反超低空突防的全程彈道設(shè)計(jì)優(yōu)化研究*

馬新鵬，李旭昌，吳達(dá)，陳 峰

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051)

0 引言

防空導(dǎo)彈在攔截超低空目標(biāo)時(shí)，由于受到地形或者地海雜波的影響，會(huì)受到鏡面反射信號(hào)的影響，從而形成多路徑效應(yīng)問(wèn)題[1-2]，導(dǎo)致雷達(dá)導(dǎo)引頭無(wú)法有效地跟蹤識(shí)別目標(biāo)，嚴(yán)重影響導(dǎo)彈的作戰(zhàn)性能。隨著超低空飛行技術(shù)的快速發(fā)展，研究具有反超低空突防能力的防空導(dǎo)彈就顯得尤為重要。

導(dǎo)彈和鏡像目標(biāo)的連線與水平面的夾角稱為擦地角[3]。研究指出：當(dāng)擦地角達(dá)到某個(gè)角度時(shí)，地海雜波反射系數(shù)最小，此角度稱為布儒斯特角[4-5]。因此，采用垂直極化的雷達(dá)照射信號(hào)，通過(guò)彈道設(shè)計(jì)和導(dǎo)引律優(yōu)化，使導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)過(guò)程中，擦地角接近布魯斯特角，可以減弱地面鏡像干擾的影響，是攔截超低空目標(biāo)可行的技術(shù)途徑。文中就是基于這種思想，設(shè)計(jì)了一種初段(程序轉(zhuǎn)彎)+中段(導(dǎo)引律補(bǔ)償)+末端(比例導(dǎo)引律)的總體彈道方案，進(jìn)行Matlab仿真驗(yàn)證分析，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行彈道優(yōu)化，分析不同參數(shù)對(duì)導(dǎo)彈彈道特性的影響。

1 多路徑效應(yīng)描述與超低空攔截模型

1.1 多路徑效應(yīng)問(wèn)題描述

如圖1所示，F(xiàn)為地海雜波反射點(diǎn)，β為擦地角，目標(biāo)信號(hào)返回路徑為P1，地海雜波反射回的路徑為P2。目標(biāo)超低空飛行時(shí)的地海雜波反射強(qiáng)度大(有時(shí)甚至超過(guò)目標(biāo)本體),因此導(dǎo)引頭可能會(huì)將鏡像目標(biāo)T′當(dāng)作目標(biāo)進(jìn)行攻擊。

地海雜波的反射系數(shù)隨擦地角的變化而變化，當(dāng)擦地角達(dá)到某一個(gè)值時(shí)，反射系數(shù)最小，此反射系數(shù)最小時(shí)對(duì)應(yīng)的擦地角稱為布儒斯特角。在不同的環(huán)境下(草地、海面)，布儒斯特角的大小也不盡不同。以某一恒定環(huán)境為例[6]，其反射系數(shù)隨擦地角的變化規(guī)律如圖2。

圖1 導(dǎo)彈、目標(biāo)及鏡像幾何關(guān)系

圖2 反射系數(shù)與擦地角關(guān)系

1.2 擦地角的近似計(jì)算

從攔截超低空目標(biāo)的需求出發(fā)，要保證中段擦地角約束在布儒斯特角附近。但在實(shí)際飛行中，導(dǎo)彈難以實(shí)時(shí)測(cè)量擦地角的大小，并且從導(dǎo)引律的角度來(lái)看，通過(guò)導(dǎo)彈和目標(biāo)的視線角更易實(shí)現(xiàn)，因此要首先分析彈目視線角與擦地角的差異[7]。

以飛行高度150 m為例，分別計(jì)算不同距離下的擦地角均為10°時(shí)的彈目視線角數(shù)值。

表1 擦地角與視線角的誤差

從表1可以看出，攔截超低空目標(biāo)的飛行彈道，當(dāng)彈目距離較遠(yuǎn)時(shí)，真實(shí)目標(biāo)和鏡像目標(biāo)相對(duì)于導(dǎo)彈的視線角差異較小；接近目標(biāo)時(shí)，兩者之間的差異增大。雖然兩個(gè)角度之間有一定的誤差，但是在導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)過(guò)程中，針對(duì)視線角進(jìn)行修正更容易實(shí)施，因此考慮設(shè)計(jì)中段制導(dǎo)律時(shí)彈目距離較遠(yuǎn)，可針對(duì)視線角或視線角速率進(jìn)行修正，將其約束在布儒斯特角附近，提高導(dǎo)彈制導(dǎo)精度。

