基于機(jī)器學(xué)習(xí)與空間映射的濾波器優(yōu)化方法*

胡 聰，趙建平，張仕順，楊 君，徐 娟

（曲阜師范大學(xué)，山東 曲阜 273165）

0 引 言

微波濾波器是通信系統(tǒng)必不可少的組成部分。隨著無(wú)線通信與微波技術(shù)的發(fā)展，系統(tǒng)對(duì)微波濾波器的設(shè)計(jì)要求越來(lái)越高。為了滿足不同的需求，需要不斷優(yōu)化濾波器。使用傳統(tǒng)的空間映射方法[1］優(yōu)化設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，為了尋找粗模型和細(xì)模型之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，需要進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，耗費(fèi)大量的時(shí)間，影響濾波器的優(yōu)化效率。因此，尋找一種省時(shí)高效的優(yōu)化方法顯得十分重要。

鑒于此，本文提出采用機(jī)器學(xué)習(xí)的方法來(lái)得到粗模型和細(xì)模型之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使用機(jī)器學(xué)習(xí)代替?zhèn)鹘y(tǒng)空間映射方法的參數(shù)提取過(guò)程，以大大減小優(yōu)化濾波器的計(jì)算復(fù)雜性和優(yōu)化過(guò)程所耗費(fèi)的時(shí)間，提高優(yōu)化的效率。

1 基于機(jī)器學(xué)習(xí)的空間映射

1.1 空間映射方法

原始的空間映射方法由John W.Bander等人在1994年首次提出，是一種集電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法的精確性和電路理論計(jì)算方法的快速性優(yōu)點(diǎn)于一身的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

原始空間映射方法假定兩模型設(shè)計(jì)參數(shù)之間是線性映射關(guān)系，但在實(shí)際工程中多是非線性問(wèn)題，導(dǎo)致該方法應(yīng)用范圍具有局限性。后來(lái)，經(jīng)過(guò)發(fā)展又相繼提出了主動(dòng)空間映射方法、置信域主動(dòng)空間映射方法和隱式空間映射方法等[2］。

在空間映射方法中，一個(gè)微波結(jié)構(gòu)被用兩種模型表示[3］：一種是仿真快速、高效，但是仿真結(jié)果不精確的粗模型；一種是仿真精度高，但是耗時(shí)長(zhǎng)的細(xì)模型。空間映射方法的思想[4］是假定上述兩個(gè)模型設(shè)計(jì)參數(shù)之間存在映射關(guān)系，通過(guò)構(gòu)建它們之間的映射關(guān)系，把繁瑣冗雜的優(yōu)化工作交給仿真快速高效的粗模型來(lái)完成，而細(xì)模型只用來(lái)驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果是否滿足要求。

空間映射方法的優(yōu)化問(wèn)題定義為[5］：

其中，R∈ ?m×1是模型的m個(gè)響應(yīng)點(diǎn)組成的f響應(yīng)矢量，m代表響應(yīng)時(shí)的頻率點(diǎn)；= ?n×1代表由n個(gè)參數(shù)組成的參數(shù)矢量；U是合適的目標(biāo)函數(shù)；是精確空間參數(shù)的待定優(yōu)化值，選取唯一。

設(shè)xc和xf分別是粗模型和細(xì)模型的設(shè)計(jì)參數(shù)，Rc和Rf分別是粗模型和細(xì)模型的響應(yīng)，如果能夠找到聯(lián)系細(xì)模型和粗模型設(shè)計(jì)參數(shù)的一個(gè)映射P：

使得：

即在細(xì)模型中xf參數(shù)下的響應(yīng)與在粗模型中P(xc)參數(shù)下的響應(yīng)一致。

這樣就可以通過(guò)優(yōu)化粗模型得到其優(yōu)化值，然后對(duì)進(jìn)行映射得到：

王建磐教授師從中國(guó)著名數(shù)學(xué)家曹錫華教授，于1982年在華東師范大學(xué)獲理學(xué)博士學(xué)位，是新中國(guó)首批自己培養(yǎng)的18名博士之一，是中國(guó)最早涉獵代數(shù)群與量子群領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家之一，是代數(shù)群表示的國(guó)內(nèi)領(lǐng)軍人物．作為數(shù)學(xué)家，除了做數(shù)學(xué)研究和培養(yǎng)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的博士生之外，他十分關(guān)注數(shù)學(xué)教育學(xué)科的建設(shè)與發(fā)展，積極推動(dòng)中國(guó)數(shù)學(xué)教育研究國(guó)際化．從1999年起，在王建磐和顧泠沅的呼吁和積極組織下，建立了中國(guó)第一批數(shù)學(xué)教育博士培養(yǎng)點(diǎn)，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)教育方面的博士．王建磐教授曾任華東師范大學(xué)校長(zhǎng)，是中國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和教育家．

