建構(gòu)過程有模有樣 數(shù)學(xué)思考入心入腦

江蘇鹽城市第二小學(xué) 葛群兵

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，首先就是一個(gè)建構(gòu)的過程，學(xué)習(xí)者要把外在的知識(shí)結(jié)構(gòu)通過學(xué)習(xí)內(nèi)化為學(xué)習(xí)者自身的知識(shí)體系。因此，學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)實(shí)踐中往往需要經(jīng)歷把現(xiàn)實(shí)生活中的具體情境去偽存真，歸納概括出數(shù)學(xué)學(xué)科原有的知識(shí)與本質(zhì)的特征，并用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)和圖像等進(jìn)行表征及理解內(nèi)化為學(xué)習(xí)者自身認(rèn)知的過程，這就是數(shù)學(xué)化的過程。而實(shí)際生活中的解決數(shù)學(xué)問題，是學(xué)習(xí)者應(yīng)用和探索的過程，是把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與具體的情境中解決實(shí)際問題建立起聯(lián)系的過程，實(shí)現(xiàn)這種聯(lián)系的紐帶就是數(shù)學(xué)模型?！皵?shù)學(xué)模型思想”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》十大核心詞之一，新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)模型思想的建立是學(xué)習(xí)者了解和體驗(yàn)外部世界與數(shù)學(xué)世界聯(lián)系的基本途徑。不管是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還是研究數(shù)學(xué)，其宗旨都是應(yīng)用數(shù)學(xué)服務(wù)社會(huì)，造福人類，要很好地實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)的方法就是通過數(shù)學(xué)模型把實(shí)際問題與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來。

一、理解運(yùn)算意義，構(gòu)建解決問題的基本模型

加減乘除四則運(yùn)算的意義在解決數(shù)學(xué)問題中的作用是至關(guān)重要的，運(yùn)用加減乘除法的意義可以有效形成解決數(shù)學(xué)問題最基本的模型。以常見的數(shù)量關(guān)系為例，“付出的錢”“商品的價(jià)錢”與“找回的錢”，“速度”“時(shí)間”與“路程”等都是在理解運(yùn)算意義的基礎(chǔ)上通過加、減、乘、除運(yùn)算完成的，建立運(yùn)算模型是解決數(shù)學(xué)問題的基本方法。學(xué)習(xí)者在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)從運(yùn)算意義出發(fā)進(jìn)行思考，把實(shí)際生活情境中的問題與數(shù)學(xué)上運(yùn)算意義相聯(lián)系，經(jīng)歷思考、重組、構(gòu)建與創(chuàng)造的過程，淡化了平時(shí)解題要分類型程式化的教學(xué)。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第42頁例2、例3：

教材中一直未出現(xiàn)“包含除”“等分除”的術(shù)語，但在具體的生活實(shí)際情境中 “包含除”“等分除”這兩種操作都有所體現(xiàn)。

比如，在例2“分桃”中，把8個(gè)桃，每個(gè)小朋友分2個(gè)，可以分給幾個(gè)小朋友？這次操作分物活動(dòng)的算式表示為：8÷2＝4（個(gè)），就是所謂的“包含除”。

在例3“分桃”中，把8個(gè)桃平均分給2個(gè)小朋友，先讓學(xué)生分一分，得出每個(gè)小朋友分得4個(gè)，這一分物活動(dòng)算式表示為8÷2＝4（個(gè)），就是所謂的“等分除”。

雖然在數(shù)學(xué)教材中這兩種形式都有體現(xiàn)，但這里的操作分物活動(dòng)對(duì)分的步驟沒有做出統(tǒng)一要求，也沒有出現(xiàn)“等分除”“包含除”，不要求學(xué)生機(jī)械記憶這些人為劃分的題型類，而是讓學(xué)生根據(jù)已有的生活經(jīng)驗(yàn)利用自己的策略進(jìn)行實(shí)際操作，力求在動(dòng)手分物活動(dòng)中體驗(yàn)除法的含義，除法有這兩種不同的實(shí)際模型。

二、領(lǐng)悟模型思想，構(gòu)建數(shù)學(xué)思考的基本策略

學(xué)生應(yīng)該明白數(shù)學(xué)表征的目的是揭示實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系，而不是文學(xué)上描述一件事情或復(fù)述故事情景，要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用多種方式表征數(shù)量關(guān)系的能力。因此，運(yùn)用簡潔的數(shù)學(xué)圖形或語言符號(hào)，適度的類比聯(lián)想和對(duì)比歸納來揭示關(guān)系都是有效的途徑。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一次活動(dòng)、一種體驗(yàn)、一個(gè)過程，活動(dòng)、體驗(yàn)和過程是不能口述的，學(xué)生只有參與其中親身體驗(yàn)，才能積累經(jīng)驗(yàn)、領(lǐng)悟內(nèi)涵、把握本質(zhì)。讓學(xué)生領(lǐng)悟模型思想最有效的策略就是讓學(xué)生親身參與構(gòu)建模型的全過程。教師要引導(dǎo)學(xué)習(xí)者經(jīng)歷建模的過程，不妨從基于標(biāo)準(zhǔn)、把握教材、領(lǐng)悟內(nèi)涵入手。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第52頁例1：

