xiàng)式，則式（4）成立。

考慮到式（1）和式（2），則式（3）可寫(xiě)成：

式中：

若λi與λi+1是D(s)=0的一對(duì)共軛根，考慮到 式（6），則Wi(s)與Wi+1(s)之積可表示成：

考慮到式（7），則Wi(s)可表示成：

設(shè)λi=αi+jβi，如 遇 實(shí) 根，則 取βi=0?？?慮 到s=σ+jω，由式（8）可得：

由于D(s)是霍爾維茨多項(xiàng)式，因此滿(mǎn)足αi=Re[λi]＜0(i=1,2,…,n)。于是，有：

考慮到（10），由式（5）可得：

式（11）表明，若D(s)是霍爾維茨多項(xiàng)式，則式（4）成立。

再來(lái)證明必要性：若滿(mǎn)足式（4），則D(s)是霍爾維茨多項(xiàng)式。

采用反證法證明。設(shè)D(s)不是霍爾維茨多項(xiàng)式，那么D(s)=0在s平面的右半平面內(nèi)有根。由式（2）可知，D(-s)=0在s平面的左半平面內(nèi)有根。由式（3）可知，W(s)在s平面的左半平面（σ＜0）內(nèi)必有極點(diǎn)，在極點(diǎn)的鄰域內(nèi)，|W(s)|＞1，與式（4）相矛盾。

因此，式（4）是D(s)為霍爾維茨多項(xiàng)式的充要條件。

再定義：

由于Q(s)是偶次項(xiàng)之和De(s)與奇次項(xiàng)之和Do(s)之比，因此Q(s)的分子和分母最高次冪相差1。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，s=0和s=∞分別為Q(s)的單零點(diǎn)和單極點(diǎn)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，s=0和s=∞分別為Q(s)的單極點(diǎn)和單零點(diǎn)。令s=jω，不論n為偶數(shù)還是奇數(shù)，則Q(jω)都是ω的虛奇函數(shù)。

考慮到式（3），則（12）可表示為：

由式（13），得到引理Ⅱ。

引理Ⅱ：D(s)為霍爾維茨多項(xiàng)式的充要條件是：

證明：首先證明充分性。若D(s)是霍爾維茨多項(xiàng)式，則式（14）成立。

將W(s)用極坐標(biāo)表示，即：

考慮到式（15），由式（13）可得：

考慮到式（4），由式（16）可知，若D(s)是霍爾維茨多項(xiàng)式，則式（14）成立。

再來(lái)證明必要性：若滿(mǎn)足式（14），則D(s)是霍爾維茨多項(xiàng)式。

采用反證法證明。設(shè)D(s)不是霍爾維茨多項(xiàng)式，那么D(s)=0在s平面的右半平面內(nèi)有根。由式（2）可知，D(-s)=0在s平面的左半平面內(nèi)有根。由式（3）可知，W(s)在s平面的左半平面（σ＜0）內(nèi)必有極點(diǎn)，在極點(diǎn)的鄰域內(nèi)，|W(s)|＞1，由式（16）可知Re[Q(s)]＞0，這與式（14）相矛盾。

因此，式（14）是D(s)為霍爾維茨多項(xiàng)式的充要條件。

引理Ⅲ：D(s)為霍爾維茨多項(xiàng)式的充要條件是Q(s)僅在s平面的jω軸上有單極點(diǎn)，且有實(shí)的正 留數(shù)。

證明：先來(lái)證明充分性。若D(s)是霍爾維茨多項(xiàng)式，則Q(s)僅在s平面的jω軸上有單極點(diǎn)，且有實(shí)的正留數(shù)。

設(shè)Q(s)在s=s0處有m階極點(diǎn)，則在s0的鄰域內(nèi)，可用式（17）任意地逼近Q(s)，即：

式中，k＞0，θ為實(shí)數(shù)，m為正整數(shù)。

又設(shè)s-s0=ρejφ(0≤φ≤2π)，則有：

由式（18）可知，在以s0為圓心、ρ為半徑的圓周上，Re[Q(s)]的符號(hào)隨著mφ的變化而變化。若D(s)是霍爾維茨多項(xiàng)式，由式（14）可知，在s平面的左半平面內(nèi)或右半平面內(nèi)，Re[Q(s)]的符號(hào)是不改變的。因此，Q(s)的極點(diǎn)s0不能位于s平面的左半平面內(nèi)或右半平面內(nèi)，只能位于s平面jω 軸上。

