一類廣義Camassa-Holm方程解的持續(xù)性

李秀歌，余 闖，郭正光

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

本文將考慮方程

當(dāng)b=3k時的強解在加權(quán)空間中的持續(xù)性質(zhì)，研究思路來源于Guo和Zhou等的一些工作[1-4].文獻(xiàn)[1]證明了帶有色散項的方程解的持續(xù)性質(zhì)，文獻(xiàn)[2]證明了具有兩個分量的Camassa-Holm方程解的持續(xù)性質(zhì)，文獻(xiàn)[3]證明了Camassa-Holm方程解的持續(xù)性質(zhì)，文獻(xiàn)[4]證明了Novikov方程解的持續(xù)性質(zhì)，通過構(gòu)造加權(quán)函數(shù)以及利用Young不等式和H?lder's不等式對方程進(jìn)行估計來獲得研究結(jié)果.

我們試圖找到一類滿足下面條件的權(quán)函數(shù)φ（Weight Function）：

首先介紹一些時間頻率分析[6-7]的標(biāo)準(zhǔn)定義和基本結(jié)果.

1 一些重要定義

在文獻(xiàn)[4]中已經(jīng)證明φ是ν穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)加權(quán)的Young不等式

2 主要定理

其中常數(shù)C依賴于函數(shù)v，φ和

容許權(quán)函數(shù)的經(jīng)典例子是

3 定理證明

證明：為了計算方便，改寫方程（1）為下面形式的運輸方程：

對于3k=b，我們有對于任意的我們定義截斷函數(shù)：

注意到

由H?lder's不等式得到

結(jié)合方程（2）和（3）得到

因此有

對方程（4）關(guān)于變量x求微分，得到：

對（7）式左邊第三項進(jìn)行如下估計.首先，對第三項變形

（7）式第四項變形為：

并且，（7）式第二項為：

得到

此外，通過F(u)的定義很容易得出：

結(jié)合方程（5）、（8）和（9），則存在常數(shù)C滿足

利用Gronwall不等式，就有

定理的剩余部分只需證明p=∞，因為所以對于任意的q≥2，類似前面討論可以得到