基于均值濾波和小波變換的圖像去噪

彭姝姝

（中國(guó)三峽新能源有限公司江浙公司，鹽城 224011）

通過(guò)對(duì)含高斯噪聲的圖像進(jìn)行分析和研究，結(jié)合傳統(tǒng)的圖像去噪算法，提出一種采用均值濾波和小波變換相結(jié)合的算法來(lái)進(jìn)行圖像去噪。在分析主流的軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)后，提出一種新型閾值函數(shù)，并針對(duì)傳統(tǒng)閾值選取采用的“一刀切”方式的缺陷，提出一種根據(jù)圖像分解層次不同能夠自適應(yīng)更新的閾值選取方式。先對(duì)含有噪聲的二維圖像信號(hào)進(jìn)行小波分解，然后對(duì)圖像信號(hào)重構(gòu)至第一層；采用不同的濾波模板對(duì)水平、垂直，以及對(duì)角線方向上的子圖像進(jìn)行均值濾波；最后將低頻近似子圖像和經(jīng)過(guò)均值濾波處理后的各個(gè)細(xì)節(jié)子圖像結(jié)合產(chǎn)生去噪后的圖像。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新算法相較于傳統(tǒng)的單一算法有更好的去噪性能。

圖像去噪；小波變換；均值濾波；閾值量化；自適應(yīng)閾值

0 引言

人類獲得信息最為主要和關(guān)鍵的手段之一就是圖像。因此，在圖像的各種傳達(dá)以及輸送過(guò)程中，多種不同的噪音或其他干擾是難以規(guī)避的[1]，這樣一來(lái)，輸送的圖像的品質(zhì)以及質(zhì)量將會(huì)受到不同程度的受損，對(duì)于人類的視覺(jué)系統(tǒng)進(jìn)行圖像分析以及傳感器對(duì)圖像的系統(tǒng)分析和理解會(huì)造成一定程度上的妨礙，對(duì)于人們進(jìn)一步的圖像處理的需求也有很大的阻礙，因此圖像去噪對(duì)于圖像處理來(lái)說(shuō)是非常重要的一步。

變換域去噪以及空間域去噪是現(xiàn)在圖像去噪的兩大類方法[2-3]。變換域去噪的方法可以再分為兩種，一種是基于小波變換的圖像去噪方法；另一種就是基于傅里葉變換的圖像去噪方法。對(duì)于空間域去噪類方法來(lái)講，中流砥柱主要有均值濾波、值濾波以及維納濾波等圖像去噪的方法。均值濾波是一種較為常見(jiàn)的圖像去噪算法，該算法運(yùn)算簡(jiǎn)單，對(duì)高斯白噪聲有較好的抑制能力。但均值濾波作為一種低通濾波算法，在降低噪聲的同時(shí)也會(huì)對(duì)圖像的高頻成分造成破壞，從而使圖像的邊緣信息有所損失，使圖像模糊不清。而將小波變換運(yùn)用到圖像處理中不僅可以有效地抑制圖像噪聲，而且還能較好地增強(qiáng)圖像。因此將這兩種方法結(jié)合進(jìn)行圖像去噪，不僅能夠很大程度地將圖像噪音減低，還能夠?qū)D像原本的細(xì)節(jié)方面進(jìn)行有效的保留，使圖像更加平滑，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，其去噪效果好于單一方法。

1 均值濾波

均值濾波是一種線性濾波，對(duì)高斯噪聲具有較好的抑制能力，其基本思想是選取幾何領(lǐng)域平均。均值濾波的原理是：先選取大小固定的具有幾何規(guī)則的模板，讓某一像素點(diǎn)出于該模板的幾何中心位置，計(jì)算該點(diǎn)領(lǐng)域若干點(diǎn)的灰度平均值，然后用該值來(lái)代替待處理點(diǎn)的灰度值。對(duì)噪聲圖像的所有像素點(diǎn)做同樣的處理，就得到了均值濾波后的圖像。用公式可表示為：

其中，f(x,y)表示含噪聲圖像，g(x,y)表示經(jīng)過(guò)均值濾波后的結(jié)果圖像，圖像為m×n 大小。均值濾波具有算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，但在使用這種圖像去噪方法時(shí)，會(huì)將圖像原本的很多細(xì)節(jié)方面損傷，進(jìn)而使得圖像沒(méi)有原本的清晰。

