機械臂架系統(tǒng)的非隨機振動分析

曾 光 段民封 倪冰雨 姜 潮

1.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙,4100822.湖南大學機械與運載工程學院，長沙,410082 3.長沙中聯(lián)重科環(huán)境產業(yè)有限公司,長沙,410131

0 引言

臂架是混凝土泵車、起重機、挖掘機等諸多工程機械裝備中常用的一種重要結構形式。此類工程機械往往工作環(huán)境惡劣，承載復雜多變，在進行作業(yè)時其伸縮機構、垂直臂、擋位等需要頻繁啟?；蛘{整，導致臂架容易產生振動。并且，在臂架振動過程中存在動態(tài)不確定性因素的介入，例如混凝土流經(jīng)泵車臂架輸送管道時引起的摩擦力等，使得結構振動響應也呈現(xiàn)出一定的不確定性。傳統(tǒng)的結構動態(tài)不確定性分析方法主要基于概率理論[1-3]，以隨機過程對動態(tài)參數(shù)的不確定性進行度量，基于此的結構動力學分析就是隨機振動分析[4-6]。

對于機械臂架的隨機振動分析，通常將臂架的幾何尺寸、材料特性參數(shù)、作用載荷和邊界條件等視為隨機變量，研究隨機振動過程中的應力、位移變形或穩(wěn)定性特性，或者基于隨機振動參數(shù)分析系統(tǒng)的可靠性。文獻[7]利用拉格朗日方法，將柔性機械臂幾何、材料和邊界條件參數(shù)當作不確定量，建立了空間柔性機械臂不確定性動力學模型，并在此基礎上對柔性機械臂的功能可靠性問題進行了研究；文獻[8]將履帶起重機臂架的幾何尺寸、材料特性參數(shù)和作用載荷視為隨機變量，建立了以臂架強度、剛度、整體穩(wěn)定性和壓彎桿件穩(wěn)定性為失效模式的動態(tài)可靠性分析模型；文獻[9]將隨機因子引入隨機響應面法中，提出一種處理多輸入隨機參數(shù)的雙連桿柔性機械臂系統(tǒng)可靠性分析方法；文獻[10]利用徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡分別對系統(tǒng)的運動學不確定性和動力學不確定性進行了在線建模和自適應補償，設計控制器實現(xiàn)其末端位置跟蹤；文獻[11]借助有限元仿真方法對工業(yè)機器人機械臂進行了模態(tài)分析，并借助ANSYS概率分析模塊對機械臂進行了可靠性研究；文獻[12]將隨機干擾引入單桿柔性關節(jié)機械臂系統(tǒng)，建立了一個具有未知參數(shù)的隨機動力學模型。在上述研究中，機械臂架結構的材料參數(shù)、幾何參數(shù)和作用載荷等參數(shù)的不確定性度量均基于概率假設，通過隨機變量或隨機過程進行表征。然而，為獲得參數(shù)的概率分布信息，隨機過程模型的構建需基于動態(tài)參數(shù)的大量樣本觀測數(shù)據(jù)，這對于很多實際工程問題存在成本過高等困難。此外，研究表明[13]，對于此類參數(shù)不當?shù)闹饔^概率假設可導致對結構響應及可靠性的估計產生較大的偏差，容易引起工程人員對結構參數(shù)的不合理設計及對實際結果的誤判。

針對上述問題，本文引入非隨機振動分析方法[14-16]對機械臂架結構的動態(tài)響應特性進行分析，獲得結構動態(tài)響應的上下邊界信息，從而方便工程人員進行結構性能評估及參數(shù)設計。在對臂架結構的非隨機振動分析中，臂架系統(tǒng)采用有限元數(shù)值仿真模型代替，從而避免復雜的動力學微分方程推導和求解[17]，動態(tài)不確定激勵參數(shù)由區(qū)間過程[16]描述，僅要求知道動態(tài)參數(shù)的波動上下邊界而非概率分布信息，有效避免了對大量樣本數(shù)據(jù)的依賴，對實際工程問題而言具有較好的實用性。

1 臂架結構的動力學分析

以混凝土泵車(圖1)為例，混凝土主要通過臂架系統(tǒng)(包含5節(jié)臂架)連續(xù)不斷地被泵送至澆注點，因此臂架性能的好壞將直接影響混凝土澆注的準確性?；炷恋臐沧儆趧討B(tài)過程，在泵送及澆注過程中將不可避免地引起臂架的振動。對臂架結構的振動分析尤其是對臂架末端的動態(tài)響應進行預測和控制，有助于保證混凝土澆注的質量，同時也有益于減緩臂架的疲勞破壞和提升臂架系統(tǒng)的可靠性。本節(jié)首先對混凝土泵車臂架進行受力分析，然后基于力學模型進行動態(tài)響應分析。