Q(s)在jω軸上的極點(diǎn)s0是否允許為多重極點(diǎn)？這是需要解決的一個(gè)問(wèn)題。考慮在以s0為圓心、ρ為半徑的圓周上，-π/2＜φ＜π/2與σ＞0等價(jià)，π/2＜φ＜3π/2與σ＜0等價(jià)，則式（14）可寫(xiě)成：

在式（18）中，若m＞1，即取m是大于1的整數(shù)，則Re[Q(s)]在以s0為圓心、ρ為半徑的圓周上，將至少變四次符號(hào)，這與式（19）相違背。因此，在jω軸上不允許Q(s)有多重極點(diǎn)。如果m=1，滿(mǎn)足式（19）的θ的唯一允許值為：

由于s0是Q(s)在虛軸上的一階極點(diǎn)，則kejθ是它的留數(shù)，這就證明了若D(s)為霍爾維茨多項(xiàng)式，則Q(s)僅在s平面的jω軸上有單極點(diǎn)，且有實(shí)的正留數(shù)。

再來(lái)證明必要性：若Q(s)僅在s平面的jω軸上有實(shí)的正留數(shù)的單極點(diǎn)，則D(s)是霍爾維茨多 項(xiàng)式。

假設(shè)n為偶數(shù)，則式（12）可寫(xiě)成：

考慮到s=σ+jω，由式（21）可得：

顯然，式（22）滿(mǎn)足式（14），也滿(mǎn)足式（4）。

這樣就證明了D(s)為霍爾維茨多項(xiàng)式的充要條件是Q(s)僅在s平面的jω軸上有實(shí)的正留數(shù)的單極點(diǎn)。

引理Ⅲ可作為檢驗(yàn)的基礎(chǔ)，即列出Q(s)并確定其極點(diǎn)位置，這些極點(diǎn)必是jω軸上的單階極點(diǎn)，且留數(shù)為正實(shí)數(shù)，但仍需通過(guò)對(duì)Q(s)的分母進(jìn)行因式分解才能確定jω軸上的這些單極點(diǎn)。

2 羅斯—霍爾維茨準(zhǔn)則

2.1 霍爾維茨準(zhǔn)則

設(shè)：

由式（24）可知，G(s)可以寫(xiě)成：

若D(s)為霍爾維茨多項(xiàng)式，由引理Ⅲ可知，C1＞0，且G1(s)可寫(xiě)成：

式中，k0＞0，ki＞0。

由式（24）和式（25）可知，若將G1(s)寫(xiě)成兩個(gè)多項(xiàng)式之比，則分母多項(xiàng)式的次數(shù)只能比分子多項(xiàng)式的次數(shù)高一次，則1/G1(s)可寫(xiě)成：

式（26）表明，G1(s)也僅在s平面的jω軸上有單極點(diǎn)，且留數(shù)為正實(shí)數(shù)。由引理Ⅲ可知，式（27）中的C2＞0，且要求G2(s)也僅在s平面的jω軸上有單極點(diǎn)，且留數(shù)為正實(shí)數(shù)。

同理，有：

分析表明，若n階LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)是一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)，則保證n次多項(xiàng)式D(s)=0的根均位于s平面左半平面的充要條件是：D(s)的偶次多項(xiàng)式之和De(s)與奇次多項(xiàng)式之和Do(s)輾轉(zhuǎn)相除的商Ci(i=1,2,…,n)均為正值。反之，若D(s)=0的根均位于s平面的右半平面，則由引理Ⅰ和引理Ⅱ可知，式（18）中的θ、m只能分別取π和1。由引理Ⅲ和引理Ⅳ可知，Q(s)及1/Q(s)僅在s平面的jω軸上有單極點(diǎn)，且有實(shí)的負(fù)留數(shù)，也就是說(shuō)，相應(yīng)的n個(gè)Ci值均小于零?？梢?jiàn)，Ci為正值、負(fù)值的個(gè)數(shù)與D(s)=0的根位于s平面左半平面、右半平面的數(shù)目相對(duì)應(yīng)。