2 小波變換

2.1 小波去噪原理

小波去噪的圖像去噪原理是將時(shí)間域或者是空間域上的帶有噪音的圖像進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)變到小波域進(jìn)而形成多層的小波系數(shù)，再基于小波分析思想對(duì)小波系數(shù)的特性進(jìn)行系統(tǒng)分析。由于小波變換是線性的，所以噪聲圖像經(jīng)過(guò)小波變換后的小波系數(shù)是原始圖像的小波系數(shù)和噪聲的小波系數(shù)的總和。

圖像去噪的方法之一是基于小波變換的圖像去噪，其變換尺度特性對(duì)于圖像信號(hào)的確定具有極為顯著的能力——集中。其運(yùn)用基本思想是：將圖像噪音信號(hào)進(jìn)行變換，由高頻轉(zhuǎn)換為小波，將圖像噪音聚集到次低頻、次高頻以及高頻的板塊中，由于圖像的噪音信號(hào)在高頻中占有重要比重，噪聲信號(hào)占絕大部分，因此將該子塊設(shè)置為零，對(duì)其他兩個(gè)子塊則可以降低要求，不必設(shè)置為零，只進(jìn)行抑制，進(jìn)而將圖像噪音一步去除到位。

2.2 小波閾值去噪

圖像的噪音能量的分布范圍較廣，幾乎占據(jù)小波區(qū)域的全部，同時(shí)圖像信號(hào)也是具有能量的，而這些能量的分布范圍是具有局限性的，被集中在小波域內(nèi)一些特定的小波系數(shù)當(dāng)中。當(dāng)含有噪音的圖像進(jìn)行小波域去噪時(shí)，小波將圖像信號(hào)進(jìn)行有關(guān)分解，將噪音圖像邊緣含有的信息能量聚集在大模值系數(shù)中，再使得圖像噪音含有的能量聚集在小模值系數(shù)，進(jìn)而按照次頻的特性特點(diǎn)，將小波閾值去噪的閾值調(diào)為零，這樣就能夠使得圖像的噪聲全部去除。

2.3 小波圖像增強(qiáng)

將圖像進(jìn)行增強(qiáng)，其目的是為了把圖像的特征以及圖像的視覺(jué)效果進(jìn)一步的提升。當(dāng)對(duì)噪音圖像進(jìn)行小波閾值去噪時(shí)，其圖像信號(hào)被分解，高頻部分表示的是噪音圖像的細(xì)節(jié)，而低頻的部分體現(xiàn)的主要是圖像的輪廓信息。因而，圖像進(jìn)行小波分解以后，低頻系數(shù)應(yīng)該加權(quán)增強(qiáng)，而高頻的系數(shù)應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行加權(quán)減弱，即可達(dá)到圖像增強(qiáng)的目的。

3 圖像小波分解與重構(gòu)

圖像的小波分解是在二維離散小波變換和多分辨分析的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的，圖像f(x,y)的二維離散小波分解可表示為：

其中，j 為分解尺度，hk和gk為低通濾波器和高通濾波器，分別是標(biāo)準(zhǔn)正交尺度函數(shù)和小波函數(shù)的雙尺度方程系數(shù)。圖像cAj經(jīng)過(guò)一層小波分解后可分解為：低頻系數(shù)cAj+1、水平細(xì)節(jié)系數(shù)cHj+1、垂直細(xì)節(jié)系數(shù)cVj+1和對(duì)角線細(xì)節(jié)系數(shù)cDj+1。

對(duì)噪音圖像進(jìn)行小波分解以后，可以得到兩個(gè)系數(shù)，一個(gè)是高頻細(xì)節(jié)系數(shù)，一個(gè)是低頻系數(shù)，將這兩種系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，就能夠得到原始圖像。原始圖像產(chǎn)生的具體流程如下：

上式中，Aj+1、Hj+1、Vj+1、Dj+1是低頻系數(shù)和三個(gè)高頻細(xì)節(jié)系數(shù)充構(gòu)建產(chǎn)生的圖像cAj的近似子圖像和三個(gè)高頻細(xì)節(jié)子圖像。

