對(duì)比分析法在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)與剛體力學(xué)中的應(yīng)用研究

許梁 劉玲

摘 要：在高校大學(xué)物理與理論力學(xué)教學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)力學(xué)與剛體力學(xué)是力學(xué)的重要內(nèi)容，二者分別遵循牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定理。相較而言，質(zhì)點(diǎn)力學(xué)易于接受和掌握，而剛體力學(xué)則存在一定的難度。通過(guò)對(duì)比分析方法，在理解質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的基礎(chǔ)上，分析剛體與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)之間的關(guān)系，能夠幫助同學(xué)們更好地理解剛體力學(xué)相關(guān)知識(shí)，從而將質(zhì)點(diǎn)力學(xué)與剛體力學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。關(guān)鍵詞：對(duì)比分析法；質(zhì)點(diǎn)力學(xué)；剛體力學(xué)；動(dòng)力學(xué)規(guī)律DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.09.185

質(zhì)點(diǎn)力學(xué)與剛體力學(xué)是力學(xué)現(xiàn)象中的基本模型，是大學(xué)物理和理論力學(xué)的主要內(nèi)容之一。中學(xué)階段主要涉及質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)相關(guān)內(nèi)容，而高校質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)主要是在中學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上增加了矢量、運(yùn)動(dòng)多維性、瞬態(tài)性和微積分的應(yīng)用[1]，因此，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)相對(duì)容易一些。但在涉及剛體動(dòng)力學(xué)概念、定義及定律時(shí)，由于是全新的知識(shí)，大家往往會(huì)理解起來(lái)比較困難。鑒于此種情況，本文深入研究質(zhì)點(diǎn)力學(xué)與剛體力學(xué)模型的主要內(nèi)容，并以定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題為例，通過(guò)對(duì)比分析法對(duì)比分析兩個(gè)力學(xué)模型的關(guān)系，以便于幫助大家理解剛體力學(xué)知識(shí)。1 對(duì)比分析法概述1.1 對(duì)比分析法涵義

顧名思義，所謂對(duì)比分析法是指將兩個(gè)具有相似或?qū)傩韵嗤氖挛镞M(jìn)行對(duì)比分析，根據(jù)一個(gè)事物所具有的屬性推導(dǎo)出另一事物可能存在同等屬性的分析方法。這種方法是幫助人們探索未知世界的重要手段。在知識(shí)學(xué)習(xí)與研究中應(yīng)用該方法，能夠有效降低新知識(shí)、新理論的學(xué)習(xí)難度，從而提高學(xué)習(xí)和研究效率。物理學(xué)知識(shí)較為復(fù)雜和抽象，尤其是力學(xué)相關(guān)理論較為繁雜，在力學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中應(yīng)用對(duì)比分析方法，有助于大家加深對(duì)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象、力學(xué)定理、定律的理解。1.2 對(duì)比分析法在學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

在力學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師時(shí)常會(huì)用到對(duì)比分析方法，以便于大家更好地銜接新舊知識(shí)，將已經(jīng)學(xué)習(xí)、掌握的知識(shí)和新知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，將高度抽象的知識(shí)立體化、層次化，以直觀、形象的形式幫助大家更好地理解其中的差異和共同點(diǎn)，提高大家學(xué)習(xí)效率與質(zhì)量，可見(jiàn)，該方法具有良好的實(shí)踐價(jià)值。在力學(xué)學(xué)習(xí)中，大家可以主動(dòng)運(yùn)用對(duì)比分析法，通過(guò)假設(shè)、推理、分析和論證的步驟，掌握學(xué)習(xí)力學(xué)的方法，從而優(yōu)化力學(xué)課程學(xué)習(xí)效果，加深對(duì)力學(xué)現(xiàn)象和相關(guān)定律、定理的理解。2 質(zhì)點(diǎn)力學(xué)與剛體力學(xué)模型主要研究?jī)?nèi)容2.1 質(zhì)點(diǎn)力學(xué)概念及主要內(nèi)容

