大學(xué)數(shù)學(xué)考試不及格率估計(jì)及其影響因素統(tǒng)計(jì)分析

黃敢基，歐詩德，李瓊

(1.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 廣西南寧530004；2.玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 廣西玉林537000；3.玉林師范學(xué)院物理與電信工程學(xué)院， 廣西玉林537000)

0 引言

教育部高度重視全面提升本科人才培養(yǎng)質(zhì)量，本科高校除了要做好一流學(xué)科建設(shè)外，還要以本科為本，建設(shè)一流本科專業(yè)。本科高校要充分認(rèn)識(shí)到本科教育是建設(shè)高等教育強(qiáng)國的根基，要意識(shí)到“本科不牢，地動(dòng)山搖”。 教師要通過課堂教學(xué)改革提升教學(xué)質(zhì)量，樹立優(yōu)良的教風(fēng)和學(xué)風(fēng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力[1]。 現(xiàn)在許多本科高校已采取實(shí)際行動(dòng)，通過教學(xué)管理和教學(xué)模式、方法、課堂、課外學(xué)習(xí)等方面的改革促進(jìn)本科教育發(fā)展。學(xué)生學(xué)習(xí)成績是教學(xué)評(píng)估指標(biāo)，可作為本科教學(xué)質(zhì)量的代理變量，成績的提高能體現(xiàn)教育質(zhì)量的改進(jìn)[2]。為了制訂合理的管理制度，管理者需要了解學(xué)生總體對(duì)課程的學(xué)習(xí)情況和評(píng)估課程教學(xué)效果。因此對(duì)學(xué)生考試成績的研究對(duì)教學(xué)管理者和教師有積極的意義。

關(guān)于大學(xué)本科生的學(xué)習(xí)情況研究很受學(xué)者關(guān)注。例如，文獻(xiàn)[3]研究大學(xué)數(shù)學(xué)不及格現(xiàn)象及其影響因素，運(yùn)用Logistic模型分析學(xué)生本科考試不及格與高考成績、性別、生源地和學(xué)生評(píng)教關(guān)系，發(fā)現(xiàn)高考成績對(duì)本科數(shù)學(xué)考試不及格率有一定影響，但不是影響的主要因素。此外，針對(duì)高考成績與本科考試是否有顯著關(guān)系問題，文獻(xiàn)[4-7]也做了研究。例如文獻(xiàn)[5]運(yùn)用Pearson相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計(jì)研究高考數(shù)學(xué)成績與大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)課成績相關(guān)性，發(fā)現(xiàn)高考數(shù)學(xué)成績與大學(xué)專業(yè)課成績關(guān)系無顯著相關(guān)性。文獻(xiàn)[6]發(fā)現(xiàn)高考成績與大學(xué)階段學(xué)習(xí)成績相關(guān)度很低。什么因素顯著地影響學(xué)生的本科考試？如何改進(jìn)教學(xué)管理和教學(xué)方式和方法，文獻(xiàn)[8-10]做了調(diào)查研究與分析。 例如文獻(xiàn)[8]對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的目的和態(tài)度不正確，學(xué)習(xí)興趣不大，認(rèn)為數(shù)學(xué)對(duì)本專業(yè)學(xué)習(xí)作用不大，不需要學(xué)習(xí)過多的數(shù)學(xué)知識(shí)。

本文從某本科高校的高等數(shù)學(xué)公共課期末考試成績中抽取樣本，以班為抽樣單元抽取6個(gè)班，運(yùn)用抽樣技術(shù)理論，估計(jì)該門公共課不及格率。 比較不同班級(jí)不及格率和平均分的內(nèi)在差異，各班的學(xué)習(xí)成績差異，揭示教師的教學(xué)水平與學(xué)生成績的關(guān)系。此外，為了了解學(xué)生的本科期末考試成績是否顯著地受到學(xué)習(xí)基礎(chǔ)影響，抽取期末考試成績中等以上的學(xué)生和期末考試不及格考生樣本，建立假設(shè)檢驗(yàn)，比較這些學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績，分析這科目高考成績差異對(duì)期末考試成績影響的顯著性，討論影響本科學(xué)習(xí)成績的主要因素。