(a)混凝土泵車

(b)混凝土泵車臂架有限元模型圖1 混凝土泵車及其臂架系統(tǒng)有限元模型Fig.1 The FEM model of mechanical arm of concrete pump

圖2 臂架系統(tǒng)受力示意圖Fig.2 Diagram of the force of arm

1.1 受力分析

在混凝土泵車臂架系統(tǒng)所受的載荷中，最主要的一種載荷即為混凝土流經(jīng)管道時產生的摩擦力，其簡化的受力模型見圖2。根據(jù)混凝土在光滑管道中流動的特點，輸送管道單位面積所受摩擦力f?(t?)與柱塞流流速v?(t?)之間有如下關系[18]：

f?(t?)=K?1+K?2v?(t?)

(1)

其中，K?1為黏著系數(shù)；K?2為速度系數(shù)。K?1和K?2取決于混凝土配合比和管道內壁情況，當管道內壁足夠光滑時，普通混凝土的K?1和K?2值可通過下式計算[18]：

K?1=(3-0.1ε?)×102Pa

(2)

K?2=(4-0.1ε?)×102Pa·s/m

(3)

其中，?ε?為混凝土塌落度，可根據(jù)實際試驗測量獲得。而第i?節(jié)輸送管道受到的總摩擦力F?i?(t?)為

F?i?(t?)=S?i?f?(t?)

(4)

其中，S?i?為第i?節(jié)管道內表面面積。流速v?(t?)與流量Q?(t?)的關系為

(5)

F?i?(t?)=K?2ηS?i?Q?(t?)+K?1S?i?

(6)

在進行有限元計算中，相應的第i?節(jié)臂在時刻t?j?(j?=1,2,…)所加載的節(jié)點摩擦力p?ij?為

p?ij?=(K?2ηS?i?Q?(t?)+K?1S?i?)/m?i?

(7)

其中，m?i?表示第i?節(jié)臂管道內壁施加載荷的節(jié)點總數(shù)。

1.2 動態(tài)響應分析

由式(6)可以發(fā)現(xiàn)，第i?節(jié)管道內表面所受到的摩擦力由兩部分組成，第一部分為由流量Q?(t?)引起的動態(tài)激勵，第二部分則為確定性靜態(tài)激勵。不妨將第一部分引起的結構動態(tài)響應記為w?1(t?)，將第二部分引起的結構動態(tài)響應記為w?2(t?)。假設混凝土泵車臂架結構為近似線性系統(tǒng)，根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，結構的動態(tài)響應w?(t?)可表示為

w?(t?)=w?1(t?)+w?2(t?)

(8)

對于流量Q?(t?)引起的結構響應w?1(t?)可由如下杜哈梅積分[19]求解得到：

(9)

其中，h?(t?-τ?)表示在時刻τ?施加一單位脈沖激勵，在t?時刻引起的系統(tǒng)響應，即單位脈沖響應。在本文中，單位脈沖響應h?(t?-τ?)由混凝土泵車臂架系統(tǒng)的有限元模型仿真計算得到，如圖3所示。相應地，根據(jù)式中杜哈梅積分的數(shù)值離散形式可得到式(8)等號右邊第一項因流量Q?(t?)引起的動態(tài)響應w?1(t?n?)：

(10)

其中，Δτ?為離散時間間隔，通常足夠?。籬?(t?-t?j?)表示流量Q?(t?j?)流經(jīng)管道時引起的系統(tǒng)響應。將式中第二項激勵直接輸入有限元模型計算可以得到對應的確定性響應w?2(t?n?)，于是系統(tǒng)總響應又可寫為

w?(t?n?)=w?1(t?n?)+w?2(t?n?)=

(11)

由式(11)可知，任意時刻t?n?系統(tǒng)響應w?(t?n?)取決于激勵的大小以及表征系統(tǒng)特性的單位脈沖響應函數(shù)。

2 臂架結構的非隨機振動分析

流體狀混凝土在輸送管道中流動時，由于混凝土泵車的擋位、泵送壓力以及混凝土自身的物理特性分布的不均性(如黏度、質量分布等)，作用力將呈現(xiàn)出較大的不確定性。自然地，系統(tǒng)的輸出響應也將呈現(xiàn)出不確定性。要保證施工過程中泵車臂架的穩(wěn)定性，以較好地控制混凝土澆筑的效果和效率，則需要充分考慮上述不確定性對系統(tǒng)結構振動的影響。下面將通過區(qū)間過程模型對不確定性動態(tài)激勵進行度量，進而對柔性多體結構的非隨機振動展開分析，最終獲得系統(tǒng)動態(tài)響應的邊界。