一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或由許多物體組成的一個(gè)整體，都可以用自然數(shù)1來表示，通常我們把它叫作單位“1”。

學(xué)生在學(xué)習(xí)蘇教版三年級(jí)上冊(cè)中的“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”中已經(jīng)對(duì)一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位可以用自然數(shù)1來表示有了初步感性認(rèn)識(shí)，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，所以并不難理解。但對(duì)“由許多物體組成的一個(gè)整體，也可以用自然數(shù)1來表示”尚缺少生活積累，所以領(lǐng)悟起來就有一定的困難。這就需要讓學(xué)生參與建模的過程，可以分三步進(jìn)行：先畫6個(gè)圓片表示許多物體，然后在6個(gè)圓片外畫一個(gè)橢圓表示組成了一個(gè)整體，再把這個(gè)整體（橢圓）平均分成三份涂色部分占整體的。例題后的兩個(gè)練習(xí)也可以用同樣的步驟進(jìn)行建模練習(xí)。

再如第59頁的例5、例6中假分?jǐn)?shù)的建模，先從真分?jǐn)?shù)開始涂色表示每個(gè)圓右邊的分?jǐn)?shù)，都是把一個(gè)圓平均分成4份，表示這樣的1份、3份都可以直接涂色。表示4份就正好涂滿。而要涂色表示5個(gè)，則開始畫的第一個(gè)圓就不夠涂了。因?yàn)橐粋€(gè)圓只被平均分成了4份，只有4份可以涂色，現(xiàn)在要表示5份，所以需要在第一個(gè)圓片右邊再畫一個(gè)相同的圓片，和左邊圓片同樣平均分成4份，涂上1份，這時(shí)分?jǐn)?shù)需要在兩個(gè)圓片之間用大括號(hào)連上。有了這個(gè)建模過程，學(xué)生就不難完成例6了。在圖形中涂色表示它下面的分?jǐn)?shù)。

沒有這個(gè)建模的過程，有不少學(xué)生思考時(shí)就容易混淆，往往出錯(cuò)，把寫成，把寫成，把寫成等。

三、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)思維生長的有效途徑

思考是思維的一種探索活動(dòng)，是學(xué)生對(duì)獲得信息的再加工。數(shù)學(xué)思考是學(xué)生面對(duì)各種現(xiàn)實(shí)的問題情境，能夠從數(shù)學(xué)的角度去獲取信息再思考，自覺養(yǎng)成應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想和理念探尋其中所存在的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)律，并有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)和思想方法解決現(xiàn)實(shí)中的問題。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第34頁的例4：

像這樣的數(shù)學(xué)思考，學(xué)生充分體驗(yàn)了知識(shí)的探究過程，充分經(jīng)歷了知識(shí)的形成過程，學(xué)生就有足夠的空間和時(shí)間對(duì)知識(shí)之間存在的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系進(jìn)行分析、對(duì)比、歸納、推理。在學(xué)生充分經(jīng)歷學(xué)習(xí)活動(dòng)后，教師再恰當(dāng)抓住契機(jī)，在不憤不啟、不悱不發(fā)處就能切實(shí)點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花，使學(xué)生的思維真正參與到獲取知識(shí)的活動(dòng)中來，這樣才能有效促進(jìn)學(xué)生的思維生長。

讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)過程，教師要根據(jù)學(xué)習(xí)者的年齡特點(diǎn)、思維水平和教學(xué)內(nèi)容，善于創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)流程，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的再創(chuàng)造。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的充分經(jīng)歷，點(diǎn)燃了學(xué)生的思維；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的深刻體驗(yàn)，引發(fā)了學(xué)生激烈的思維碰撞；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)思考，徹底激活了學(xué)生的思維；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的快樂分享，加強(qiáng)了學(xué)生的思維共振。因此，只有在充分經(jīng)歷、深刻體驗(yàn)、數(shù)學(xué)思考、快樂分享的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，才能最大限度地促進(jìn)學(xué)生的思維生長。

綜上所述，數(shù)學(xué)模型思想不是一蹴而就能實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)，是需要長期有針對(duì)性的培養(yǎng)和有意識(shí)的積累。提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)需要講究策略，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中建構(gòu)過程要有模有樣，激活學(xué)生的思維碰撞，數(shù)學(xué)思考才能入心入腦，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才會(huì)悄然升華。?