1 研究方法

1.1 總體比例估計(jì)

總體中具有某種特征的個(gè)數(shù)占總體總數(shù)的比例估計(jì)。設(shè)總體總數(shù)為N，設(shè)示性變量為：

若抽取了容量是n的樣本，則樣本均值為：

的置信水平為1-α的置信區(qū)間是

1.2 兩總體比例差異分析

設(shè)兩總體X與Y獨(dú)立，分別從中抽取n1和n2個(gè)樣本進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)其中各有m1和m2個(gè)具有某種特性。 這兩個(gè)總體中具有該種特性的比例分別為p1和p2，其估計(jì)為：

統(tǒng)計(jì)量為：

(1)

p1-p2的置信水平為1-α的置信區(qū)間為：

(2)

2 統(tǒng)計(jì)與討論

2.1 總體不及格率估計(jì)

為了估計(jì)某本科院校全校學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)公共課期末考試不及格率，對(duì)該門課程考試情況進(jìn)行調(diào)查。該門課程共有3 162人參加期末考試，全校有25個(gè)班選修，期末考試采用同一份試卷和同一評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。以班為抽樣單元，做整群抽樣。隨機(jī)抽取了6個(gè)班，其統(tǒng)計(jì)特征見表1。

表1 考試情況Tab.1 Examination results

初級(jí)單元平均規(guī)模：

該總體不及格人數(shù)的比例為：

其估計(jì)的方差為：

所以其估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差為：

由式(2)得，不及格率估計(jì)的95 %的置信區(qū)間為(0.287 307 8，0.509 084 0)。

以上數(shù)值結(jié)果表明，該門公共課期末考試不及格率估計(jì)為39.8 %，估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.056 6，95 %的置信區(qū)間為(0.287 307 8，0.509 084 0)。

2.2 不同班級(jí)不及格率的差異顯著性檢驗(yàn)

設(shè)不同班級(jí)的學(xué)生來自不同的總體，不及格率無顯著差異。 建立假設(shè)：

H0∶p1=p2，H1∶p1≠p2。

選擇Z統(tǒng)計(jì)量(1)，給定顯著水平α=0.05，利用R統(tǒng)計(jì)軟件編制程序，得到檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 不及格率差異Tab.2 Failure rate difference

注1：表中的數(shù)據(jù)為檢驗(yàn)的p值，“*”表明在顯著水平為0.05下有顯著差異。

表2說明在顯著水平0.05下1班與2班不及格率無顯著差異，1班、2班與其他班不及格率有顯著差異。3班與4班、5班不及格率無顯著差異，與6班有顯著差異。 4班與5班不及格率無顯著差異，與6班有顯著差異。5班與6班不及格率有顯著差異。 這是不同教師授課的6個(gè)班，學(xué)生的成績?cè)谝欢ǔ潭壬戏从沉私處煹慕虒W(xué)水平。因此，從不及格率的角度看，有些教師的教學(xué)水平是有顯著差異的。

2.3 學(xué)習(xí)成績的影響因素

通過比較各班的平均分來說明教師教學(xué)水平因素是否影響學(xué)生的考試成績。有關(guān)數(shù)據(jù)及學(xué)生對(duì)老師的主觀評(píng)價(jià)見表3。

表3 平均分和教師的評(píng)價(jià)Tab.3 Average scores and teacher evaluations

建立假設(shè)：

H0∶μ1=μ2，H1∶μ1≠μ2，

選取T統(tǒng)計(jì)量：

分別從各總體中抽取容量是13的樣本，做均值檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的p值見表4。