質(zhì)點(diǎn)力學(xué)將物體簡(jiǎn)化為只有質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計(jì)的物體[2]。。物體能否被看成質(zhì)點(diǎn)，不是取決于物體的質(zhì)量，而是根據(jù)研究問(wèn)題的性質(zhì)確定的。與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)相關(guān)的，用以表述質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的物理量主要有位置矢量、位移、速度、加速度、動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能和勢(shì)能等，相應(yīng)的力學(xué)規(guī)律包括牛頓三定律、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理等。2.2 剛體力學(xué)概念及主要內(nèi)容

剛體力學(xué)是假設(shè)物體受力時(shí)，其內(nèi)部任意兩點(diǎn)之間的相對(duì)位置始終保持不變的理性化模型。同樣，該物體能否被稱之為剛體，取決于所研究問(wèn)題的性質(zhì)[3]。

可用于表述剛體力學(xué)關(guān)系的物理量除了質(zhì)量力學(xué)所描述的物理量之外，還包括轉(zhuǎn)角、角速度、角加速度、動(dòng)量矩等。與剛體力學(xué)相關(guān)的物理學(xué)規(guī)律主要有質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程、剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程和動(dòng)能定理等[4]。

剛體力學(xué)模型主要用來(lái)研究物體復(fù)雜力學(xué)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，根據(jù)剛體力學(xué)模型，可將物體運(yùn)動(dòng)視為物體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與物體繞質(zhì)心軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的集合，其中，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)可以用質(zhì)點(diǎn)力學(xué)進(jìn)行表述。本文重點(diǎn)討論質(zhì)點(diǎn)力學(xué)與剛體力學(xué)在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題上的相關(guān)問(wèn)題。3 質(zhì)點(diǎn)力學(xué)與剛體力學(xué)模型對(duì)比

通過(guò)對(duì)質(zhì)點(diǎn)與剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程研究，在動(dòng)因?yàn)镕（力矩為M）、質(zhì)量為m的情況下，質(zhì)點(diǎn)一維直線運(yùn)動(dòng)、三維運(yùn)動(dòng)與剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量可表示為：

質(zhì)點(diǎn)一維直線運(yùn)動(dòng)：；

質(zhì)點(diǎn)三維運(yùn)動(dòng)：；

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：。

位移現(xiàn)象可表示為：

質(zhì)點(diǎn)一維直線運(yùn)動(dòng)：；

質(zhì)點(diǎn)三維運(yùn)動(dòng)：；

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：。

速度和加速度可表示為：

質(zhì)點(diǎn)一維直線運(yùn)動(dòng)速度大?。?/p>

加速度大小：；

質(zhì)點(diǎn)三維運(yùn)動(dòng)速度：

加速度：；

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度大?。?/p>

角加速度大小：

結(jié)合動(dòng)量定量、動(dòng)量矩定量和動(dòng)能定理，不難發(fā)現(xiàn)，雖然兩個(gè)力學(xué)模型遵循不同的動(dòng)力學(xué)規(guī)律，且相互獨(dú)立，但實(shí)際存在內(nèi)在聯(lián)系。首先，剛體模型將剛體視為若干微小部分，并將每個(gè)微小部分視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以此將剛體物體模型視為由無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系[5]，在此基礎(chǔ)上，剛體運(yùn)動(dòng)中任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置保持不變，因此，可將質(zhì)點(diǎn)力學(xué)作為研究剛體力學(xué)模型的基礎(chǔ)，并將其視為局部與整體的關(guān)系，可將剛體視為特殊的質(zhì)點(diǎn)系。其次，在對(duì)力學(xué)規(guī)律進(jìn)行分析時(shí)發(fā)現(xiàn)，雖然質(zhì)點(diǎn)力學(xué)與剛體力學(xué)描述的力學(xué)現(xiàn)象不同，但二者數(shù)學(xué)方程形式大致相同。以牛頓第二定律表示質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)關(guān)系如下：