4 小波變換結(jié)合均值濾波的圖像去噪

4.1 算法流程

由于噪音圖像的邊緣信息在噪音的抑制和去除的過(guò)程中會(huì)被均值濾波模糊，故而噪音圖像在進(jìn)行小波變換處理時(shí)，圖像會(huì)有顯著的提高。所以，結(jié)合上述內(nèi)容以及研究了兩種算法后，對(duì)于圖像的去噪采用均值濾波和小波變換兩種去噪方法相結(jié)合。

將均值濾波和小波變換兩種圖像去噪方法結(jié)合后，其具體的操作過(guò)程如下所示：

（1）小波分解噪音圖像信號(hào)：用Sym4 小波基對(duì)噪聲圖像進(jìn)行兩層分解；

（2）閾值量化：相關(guān)值曉得系數(shù)即為噪聲系數(shù)，將其設(shè)置為零，將相關(guān)值大的系數(shù)根據(jù)具體情況相應(yīng)的進(jìn)行增強(qiáng)；

（3）重新構(gòu)建被分解的噪音圖像信號(hào)：圖像信號(hào)經(jīng)過(guò)小波分解以后，進(jìn)行閾值化處理，將處理以后得到的第二層到第一層的系數(shù)重構(gòu)建，進(jìn)而得到重構(gòu)建以后的第一層多個(gè)細(xì)節(jié)子圖像；

（4）均值濾波：使用特定的濾波模板對(duì)水平細(xì)節(jié)子圖像、對(duì)角細(xì)節(jié)子圖像以及垂直細(xì)節(jié)子圖像進(jìn)行均值濾波處理，而對(duì)于低頻的細(xì)節(jié)子圖像不進(jìn)行變動(dòng)；

（5）圖像恢復(fù)：如若想獲得噪音圖像在去噪以后的復(fù)原圖像，可以將經(jīng)過(guò)均值濾波處理以后的對(duì)角細(xì)節(jié)子圖像、水平細(xì)節(jié)子圖像以及垂直細(xì)節(jié)子圖像和低頻近似子圖像進(jìn)行疊加。

4.2 算法流程當(dāng)中的參數(shù)選取

（1）閾值函數(shù)選取

當(dāng)使用小波變換圖像去噪法處理圖像以后，圖像極大多數(shù)的能量是聚集在一些特定的低頻系數(shù)上的，小波變換的高頻系數(shù)上只存在很少部分的一些能量。相對(duì)來(lái)說(shuō)，能量較為分散，并且幅度值也不是很大的噪聲小波系數(shù)值是小于圖像信號(hào)小波系數(shù)值的。想要獲得圖像內(nèi)含有有用的信號(hào)并且噪音被去除的圖像，就需要采用適當(dāng)?shù)拈撝颠M(jìn)行處理。

當(dāng)噪音圖像進(jìn)行小波閾值去噪時(shí)，將小波閾值去噪中的小波系數(shù)模的不同的估計(jì)方法以及不一樣的處理方式體現(xiàn)出來(lái)的正是閾值函數(shù)?，F(xiàn)階段研究方法中經(jīng)常會(huì)使用到的閾值函數(shù)主要有以下三個(gè)，分別是軟閾值函數(shù)、半軟閾值函數(shù)以及硬閾值函數(shù)。

①硬閾值函數(shù)

②軟閾值函數(shù)

③半軟閾值函數(shù)

硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)在已知函數(shù)噪聲方便有較好的效果，但其也存在一些缺陷：硬閾值函數(shù)可以較好的保留圖像細(xì)節(jié)，但充構(gòu)建后的圖像信號(hào)將會(huì)出現(xiàn)諸多不好的失真情況，例如偽吉布斯效應(yīng)以及振鈴等；相對(duì)來(lái)說(shuō)，使用軟閾值函數(shù)進(jìn)行處理會(huì)平滑點(diǎn)，然而也會(huì)產(chǎn)生其他的影響，如圖像的邊緣會(huì)變得模糊不清。因此，為了攻克閾值函數(shù)的這些缺點(diǎn)和不足之處，研究人員提出了改進(jìn)型閾值函數(shù)，這些函數(shù)有效地克服了傳統(tǒng)閾值函數(shù)缺陷。然而，由于改進(jìn)型的閾值函數(shù)中存在很多難以確定的參數(shù)，故而圖像去噪的最終結(jié)果也將會(huì)受到影響。

上述三組閾值函數(shù)都含有不確定參數(shù)，為了克服其對(duì)去噪性能的影響，對(duì)閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，從而構(gòu)建出一種新型的閾值函數(shù)。