即可作為細(xì)模型優(yōu)化值的近似，從而避免直接對(duì)細(xì)模型進(jìn)行優(yōu)化。

1.2 機(jī)器學(xué)習(xí)

在空間映射方法中，最關(guān)鍵的部分是粗模型和細(xì)模型之間映射關(guān)系的確定。本文采用機(jī)器學(xué)習(xí)來(lái)構(gòu)建其映射關(guān)系。機(jī)器學(xué)習(xí)的方法眾多[6］，本文采用多分類支持向量機(jī)方法[7］。

支持向量機(jī)[8］于1963年被提出，在20世紀(jì)90年代后得到快速發(fā)展，并衍生出一系列改進(jìn)和擴(kuò)展算法，包括多分類SVM、最小二乘SVM（Least-Square SVM，LS-SVM）、支持向量回歸（Support Vector Regression，SVR）、支持向量聚類（Support Vector Clustering）和半監(jiān)督SVM（Semi-Supervised SVM，S3VM）等。

SVM的優(yōu)化問(wèn)題同時(shí)考慮了經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)和結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化，因此具有穩(wěn)定性。在進(jìn)行決策時(shí)，支持向量機(jī)決策邊界僅由支持向量決定，其余的樣本點(diǎn)不參與經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化，因此具有稀疏性。在使用核方法的非線性學(xué)習(xí)中，支持向量機(jī)的穩(wěn)健性和稀疏性在確保可靠求解結(jié)果的同時(shí)降低了核矩陣的計(jì)算量和內(nèi)存開銷，并使其具有良好的泛化能力。

需要說(shuō)明的是，在進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)的過(guò)程中，最重要的環(huán)節(jié)是選取樣本。樣本選取的好壞直接影響機(jī)器學(xué)習(xí)的結(jié)果。在本文提出的方法中，首先需要給出少量的樣本（至少2組對(duì)應(yīng)關(guān)系），然后通過(guò)不斷的機(jī)器學(xué)習(xí)過(guò)程自動(dòng)添加樣本。這種方法一方面增加了樣本數(shù)量，使機(jī)器學(xué)習(xí)的結(jié)果更精確；另一方面使機(jī)器學(xué)習(xí)的樣本更趨近于優(yōu)化指標(biāo)。

1.3 基于機(jī)器學(xué)習(xí)的空間映射優(yōu)化流程

（1）給出濾波器性能指標(biāo)；

（2）優(yōu)化粗模型，找出其最佳設(shè)計(jì)參量；

（3）給出n個(gè)細(xì)模型參數(shù)xf(1)、xf(2)…xf(n)，優(yōu)化粗模型，使粗模型響應(yīng)逼近細(xì)模型響應(yīng)，分別得到粗模型中參數(shù)xc(1)、xc(2)…xc(n)；

（4） 將 參 數(shù)xf(1)、xf(2)…xf(n)和xc(1)、xc(2)…xc(n)作為n組對(duì)應(yīng)關(guān)系的樣本添加到支持向量機(jī)的機(jī)器學(xué)習(xí)程序中，把最佳設(shè)計(jì)參量作為目標(biāo)進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)，得到細(xì)模型的參數(shù)；

（5）初始化i=1；

（6）把代入細(xì)模型中進(jìn)行驗(yàn)證，看優(yōu)化結(jié)果是否滿足設(shè)計(jì)要求，若滿足，則結(jié)束優(yōu)化；若不滿足，則優(yōu)化粗模型，使粗模型響應(yīng)逼近細(xì)模型響應(yīng)，得到粗模型中的參數(shù)；

（7）把和作為一組樣本添加到支持向量機(jī)的機(jī)器學(xué)習(xí)程序中，把最佳設(shè)計(jì)參量作為目標(biāo)進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)，令i=i+1得到細(xì)模型的參數(shù)，轉(zhuǎn)到步驟（6），直到滿足優(yōu)化指標(biāo)要求。