(a)單位脈沖激勵

(b)泵車臂架有限元模型

(c)單位脈沖響應圖3 單位脈沖響應計算示意圖Fig.3 Diagram of the computation of unit impulse response

2.1 動態(tài)載荷的區(qū)間過程模型

在實際工程中，式(6)中的流量Q?(t?)通常為動態(tài)不確定量，這里由區(qū)間過程模型進行度量。如圖4所示，在區(qū)間過程模型中，動態(tài)激勵的不確定性被描述為有邊界的波動。換言之，對于不確定動態(tài)激勵Q?(t?),t?∈T?，由于不確定性因素的影響，其觀測樣本函數(shù)將存在一定差異；但不管樣本函數(shù)如何變化，都將嚴格包絡于激勵區(qū)間過程Q?(t?)的上下邊界函數(shù)Q?U(t?)和Q?L(t?)以內。對于任意時刻t?i?∈T?，激勵Q?(t?i?)為一區(qū)間變量，所有可能取值的波動范圍為一閉區(qū)間。因此，區(qū)間過程通常也可理解為隨時間變化的區(qū)間變量。除了上下邊界特征，區(qū)間過程對動態(tài)不確定性激勵進行度量的另外一個重要參數(shù)就是任意兩個時刻之間的相關性。下面對區(qū)間過程的定義、主要性質以及建模原理簡述。

圖4 區(qū)間過程示意圖[15]Fig.4 Diagram of interval process

(1) 設有一不確定性激勵Q?t?，在特定的時間段T?內，如果對于任意時刻t?i?∈T?，Q?t?i?所有可能的值屬于區(qū)間Q?It?i?=Q?Lt?i?,Q?Ut?i?，則該不確定性激勵過程Q?t?稱為區(qū)間過程，記為Q?It?。

(2) 中值函數(shù)Q?mt?為

(12)

(3)激勵Q?It?的半徑函數(shù)Q?rt?和方差函數(shù)D?Q?It?分別為

(13)

(14)

與隨機過程對應，用基于橢球模型定義的自協(xié)方差C?Q?IQ?I(t?1,t?2)度量任意兩時刻t?1和t?2(t?1,t?2∈T?)對應的激勵Q?I(t?1)和Q?I(t?2)之間的相關性。

(4)對于任意時刻t?i?和t?j?，區(qū)間過程Q?I(t?)對應的區(qū)間變量Q?I(t?1)和Q?I(t?2)之間的協(xié)方差為

(15)

如圖5所示，θ?是相關角(-45°≤θ?≤45°)，也就是由兩區(qū)間變量Q?I(t?1)和Q?I(t?2)形成的橢圓不確定域的半軸與水平軸之間的夾角，r?1和r?2分別表示橢圓兩個半軸長，而橢圓是指包裹兩個區(qū)間變量樣本的最小面積橢圓[14]，有

C?Q?IQ?I(t?1,t?2)=C?Q?IQ?I(t?2,t?1)

特別地，當t?=t?1=t?2時，有

C?Q?IQ?I(t?1,t?1)=C?Q?IQ?I(t?2,t?2)=C?Q?IQ?I(t?,t?)=D?Q?I(t?)

(16)

圖5 區(qū)間過程兩時刻間的協(xié)方差Fig.5 Covariance between two points oftime in interval process

(5)在時刻t?=t?j?，Q?(t?j?)∈Q?L(t?j?),Q?U(t?j?)，j?=1，2,…,n?，其聯(lián)合不確定域Ω?可以表示為一個n?維超橢球域：

(17)

其中，Qm為n?維激勵的區(qū)間中點向量；CQ?IQ?I為激勵Q?I(t?)的自協(xié)方差矩陣。從實驗樣本得到自協(xié)方差矩陣的具體步驟參考文獻[14]。

2.2 動態(tài)響應的邊界求解

當用區(qū)間過程描述混凝土流量的動態(tài)不確定性時，臂架結構的動態(tài)響應也為一區(qū)間過程(圖 6)。下面根據(jù)非隨機振動分析方法分別計算臂架系統(tǒng)動態(tài)響應的中值函數(shù)和半徑函數(shù)，從而求解結構動態(tài)響應的上下邊界。

2.2.1響應中值函數(shù)

根據(jù)1.2節(jié)卷積離散方法，將式(11)中的激勵Q?(t?j?)用區(qū)間變量Q?I(t?j?)替代，于是在t?n?時刻，所測節(jié)點處總響應w?I(t?n?)為