④新型閾值函數(shù)

對(duì)于函數(shù)f（x）：

當(dāng)x＞0 時(shí)，f（x）/x →1（x →+∞）；當(dāng)x＜0 時(shí)，同樣的，有f（x）/x →1（x →-∞），同時(shí)f（x）-x →0（x →∞），所以函數(shù)（15）是以y=x 為漸近線的，即新型閾值函數(shù)以=W 為漸近線，隨著W 的增大逐漸接近W，此函數(shù)有效地克服了在軟硬閾值當(dāng)中和W 有恒定偏差的缺陷。

（2）閾值選取

在小波閾值去噪的過(guò)程當(dāng)中，除了構(gòu)造閾值函數(shù)外，另外一個(gè)重點(diǎn)就是閾值的選取，如果閾值選取過(guò)大，則會(huì)得到較多大小為零的小波系數(shù)，這樣一來(lái)，圖像的去噪效果將會(huì)有極大地影響，因?yàn)楹芏啻嬖谟趫D像當(dāng)中的有用的信息會(huì)在這一過(guò)程當(dāng)中被過(guò)濾掉；假設(shè)在小波閾值去噪時(shí)，選取的閾值較小，和輸入的相比較來(lái)說(shuō)去噪后的圖像很接近，但經(jīng)過(guò)這一處理過(guò)后的圖像是有很多的噪音信號(hào)沒(méi)有去除掉，保留了下來(lái)。普遍而言，一旦小波系數(shù)是被確定了的，當(dāng)圖像的噪音信號(hào)越大，在處理時(shí)就應(yīng)當(dāng)選擇越大的閾值；反之閾值的選取就應(yīng)該越小。

現(xiàn)階段對(duì)于閾值的估計(jì)方法主要有以下幾方面：

①Visu Shrink 閾值，由Donoho Johnstine 提出，是一種小波閾值萎縮算法，閾值選取為,其中δn為噪聲均方差，N 為信號(hào)的長(zhǎng)度。

②Sure Shrink 閾值，很多時(shí)候也被叫做Stein 無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閾值，下面是關(guān)于Stein 無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閾值的計(jì)算求取具體過(guò)程：

Step1.先求信號(hào)長(zhǎng)度N；

Step2.將小波系數(shù)有小到大排列，形成一個(gè)新的向量X=[X1,X2…Xn]；

Step3.計(jì) 算 風(fēng) 險(xiǎn) 向 量 R=[r1,r2…rn], 其中

Step4.以R 中的最小元素作為風(fēng)險(xiǎn)值，由rB的相對(duì)應(yīng)的位置B 求解出XB，則Sure Shrink 的閾值

目前，選取采用“一刀切”的方式是傳統(tǒng)閾值計(jì)算多數(shù)選擇的方式，即無(wú)論采用幾層小波變換，每一層的圖像小波系數(shù)都采用相同的閾值處理。但是這樣就會(huì)帶來(lái)對(duì)噪聲圖像過(guò)度去噪處理的問(wèn)題。當(dāng)圖像進(jìn)行若干層的小波分解后，圖像有用信號(hào)的能量主要集中在很少一部分的小波變換系數(shù)中，但是噪聲則不同于有用信號(hào)，其能量會(huì)廣泛分布于各個(gè)小波分解的系數(shù)中。這樣就會(huì)使得圖像有用信號(hào)的小波變換系數(shù)的幅值大于噪聲小波變換系數(shù)的幅值。所以，當(dāng)采用傳統(tǒng)的統(tǒng)一閾值進(jìn)行去噪時(shí)，有可能會(huì)造成原圖像信息的丟失。小波閾值選取地改進(jìn)方向主要是為了解決這樣的缺陷，即小波閾值要根據(jù)圖像小波分解的層數(shù)不同自適應(yīng)地更新，使其能夠適應(yīng)該層的小波系數(shù)。