2 帶通濾波器優(yōu)化實(shí)例

濾波器優(yōu)化指標(biāo)：

本文要優(yōu)化的濾波器結(jié)構(gòu)示意圖和俯視圖如圖1所示。該濾波器的性能主要與諧振腔微帶線寬度w和諧振腔開口間距大小g有關(guān)。由于濾波器結(jié)構(gòu)對(duì)稱，因此選取細(xì)模型的設(shè)計(jì)參數(shù)為諧振腔微帶線寬度w和諧振腔開口間距大小g，即xf=[wg］。

圖1 濾波器結(jié)構(gòu)

在ADS軟件中建立濾波器的粗模型（等效電路），如圖2所示。

圖2 濾波器等效電路

選取粗模型的設(shè)計(jì)參量（電感單位nH，電容單位pF）為：

優(yōu)化粗模型，使其響應(yīng)滿足上述濾波器優(yōu)化指標(biāo)，找出其最佳設(shè)計(jì)參量為：

樣本1的細(xì)模型設(shè)計(jì)參量為w=0.11，g=1.9，即xf(1)=[0.11 1.9］時(shí)，細(xì)模型響應(yīng)如圖3（a）所示。優(yōu)化粗模型，使粗模型響應(yīng)逼近細(xì)模型響應(yīng)，得到粗模型的設(shè)計(jì)參數(shù)為：

樣本2的細(xì)模型設(shè)計(jì)參量為w=0.17，g=2.1，即xf(2)=[0.17 2.1］時(shí)，細(xì)模型響應(yīng)如圖3（b）所示。優(yōu)化粗模型，使粗模型響應(yīng)逼近細(xì)模型響應(yīng)，得到粗模型的設(shè)計(jì)參數(shù)為：

圖3 樣本細(xì)模型響應(yīng)

由樣本的細(xì)模型響應(yīng)可見(jiàn)，均不符合優(yōu)化指標(biāo)。將xf(1)、xc(1)和xf(2)、xc(2)作為兩組對(duì)應(yīng)關(guān)系的樣本輸入到支持向量機(jī)算法的Matlab程序中，以為目標(biāo)進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)。在本例中第一次機(jī)器學(xué)習(xí)的輸出預(yù)測(cè)參量為=[0.14 2］，代入細(xì)模型中得到細(xì)模型的響應(yīng)結(jié)果如圖4所示。

圖4 第一次機(jī)器學(xué)習(xí)細(xì)模型響應(yīng)

可見(jiàn)，不符合優(yōu)化指標(biāo)。優(yōu)化粗模型，使粗模型響應(yīng)逼近細(xì)模型響應(yīng)，得到粗模型的設(shè)計(jì)參數(shù)為：

將、作為第三組對(duì)應(yīng)關(guān)系的樣本添加到支持向量機(jī)算法的Matlab程序中，以為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行第二次機(jī)器學(xué)習(xí)，輸出預(yù)測(cè)參量為：

代入細(xì)模型，重復(fù)上述步驟。

應(yīng)用基于機(jī)器學(xué)習(xí)的空間映射方法，優(yōu)化過(guò)程共進(jìn)行69次機(jī)器學(xué)習(xí)，圖5給出了方法第68次、第69次機(jī)器學(xué)習(xí)產(chǎn)生的細(xì)模型預(yù)測(cè)參量的細(xì)模型響應(yīng)?？梢园l(fā)現(xiàn)，細(xì)模型響應(yīng)已經(jīng)滿足了優(yōu)化指標(biāo)，說(shuō)明利用該方法對(duì)濾波器進(jìn)行優(yōu)化是可行的。

圖5 濾波器細(xì)模型響應(yīng)結(jié)果

對(duì)于上述濾波器的優(yōu)化，如采用傳統(tǒng)的空間映射方法進(jìn)行一次參數(shù)提取，過(guò)程將耗時(shí)1.5 min。而如果采用機(jī)器學(xué)習(xí)的方法代替該過(guò)程，只需0.05 s就可完成，明顯減少了參數(shù)提取過(guò)程的耗時(shí)。但是，利用本文方法對(duì)濾波器進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，機(jī)器學(xué)習(xí)的次數(shù)會(huì)有所增加，這一問(wèn)題還需下一步研究解決。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一種用于優(yōu)化濾波器的基于機(jī)器學(xué)習(xí)的空間映射方法，利用機(jī)器學(xué)習(xí)方法代替?zhèn)鹘y(tǒng)空間映射方法的參數(shù)提取過(guò)程，大大節(jié)省了該過(guò)程所需要的時(shí)間，且通過(guò)實(shí)例成功地對(duì)一帶通濾波器進(jìn)行了優(yōu)化，結(jié)果說(shuō)明該方法具有可行性。