數(shù)學游戲玩出智慧

陳憲 謝娜

“奪王游戲”是根據(jù)人教版數(shù)學教材四年級下冊數(shù)學廣角的思考題改編而來，旨在通過游戲，學生探究并發(fā)現(xiàn)奪王游戲的獲勝策略，會運用獲勝策略進行游戲活動和游戲設計；滲透倒推法，感受倒推法在游戲中的價值；培養(yǎng)學生的直覺思維、推理能力及創(chuàng)造力。

教學過程

一、激趣導入，介紹游戲

1.談話導入，說明規(guī)則

師：同學們，老師今天給大家?guī)砹艘粋€有趣的游戲———奪王游戲，大家敢挑戰(zhàn)嗎？我們先來認識一下奪王工具（出示圖1），請仔細觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我看到一共有11顆棋子。最后一顆棋子的顏色不一樣，我猜它就是“王”。

師：大家同意嗎？（生：同意）真厲害。來看游戲規(guī)則（課件出示：11顆棋子排成一行，兩人從第1顆棋子依次開始拿，每人每次最多拿2顆，但不能不拿，誰先拿到最后一顆棋子———“王”，誰就獲勝）。誰看明白了？

生：從第1顆棋子依次開始拿，兩人輪流拿棋子。每人每次最多拿2顆，最少拿1顆。誰先拿到第11顆，誰就獲勝。

師：描述得很準確。既然讀懂了游戲規(guī)則，那我們開始玩游戲吧。

【評析】學生通過觀察學具理解游戲規(guī)則。教師引導學生理解“最少拿1顆，最多拿2顆”，為游戲做好準備。

二、游戲探究，發(fā)現(xiàn)策略

1“.奪11”游戲，發(fā)現(xiàn)策略

課件出示：兩人進行三局游戲，采用三局兩勝制，和同桌交流你的發(fā)現(xiàn)。

學生開始游戲。教師巡視，游戲時間3分鐘。教師請獲勝的同學分享經(jīng)驗。

生1：我每次都贏了，我覺得只要先拿就能獲勝。

生2：我不同意，有一局我后拿，也獲勝了。

生3：我拿雙數(shù)顆，我就贏了。

生4：只要能拿到倒數(shù)第3顆就贏了。

生5：單數(shù)顆就要先拿，雙數(shù)顆就要后拿。

師：你們很善于觀察與思考。誰有信心，能打敗老師？

生6上臺挑戰(zhàn)，雙方約定老師每次所取的棋子畫√標記，生6每次所取的棋子畫圓圈標記。游戲開始，老師取第1、2顆，生6取第3顆。老師取第4、5顆，生6取第6、7顆。老師取第8顆后，講臺下一片嘩然，學生直呼“勝負已定，老師贏了”。

生7：如果生6取1顆，老師你就取2顆；如果他取2顆，你就取1顆。老師總能拿到最后一顆。

生8：是的。對方取1顆，你就取2顆；對方取2顆，你就取1顆。也就是兩人每輪拿的棋子數(shù)之和得是3。這樣的話，無論如何，你總能拿到第11顆。

師：好一個無論如何！同學們，看來奪王游戲的關鍵是要拿到哪顆棋子？（生：第8顆）那現(xiàn)在的問題變成怎樣才能拿到第8顆棋子。請同學們兩兩對決，找到“奪8”的必勝策略。

生9：我發(fā)現(xiàn)拿到第5顆，就一定能拿到第8顆。因為對方拿第6顆，我就拿第7、8顆；對方拿第6、7顆，我就拿第8顆。簡單地說，就是兩人每輪拿的顆數(shù)之和是3。

師：好樣的！現(xiàn)在問題變成怎樣能搶到第5顆棋子。大家動手試試吧！

生10：按照剛才的方法，那就是必須拿到第2顆。

師：是這樣的嗎？怎樣拿到第2顆呢？

生11：必須先拿掉前面2顆，先下手為強。

師：真了不起，這種情況下，咱們要先下手為強?，F(xiàn)在我將這些關鍵的棋子標記出來，11、8、5、2。剛才你們的發(fā)現(xiàn)，能用一個算式表示嗎？

生12：11÷3=3……2，除以3表示3顆為一組，也就是在每一輪中，對方拿1顆，我就拿2顆；對方拿2顆，我就拿1顆。商3表示3輪。

師：這與什么相關？

生13：與“最多拿2顆，最少拿1顆”有關，也就是游戲規(guī)則。

師：看來除數(shù)和游戲規(guī)則存在關聯(lián)。還有要補充的嗎？

生14：余數(shù)2就是我們最開始要拿的棋子數(shù)，它決定了要先拿。

師：同學們，剛才我們從結論出發(fā)，步步倒推，直到找到開始著手的辦法，這個方法叫做“倒推”。（板書，如圖2）看來玩數(shù)學游戲不簡單，我們要善于觀察。如果和你的同桌再玩一次奪王游戲，你有必勝的策略嗎？

生15：一定要先搶2，再3顆為一組，我和對手每輪所拿棋子的總數(shù)保證是3就可以了。

師：剛才我們通過探究，發(fā)現(xiàn)了奪得11的關鍵是拿到第2、5、8顆棋子，而且只要掌握好這個規(guī)律，先拿必定獲勝。

【評析】將“奪11”的游戲分解成“奪8”“奪5”“奪2”，學生充分理解了3顆為一組的必勝策略，也讓倒推法深入人心。學生在這個過程中對奪王游戲的模型特點有了一定的理解，這是奪王游戲解決策略向一般化推進的關鍵環(huán)節(jié)。