為此，采用以下改進(jìn)型閾值：

其中j 為分解尺度，也就是說(shuō)，當(dāng)j=1 時(shí)：

其結(jié)果與通用的閾值相同，當(dāng)j＞1 時(shí)，閾值會(huì)隨著分解尺度的增加而較小，與實(shí)際情況更加符合。

4.3 均值濾波模板選取

從能量的角度來(lái)說(shuō)，對(duì)于高斯噪聲，其功率譜密度為常數(shù)，也就是說(shuō)，全部的頻域中都存在高斯噪聲的能量，并且這些能量不是雜亂的，是均勻分布；同時(shí)，高頻區(qū)域是圖像細(xì)節(jié)成分的主要存在區(qū)域。在存在噪音的圖像中，高頻區(qū)域含有的噪音能量所占比重較多，在一定程度上甚至能夠?qū)⒂杏玫男盘?hào)覆蓋，而在低頻區(qū)占有的比重相對(duì)來(lái)說(shuō)較低。因此，在對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理時(shí)，著重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)放在高頻區(qū)。

選擇采用合適的均值濾波模板是進(jìn)行圖像去噪極為重要的一步，目的是為了避免圖像在處理過(guò)程中模糊，變得不清楚；若是均值濾波模板選擇的太小，其去噪的能力會(huì)受到影響，能力降低；若是太大的話，圖像的模糊程度將會(huì)增強(qiáng)，變得更加不清晰。

當(dāng)噪音圖像經(jīng)過(guò)小波重構(gòu)建以后，還需要經(jīng)由列高通濾波以及行低通濾波處理，進(jìn)而會(huì)產(chǎn)生將垂直方向的低頻信息以及水平方向的高頻信息包含在內(nèi)的子圖像，為了將垂直方向的低頻信息更好地保存下來(lái)，同時(shí)將水平方向的噪音去除，可以使用水平線性模板對(duì)圖像進(jìn)行均值濾波噪音處理。相同的，如果想要去除水平方向圖像噪音，同時(shí)將水平方向低頻信息極好地保存，可以選擇垂直線型模板對(duì)圖像進(jìn)行均值濾波處理。但是，通過(guò)列高通濾波以及行高通濾波處理后產(chǎn)生的子圖像包含了水平方向和垂直方向的高頻信息，即對(duì)角線方向上的高頻信息，所以，采用X 型模板，在一定程度上能去除對(duì)角線方向上的噪聲。選取地噪聲模板如圖1 所示。

圖1 濾波模板

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證該方法的有效性，采用MATLAB 2015b軟件對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行仿真，將新型去噪算法與均值濾波算法、小波硬閾值算法、小波軟閾值算法進(jìn)行比較，以峰值信噪比（PSNR）和均方根誤差（RMSE）來(lái)作為去噪效果的客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，其定義分別為：

表1 幾種去噪方法的PSRN 和RMSE 的比較

其中，MSE 為均方誤差；Si為原始圖像信號(hào)；為去噪后的圖像信號(hào)。

實(shí)驗(yàn)采用Lina 圖像作為輸入（256×256，灰度范圍[0,1]），先將均方差0.01 的高斯噪音放入其中，然后對(duì)均值濾波法、軟硬閾值法和新型算法分別進(jìn)行對(duì)比分析。實(shí)驗(yàn)中的小波分解采用Sym4 小波基，對(duì)H1、V1分別采用1×5 和5×1 的模板，對(duì)D1采用5×5 的9 點(diǎn)X 型模板，圖2-7 分別為文中算法的去噪方法比較。

圖2 原圖像

圖3 加噪圖像

圖4 均值濾波

圖5 硬閾值

圖6 軟閾值

圖7 文中算法

6 結(jié)語(yǔ)

在現(xiàn)有的去噪算法基礎(chǔ)上，選用基于均值濾波和小波變換的去噪方法，在對(duì)圖像進(jìn)行小波變換的過(guò)程當(dāng)中，采用了新型的小波閾值函數(shù)，該函數(shù)與傳統(tǒng)的軟硬閾值函數(shù)相比，有更好的去噪性能；和其他的改進(jìn)閾值函數(shù)相比，由于去除了不確定參數(shù)，大大提高了去噪性能的穩(wěn)定性。在閾值選取上，采用了基于小波分解層數(shù)自適應(yīng)更新的閾值選取方法，克服了傳統(tǒng)方法有可能造成圖像信息丟失的缺陷。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于均值濾波和小波變換的新型算法在視覺(jué)效果上優(yōu)于傳統(tǒng)均值濾波即軟硬閾值小波算法，在峰值信噪比和均方根誤差這兩個(gè)客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)上也證明了其去噪性能的優(yōu)越性。