2.2 羅斯準(zhǔn)則

考慮到式（24），有：

第一次長(zhǎng)除，有：

顯然：

第二次長(zhǎng)除（輾轉(zhuǎn)相除，用除數(shù)除以余數(shù)），有：

顯然：

由此得到羅斯陣列或稱(chēng)R-H陣列，即：

這個(gè)陣列的第一行和第二行是多項(xiàng)式D(s)各冪次的系數(shù)的交替排列，其余各行是通過(guò)輾轉(zhuǎn)相除運(yùn)算后得到的。第一行除以第二行的商為C1s(C1=an/an-1)，所得的余部構(gòu)成陣列的第三行，且第三行的列元素比前兩行的列元素少1；第二行除以第三行的商為C2s(C2=an-1/b1)，所得的余部構(gòu)成陣列的第四行，且第四行的列元素又自動(dòng)減1，直到構(gòu)成n+1行為止，其中n個(gè)Ci值為R-H陣列中第1列的n+1個(gè)元素交替之比?？梢?jiàn)，n個(gè)Ci值為正值的等效判據(jù)是R-H陣列中第1列的元素應(yīng)具有相同的符號(hào)。同時(shí)，根據(jù)霍爾維茨準(zhǔn)則的結(jié)論可知，若R-H陣列中的第1列的元素有正有負(fù)，則相鄰兩個(gè)元素符號(hào)改變的總次數(shù)正好是D(s)=0的根位于s平面右半平面的數(shù)目。

3 特殊情況的處理

3.1 R-H陣列中某行的第一個(gè)元素為零，而其余元素不全為零

R-H陣列中某行的第一個(gè)元素為零，其余元素不全為零，可用下述三種方法進(jìn)行處理。

（1）將此行的第一個(gè)元素用無(wú)窮小量ε代替，并繼續(xù)排完整個(gè)R-H陣列?？梢宰C明，第1列元素符號(hào)改變的總次數(shù)與ε（正與負(fù)）無(wú)關(guān)。

（2）將R-H陣列對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式D(s)乘以因子(s+1)得到Dn+1(s)，展開(kāi)Dn+1(s)再構(gòu)成新的R-H陣列進(jìn)行檢驗(yàn)，可以避免出現(xiàn)上述情況。然而，Dn+1(s)=0與D(s)=0在s平面右半平面的根的個(gè)數(shù)相同。

（3）利用多項(xiàng)式D(s)構(gòu)成一個(gè)相伴的倒數(shù)多項(xiàng)式D@(s)=snD(s-1)，對(duì)D@(s)用R-H陣列進(jìn)行檢驗(yàn)，可以避免出現(xiàn)上述情況。由復(fù)變函數(shù)的映射理論可知，D@(s)=0與D(s)=0在s平面右半平面的根的個(gè)數(shù)相同。

3.2 R-H陣列中出現(xiàn)全零行

這種情況發(fā)生在兩個(gè)相鄰行對(duì)應(yīng)元素成比例時(shí)，實(shí)質(zhì)是因?yàn)镈e(s)與Do(s)中有公因子A(s)所致。R-H陣列中，全零行的上一行就是這個(gè)公因子。若將多項(xiàng)式D(s)的最高冪次置于R-H陣列的第一行之前，并依次在下一行中降低冪次，則可將公因子A(s)找出來(lái)。由于A(s)是De(s)與Do(s)的公因子，而De(s)是全偶多項(xiàng)式，那么A(s)一定也是全偶多項(xiàng)式。因此，A(s)=0的根一定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)分布的，且A(s)=0的根是D(s)=0的根的一部分。因此，R-H陣列中出現(xiàn)全零行是D(s)=0有零實(shí)部共軛根的必要條件（但非充分條件）。為了確定D(s)=0在s平面右半平面的根的數(shù)目，相應(yīng)地也有下述三種處理方法。