(18)

令：

α?j?=Δτh?n?-j?j?=1,2,3,…

(19)

則所測節(jié)點處總響應w?I(t?n?)的表達式可以寫成：

(20)

根據(jù)區(qū)間變量的中值運算性質，可以得到所測節(jié)點處總響應的區(qū)間中值函數(shù)w?m(t?n?)為

(21)

2.2.2響應半徑函數(shù)

令：

(22)

(a)不確定激勵的上下邊界

(b)臂架系統(tǒng)有限元模型

(c)不確定響應的上下邊界圖6 基于區(qū)間過程的不確定性傳播示意圖Fig.6 Diagram of uncertainty propagationbased on interval process

(23)

則式(20)又可以寫成：

d=αQ

(24)

Q?i?∈Q?L(t?i?),Q?U(t?i?)i?=1,2,…,n?

Q=α-1d

(25)

其中，α-1是α的廣義逆矩陣。將式(25)代入式(17)，得d所屬的橢球不確定域Ω?d?為

Ω?d?=d(d-dm)T(αCQ?IQ?IαT)-1(d-dm)≤1

(26)

由橢球特征矩陣與區(qū)間變量自協(xié)方差的關系(式(17))可知，dI的自協(xié)方差矩陣為

Cd?Id?I=αCQ?IQ?IαT

(27)

則所測節(jié)點處的總響應在時刻t?=t?n?的方差為

D?d?Id?I(t?n?,t?n?)=C?d?Id?I(t?n?,t?n?)=

[α?1…?α?m?α?m?+1…?α?n?]CQ?IQ?I[α?1…?α?m?α?m?+1…?α?n?]T

(28)

根據(jù)式(14)半徑函數(shù)和方差函數(shù)之間的關系，可得測點處總響應的區(qū)間半徑函數(shù)為

(29)

根據(jù)式(12)、式(13)，所測節(jié)點在時刻t?=t?n?總響應的上下邊界表達式分別為

(30)

(31)

t?=n?Δτ?

通過式(30)、式(31)可以得到系統(tǒng)任意位置處的動態(tài)響應(包括振動位移、速度、加速度和動應力等)區(qū)間?，F(xiàn)在將大型柔性多體系統(tǒng)不確定動態(tài)響應邊界的通用求解流程總結如下。

(1)構建機械臂架有限元仿真分析模型。

(2)由流量Q?(t?)的單位脈沖激勵計算各節(jié)臂架所受外載荷F?i?(t?),i?=1,2,3,4。

(3)施加動態(tài)載荷并計算得到臂架結構待分析位置的單位脈沖響應h?(t?)。

(4)根據(jù)激勵樣本數(shù)據(jù)獲得激勵的邊界特征參數(shù)及協(xié)方差矩陣CQ?IQ?I。

(5)由單位脈沖響應信息及激勵協(xié)方差矩陣計算響應的協(xié)方差矩陣，最終獲得結構動態(tài)響應上下邊界函數(shù)d?U(t?)和d?L(t?)。

3 工程算例分析

為驗證本文中非隨機振動分析方法的可行性和有效性，運用該方法對某混凝土泵車臂架系統(tǒng)做具體計算和分析。

3.1 臂架有限元模型的建立和計算

首先根據(jù)混凝土泵車的實車尺寸在Pro/E軟件中建立三維實體模型，導入HyperMesh軟件中進行網(wǎng)格劃分，最后導入有限元軟件ABAQUS中進行分析求解。

對臂架結構有限元模型劃分網(wǎng)格(圖1)，其中包含217 525個殼單元，用以模擬臂架主體結構；包含1 380個梁單元，用以模擬輸送管、撐桿系統(tǒng)和油缸。在臂節(jié)間有三角架鉸支結構支撐和固定相鄰臂架。臂架系統(tǒng)的根部與泵車底盤固定，末端為自由端，臂架材料為960高強鋼。共5節(jié)臂，每節(jié)臂中施加載荷的節(jié)點數(shù)見表1。針對本項目試驗中所使用的模擬混凝土，經(jīng)測試塌落度ε?為24.5 cm。為兼顧計算效率和精度，計算前30階模態(tài)，時間步長設置為0.05 s，系統(tǒng)各階阻尼比系數(shù)均設置為0.016 1。

表1 有限元模型中施加載荷的節(jié)點數(shù)

根據(jù)混凝土泵車實際工作時的典型姿態(tài)，選擇其中一種姿態(tài)作為本研究的對象，在ABAQUS軟件中建立三維模型(圖1)。選定臂架澆注口處的單元為研究對象，計算單位流量脈沖流經(jīng)管道時，所選節(jié)點處3個方向的位移響應U?1、U?2和U?3，如圖7所示。