式中：為動(dòng)量；

為動(dòng)量發(fā)生變化的原因，即外力作用；

m為物體質(zhì)量；

為物體運(yùn)動(dòng)加速度。

根據(jù)上式可知，質(zhì)量相同的物體所受到的外力作用越大，其動(dòng)量變化率和加速度也就越大。當(dāng)受力相同時(shí)，物體質(zhì)量越大，其動(dòng)量變化率和加速度越小，也就解釋了質(zhì)量越大的物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越難以發(fā)生變化[6]。

又如，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系以剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程進(jìn)行表述，即：

式中：是剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩；

M是轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生原因，即力矩作用；

為角加速度；

為對(duì)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

根據(jù)上式可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相同的物體，其所受到的力矩越大，其動(dòng)量矩變化和角加速度越大；當(dāng)受力矩相同的物體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大時(shí)，動(dòng)量矩變化率和角加速度越小，也就是說(shuō)，當(dāng)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)越難以發(fā)生變化。

因此，質(zhì)點(diǎn)和剛體力學(xué)狀態(tài)會(huì)發(fā)生變化，都是在外力的作用下發(fā)生的，當(dāng)物體質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相同時(shí)，外力因素越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化越大；當(dāng)物體質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大時(shí)，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越難以發(fā)生變化[7]。

綜上所述，質(zhì)點(diǎn)力學(xué)與剛體力學(xué)的模型存在內(nèi)在聯(lián)系，除物理學(xué)符號(hào)表示意義不同外，二者方程式表述形式基本一致，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相對(duì)應(yīng)，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的量度，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量越大，其慣性也就越大；同理，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性自然也就越大；質(zhì)點(diǎn)與剛體所受合外力因素，即質(zhì)點(diǎn)所受外力與剛體所受外力矩存在對(duì)應(yīng)關(guān)系[8]。在質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中，最重要的依據(jù)是牛頓第二定律，而剛體力學(xué)中的轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)依據(jù)的是繞定軸的動(dòng)量矩定理，兩個(gè)公式之間的關(guān)系是合外力對(duì)應(yīng)力矩，質(zhì)量對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加速度對(duì)應(yīng)角加速度，以此可推導(dǎo)出適用于質(zhì)點(diǎn)與剛體力學(xué)的動(dòng)力學(xué)方程為：

式中，為慣性量，代表質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

為速度量，代表速度或角速度；

A為加速度量，代表加速度或角加速度；

R為外因量，代表合外力或力矩。4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)分析質(zhì)點(diǎn)與剛體力學(xué)模型的關(guān)系，使用對(duì)比分析法研究?jī)蓚€(gè)力學(xué)模型的計(jì)算方程，從而發(fā)現(xiàn)兩個(gè)力學(xué)模型的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而建立起適用于質(zhì)點(diǎn)力學(xué)和剛體力學(xué)模型的統(tǒng)一表述，有助于深入了解剛體力學(xué)模型相關(guān)概念，以期為大家進(jìn)行剛體力學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)和研究提供參考。參考文獻(xiàn)：[1]于洪杰.剛體角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)定律的教學(xué)討論[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018，34（01）：152-153.[2] 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)（第8版）[M].高等教育出版社，2016：247.[3]王成會(huì)，陳時(shí)，莫潤(rùn)陽(yáng)，邊小兵.剛體與質(zhì)點(diǎn)碰撞實(shí)例分析[J].大學(xué)物理，2015，34（10）：35-38.[4]王小蘭，李春密，尹建武.巧用類比教學(xué)法實(shí)現(xiàn)剛體力學(xué)的有效教學(xué)[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2014，27（01）：101-104.[5]吳彥斌.類比方法在剛體動(dòng)力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].河南科技，2014（01）：271-272.[6]陳柯.質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)比學(xué)習(xí)[J].高師理科學(xué)刊，2013，33（04）：80-83.[7]何廣平.從一道習(xí)題看剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)概念的運(yùn)用[J].物理通報(bào)，2013（01）：12-16.[8]魯玉明.應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律分析質(zhì)點(diǎn)和剛體組合的運(yùn)動(dòng)[J].物理通報(bào)，2011（04）：9-10.