（1）可用偶次多項(xiàng)式A(s)的導(dǎo)數(shù)A′(s)的系數(shù)代替全零行來(lái)完成整個(gè)R-H陣列的計(jì)算。利用Rouché定理可以證明，多項(xiàng)式A(s)+A′(s)并沒(méi)有比多項(xiàng)式A(s)增加位于s平面右半平面根的數(shù)目。

（2）從R-H陣列中找出A(s)后，D(s)=A(s)DA(s)， 根據(jù)A(s)及A(s)之前的各行中的第一個(gè)元素，便可確定DA(s)=0的根的個(gè)數(shù)及其分布，而A(s)=0的根可用因式分解給出。

（3）從R-H陣列中找出A(s)后，對(duì)一些特殊的偶次多項(xiàng)式A(s)而言，可令A(yù)(s)中的重新構(gòu)成多項(xiàng)式A0(p)，再用R-H陣列檢驗(yàn)其根的分布，并注意A(s)=0的根關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)分布的特點(diǎn)，即可確定A(s)=0的根的分布。

例1：設(shè)：

試確定D(s)=0的根的分布情況。

s解：R-H陣列為：

于 是A(s)=2s6+4s4+4s2+2，D(s)=A(s)DA(s)，顯然：

即：

多項(xiàng)式DA(s)的R-H陣列如下：

可見(jiàn)，多項(xiàng)式DA(s)的R-H陣列中第1列的元素符號(hào)相同，故DA(s)=0的兩根均在s平面的左半平面。

分析表明，從多項(xiàng)式D(s)的R-H陣列中得到的C1和C2的值與從多項(xiàng)式DA(s)的R-H陣列中得到的C1A和C2A的值相同，因此可直接采用多項(xiàng)式D(s)構(gòu)成的R-H陣列中得到的C1和C2的值來(lái)確定DA(s)=0的根的分布情況。

綜上所述，為了確定D(s)=0的根的分布情況，則確定A(s)=0的根的分布情況成為關(guān)鍵問(wèn)題。解決A(s)=0的根的分布問(wèn)題，通常有下述三種方法。

方法1：用A(s)的導(dǎo)數(shù)A′(s)的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)完成整個(gè)R-H陣列的計(jì)算。

注意，由于R-H陣列中的運(yùn)算是行列式運(yùn)算，某行乘以或除以一個(gè)正數(shù)，僅影響下一行各元素的大小，而不影響各元素的符號(hào)。

由于R-H陣列中第1列元素的符號(hào)改變了兩次，故D(s)=A(s)DA(s)=0有兩個(gè)根位于s平面的右半平面。又因?yàn)镈A(s)=0的兩個(gè)根均位于s平面的左半平面，故A(s)=0有兩個(gè)根位于s平面的右半平面。

則有：

因R-H陣列中第1列元素的符號(hào)相同，故A0(p)=0的根均位于p平面的左半平面。又因A0(p)是三次（奇次）多項(xiàng)式，故A0(p)=0一定有一個(gè)負(fù)實(shí)根，那么A(s)=0在s平面的jω軸上一定有一對(duì)共軛虛根?？紤]到A(s)是六次多項(xiàng)式及A(s)=0的根是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)分布的，那么A(s)=0在s平面的右半平面上一定有一對(duì)共軛復(fù)根。

方法3：通過(guò)對(duì)公因子偶次多項(xiàng)式A(s)進(jìn)行因式分解來(lái)確定其根。

考慮到：

則有：

式（45）表明，A(s)=0的根在s平面上的分布不僅對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)，而且有一對(duì)共軛根位于s平面的右半平面。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文在文獻(xiàn)[3-4]的基礎(chǔ)上，基于映射和留數(shù)的概念，給出了一種導(dǎo)出R-H準(zhǔn)則的方法。針對(duì)R-H陣列中某一行的首元素為0的情況，給出了三種處理方法；針對(duì)R-H陣列中某一行的元素全部為0的情況，不僅剖析了原因，而且給出了三種處理方法，成功解決了R-H準(zhǔn)則的遺留問(wèn)題。