圖7 單位流量脈沖響應Fig.7 Unit impulse response of the flow

3.2 臂架末端動態(tài)位移分析

對在正常情況下開展工作的泵送主油缸的泵送壓力與流量進行測試，記錄泵送主油缸的泵送混凝土流速隨時間變化的樣本曲線，并根據(jù)式(5)得到泵送主油缸泵送混凝土的流量隨時間變化的樣本曲線，如圖8所示。經(jīng)過對流量樣本數(shù)據(jù)的分析整理，可以發(fā)現(xiàn)流量具有平穩(wěn)性，本文將流量Q?(t?)處理為平穩(wěn)區(qū)間過程，其上下邊界分別為Q?U(t?)=6.5×10-3L/min和Q?L(t?)=5×10-4L/min。運用2.1節(jié)區(qū)間過程自協(xié)方差矩陣的求解方法，可以得到流量在時域的自協(xié)方差矩陣CQ?IQ?I，將其代入式(29)，結合測點的單位流量脈沖響應，得到總響應的區(qū)間半徑函數(shù)d?r(t?)，結果如圖9所示，將區(qū)間半徑函數(shù)分別代入式(30)、式由圖10可以看出，當把不確定性流量用區(qū)間過程描述時，借助數(shù)值仿真計算出系統(tǒng)的流量單位脈沖響應，可以得到臂架系統(tǒng)特定位置處的動態(tài)位移響應的上下邊界。動態(tài)位移響應中值的波動幅度隨時間迅速衰減，最終趨于常值-0.3 m；而區(qū)間的上下邊界整體較為平穩(wěn)，但也呈現(xiàn)出明顯的周期振蕩特征，這主要是由流量在時域上的周期性決定的。根據(jù)結果可知，在整個時域，當混凝土泵車在各種不確定性工況和載荷下，其澆注口處振動位移幅值將會處于區(qū)間[-1.2,0.5] m內。顯然，該振動響應是不確定的，而在工程中若把此類問題處理成確定性問題，根據(jù)所得到的確定性結果進行結構設計將導致設計方案無法容許實際參數(shù)因誤差、環(huán)境擾動等因素造成的波動，最終可能引起結構或裝備的澆注質量無法保證、可靠性差等問題。

圖8 泵送主油缸泵送的流量樣本數(shù)據(jù)Fig.8 Samples of the flow of the master cylinder

(31)，得到測點豎直方向位移U?2的動態(tài)響應邊界，如圖10所示。

圖9 豎直方向振動位移響應區(qū)間半徑函數(shù)Fig.9 Interval radius function of the vibrationdisplacement in vertical direction

圖10 豎直方向振動位移響應中值及上下邊界Fig.10 The middle value and boundaries of thevibration displacement in vertical direction

4 結論

針對工程機械裝備服役工況復雜多變、動態(tài)不確定性強且數(shù)據(jù)測試困難等特點，本文建立了一種可應用于多體臂架結構的非隨機振動分析方法，以邊界的形式刻畫結構響應的不確定性，在一定程度上避免了不確定性激勵概率模型構建的復雜性。該方法被應用于某型混凝土泵車臂架的振動不確定性分析，以區(qū)間過程模型度量泵車臂架混凝土輸送流量的動態(tài)不確定性，基于非隨機振動分析方法獲得了泵車臂架末端澆注點的動態(tài)位移響應邊界。在整個計算過程中，僅要求進行一次有限元計算，獲得泵車臂架結構的單位脈沖響應，即可對動態(tài)不確定混凝土輸送流量下的泵車澆注精度進行不確定性分析。從計算結果可以發(fā)現(xiàn)：

(1)混凝土泵車在正常工作情況下輸送的混凝土流量出現(xiàn)一定的不確定性時，泵車末端的澆筑點將可能產生近1.7 m的偏移。由此可見，混凝土流量的動態(tài)不確定性將對混凝土泵車的澆注精度帶來較大影響。為提高澆注精度，要求混凝土泵車在作業(yè)過程中盡可能保證混凝土輸送的穩(wěn)定性。

(2)在混凝土泵車臂架的前期結構設計階段，預先考慮載荷的不確定性并且預估其可能的最壞結果，在結構設計中充分考慮流量載荷及結構參數(shù)的不確定性并開展混凝土泵車臂架系統(tǒng)的不確定性優(yōu)化設計，可在澆注精度滿足要求的前提下為泵車臂架結構的設計提供有益指導。