2.“奪10”游戲，鞏固策略

師：如果我拿掉1顆棋子，棋子總數(shù)變成10顆，同樣的游戲規(guī)則（課件出示：10顆棋子，兩人從第1顆開始拿，每人每次最少拿1顆，最多拿2顆，誰先拿到最后一顆，誰就獲勝），又存在什么樣的規(guī)律呢？請同桌兩人過過招。（學生開始游戲）你們找到必勝的方法了嗎？

生16：要先拿1顆，然后再拿第4、7顆就能贏。

生17：可以用算式10÷3=3……1表示。余數(shù)1表示先拿1顆。接下來對方拿1顆，我就拿2顆；對方拿2顆，我就拿1顆。保證每輪所拿棋子的總數(shù)為3就能獲勝。

師：我們根據(jù)算式中的余數(shù)找到了必勝的策略。是不是所有的情況都要先拿才能贏呢？

學生的回答不一。

【評析】學生在游戲中加深對奪王游戲必勝策略的理解，體會不同情況下該如何確定游戲策略，也為奪王游戲必勝策略的歸納奠定了基礎。

3.“奪9”游戲，突破變式

師：如果棋子總數(shù)變成9顆，同樣的規(guī)則（課件出示：9顆棋子，兩人從第1顆開始拿，每人每次最少拿1顆，最多拿2顆，誰先拿到最后一顆，誰就獲勝），必勝策略又是怎樣的呢？

生18：9÷3=3，沒有余數(shù)，我們要搶第3、6、9顆棋子。而“搶3”就要讓對方先拿棋，對方拿1顆，我就拿2顆；對方拿2顆，我就拿1顆。

師：接下來怎么保證能拿到第6、9顆棋子？

生19：每一輪拿到的棋子數(shù)是3的倍數(shù)，就可以獲勝。

師：是這樣的嗎？請兩個同學上臺對決，驗證我們得出的必勝策略吧。（生生游戲）同學們，你們的必勝策略奏效了嗎？（生：奏效）現(xiàn)在我們觀察這三個算式，有什么相同和不同之處？

11÷3=3……2

10÷3=3……1

9÷3=3

生（齊）：都是除以3。

師：為什么都要除以3？

生20：游戲規(guī)則里不是說“最少拿1顆，最多拿2顆”嘛，那每一輪兩個人總共就可以拿3顆棋子了。

師：這個3原來是由游戲規(guī)則確定的，如果游戲規(guī)則改為“最少拿2顆，最多拿3顆”，那除數(shù)還會是3嗎？

生（齊）：那肯定就是5了！

師：怎么又變成5了？

生20：2+3不就等于5嘛！

師：如果游戲規(guī)則變成“最少拿3顆，最多拿5顆”呢？

生（齊）：那除數(shù)就是3+5=8。

師：是的，除以幾與游戲規(guī)則有關。那商又是什么意思呢？

生（齊）：商就是指兩人拿棋子的輪數(shù)。

師：我懂了。那三個算式有什么不同呢？

生（齊）：有的有余數(shù)，有的沒有余數(shù)。

師：根據(jù)算式找策略時，要注意什么？

生21：余數(shù)決定了是先拿還是后拿。余數(shù)為1或2時，就要先拿棋。沒有余數(shù)時，就要后拿棋，才能獲勝。（板書：先取、后?。?/p>

師：沒想到游戲背后藏著這樣的規(guī)律呀。把掌聲送給自己。（學生鼓掌）

生22：其實我們萬一不能決定自己是先拿還是后拿也沒有關系。比如，我們想“搶2”，就讓對手先拿，讓他拿1顆，我拿1顆不就可以了嗎？這樣也能拿到第2顆。

師：你是個會學習的孩子，在對方不知道規(guī)律的情況下，我們還是有機會反敗為勝的。

【評析】學生深入思考“奪9”游戲后，脫離實物，實現(xiàn)了從具體的游戲操作到抽象的數(shù)學思維的過渡，領悟到反敗為勝的絕招。

三、拓展延伸，運用策略

師：通過剛才的探究，我們找到了奪王游戲的必勝策略。那老師改變游戲規(guī)則，你們還可以找到必勝策略嗎？（出示游戲規(guī)則：12顆棋子排成一行，兩人從第1顆棋子開始拿，每人每次最多拿3顆，不能不拿，誰先搶到第12顆棋子，誰就獲勝）請大家看看，規(guī)則和之前有什么不同？

生23：每人每次拿棋子的顆數(shù)變化了，這次是最多拿3顆，最少拿1顆。

師：你還有必勝的方法嗎？和你的同桌說說。

生24：我覺得應該要用12÷4=3。

師：為什么除以4，而不是除以3了？

生24：因為拿棋子的規(guī)則發(fā)生了變化。

師：說得對。在短短的幾十分鐘里，我們的游戲幾次升級，通過探究，我們找到了游戲的必勝策略。現(xiàn)在你能說說奪王游戲的輸贏和什么有關嗎？

生25：跟拿棋子的先后順序有關。

生26：跟游戲規(guī)則有關。

師：說得真好。那玩到現(xiàn)在，你有什么體會？

生：……

【評析】學生在變式中進一步鞏固奪王游戲的模型特點，體會倒推法的價值，學數(shù)學、玩數(shù)學的無窮興趣也在不知不覺中被激發(fā)。

四、全課小結

師：同學們課后也可以設計類似的游戲和好朋友或家人玩一玩，說不定你也會有所發(fā)現(xiàn)。下課！

（作者單位：湘潭市岳塘區(qū)火炬學校）