結(jié)果表明，在顯著水平為0.05下各班平均分無顯著差異。 因此，從平均分角度看，教師的教學(xué)水平無顯著差異。

表4 平均分差異Tab.4 Average score difference

注1：表中的數(shù)據(jù)是檢驗(yàn)結(jié)果的p值。

對(duì)抽取的樣本再做方差分析，結(jié)果如表5。

表5 教學(xué)水平因素方差分析Tab.5 Variance analysis of teaching level factors

方差分析結(jié)果說明，在0.05的顯著水平下，教師的教學(xué)水平無顯著差異。

學(xué)生因素分析。 通常來說，學(xué)生之前的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)對(duì)大學(xué)的學(xué)習(xí)有一定影響，這個(gè)因素是否顯著地影響了學(xué)生期末考試成績？本文分別從各班不及格的學(xué)生和成績?cè)?0分以上的學(xué)生中抽取樣本，觀察他們的期末考試成績和高考數(shù)學(xué)成績。期末考試成績中上水平的學(xué)生記為A組，期考不及格的學(xué)生記為B組，對(duì)比這些學(xué)生高考成績，假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果見表6。

表6 A組和B組高考成績對(duì)比顯著性檢驗(yàn)Tab.6 Significance test of college entrance examination achievement between A and B

檢驗(yàn)結(jié)果表明，在顯著水平0.05下，期末考試在70分以上的學(xué)生，其高考數(shù)學(xué)成績與不及格學(xué)生的高考成績沒有顯著差異。 這說明高考數(shù)學(xué)成績不是影響本科期考試成績的主要原因。

實(shí)際上，個(gè)人的學(xué)習(xí)態(tài)度，學(xué)習(xí)習(xí)慣，學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)目的等因素對(duì)學(xué)習(xí)成績影響很大。為什么一些高考成績不錯(cuò)的學(xué)生到大學(xué)后沒學(xué)好？不妨看看該校學(xué)工處對(duì)學(xué)生的問卷結(jié)果(表7)。

表7 調(diào)查問卷Tab.7 Questionnaire

由上述調(diào)查結(jié)果可見很多學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后學(xué)習(xí)目的很不明確，沒有了學(xué)習(xí)目的，很難確保良好的學(xué)習(xí)態(tài)度，從而很難順利通過期末考試。

3 結(jié)論

為了解本科生數(shù)學(xué)考試情況，本文采用抽樣技術(shù)和統(tǒng)計(jì)推斷理論和方法對(duì)某高校高等數(shù)學(xué)公共課期末考試進(jìn)行了研究，抽取了不同教師授課的6個(gè)班估計(jì)了該門公共課不及格率，并運(yùn)用假設(shè)檢驗(yàn)技術(shù)，比較不同班級(jí)不及格率和平均分的差異。 數(shù)值結(jié)果表明，在顯著水平為0.05下，部分班級(jí)不及格率有顯著差異，這說明教師的教學(xué)水平對(duì)不及格率有顯著影響。而對(duì)該組樣本從平均分角度進(jìn)行比較檢驗(yàn)，數(shù)值結(jié)果表明，教師的教學(xué)水平在0.05水平下沒有顯著差異，這可能是由于部分班級(jí)存在學(xué)生成績兩極分化嚴(yán)重的原因。 為了了解學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績是否顯著地影響大學(xué)數(shù)學(xué)的考試成績，從期末考試成績中等以上的學(xué)生和期末考試不及格學(xué)生抽取樣本，作假設(shè)檢驗(yàn)，比較這些學(xué)生高考數(shù)學(xué)成績，分析高考數(shù)學(xué)成績對(duì)本科期末考試成績影響的顯著性。 數(shù)值結(jié)果表明，高考數(shù)學(xué)成績對(duì)本科期末考試成績沒有顯著影響。因此，學(xué)生考試不及格率不應(yīng)該懷疑自己已有的基礎(chǔ)，也不應(yīng)該過多抱怨教師的教學(xué)水平不夠好，更重要的是要明確學(xué)習(xí)目的，端正學(xué)習(xí)態(tài)度，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。另一方面，大學(xué)數(shù)學(xué)教師需要不斷提高教學(xué)水平，不斷改進(jìn)教學(xué)方式和方法，使課堂學(xué)習(xí)生動(dòng)活躍有趣，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，注意了解學(xué)生思想動(dòng)態(tài)，管理好學(xué)生的學(xué)習(xí)紀(jì)律，營造良好的學(xué)風(fēng)，切實(shí)提高課堂教學(xué)效率。