1.3 超低空攔截模型

下面進(jìn)行超低空攔截模型的建立。三維空間可為縱向的俯仰平面和橫向的轉(zhuǎn)彎平面，為方便分析只研究縱向的俯仰平面即可，如圖3所示：M代表導(dǎo)彈，vm為導(dǎo)彈的速度，θm為導(dǎo)彈彈道傾角，am為導(dǎo)彈的法向加速度；T代表目標(biāo)，vt為目標(biāo)的速度，θt為目標(biāo)的航跡傾角，at為目標(biāo)的法向加速度；R為導(dǎo)彈到目標(biāo)的距離；q為導(dǎo)彈和目標(biāo)之間的視線角；按照導(dǎo)彈飛行力學(xué)[6]，所有角度沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針為負(fù)。

圖3 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

由圖3可知，彈目間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程[7]為：

(1)

根據(jù)式(1)可得出：

(2)

2 彈道設(shè)計(jì)

導(dǎo)彈在攔截目標(biāo)的過(guò)程中，目標(biāo)緊貼于地面或者水面飛行，導(dǎo)彈可在較高的高度飛行，通過(guò)雷達(dá)導(dǎo)引頭下視跟蹤目標(biāo)。目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)決定了對(duì)于超低空目標(biāo)攔截的彈道形式。

導(dǎo)彈從地面垂直發(fā)射，到達(dá)一定高度后向目標(biāo)來(lái)襲方向轉(zhuǎn)彎，導(dǎo)引頭截獲目標(biāo)后進(jìn)入中制導(dǎo)段，中段飛行時(shí)通過(guò)彈上雷達(dá)導(dǎo)引頭探測(cè)目標(biāo)信息，末段進(jìn)行俯沖攻擊。在轉(zhuǎn)彎后中段飛行的過(guò)程中，需要將視線角控制在布儒斯特角附近。

按照以上的需求，彈道設(shè)計(jì)方案如圖4所示。

圖4 彈道方案

根據(jù)飛行彈道的特點(diǎn)，可將其分為初始轉(zhuǎn)彎段、中制導(dǎo)段和末端攻擊段[8]。

2.1 初始轉(zhuǎn)彎段

對(duì)于攔截超低空目標(biāo)的飛行彈道設(shè)計(jì)而言，初始轉(zhuǎn)彎段采用程序控制，與目標(biāo)無(wú)關(guān)。導(dǎo)彈以預(yù)定的仰角發(fā)射后，到達(dá)一定高度后向來(lái)襲目標(biāo)方面轉(zhuǎn)彎飛行。此過(guò)程中，通過(guò)合理參數(shù)設(shè)置，采用給定彈道傾角的設(shè)計(jì)規(guī)律，為中段的導(dǎo)引飛行提供較好的初始條件。具體分為以下幾個(gè)階段：

1)助推段

導(dǎo)彈發(fā)射后，在助推器的作用下，按照給定的彈道傾角(彈道傾角為常值)加速爬升。記助推器工作時(shí)間為t1，則彈道傾角和加速度變化規(guī)律為：

(3)

2)滑翔段

助推器工作結(jié)束后，導(dǎo)彈保持速度不變，接著向上爬升，上升到一定高度開(kāi)始向目標(biāo)轉(zhuǎn)彎。記開(kāi)始轉(zhuǎn)彎時(shí)間為t2，則彈道傾角和加速度變化規(guī)律為：

(4)

3)轉(zhuǎn)彎段

滑翔段結(jié)束后，導(dǎo)彈開(kāi)始按照預(yù)定程序開(kāi)始轉(zhuǎn)彎，并最終轉(zhuǎn)平。轉(zhuǎn)彎段彈道傾角的變化規(guī)律可按飛行時(shí)間給出。記轉(zhuǎn)彎段結(jié)束時(shí)間為t3，為滿足飛行過(guò)程中彈道傾角和彈道傾角變化率連續(xù)，轉(zhuǎn)彎段彈道傾角變化規(guī)律需滿足以下條件：

2.2 中段制導(dǎo)段

現(xiàn)役導(dǎo)彈大多采用經(jīng)典的比例導(dǎo)引律或修正的比例導(dǎo)引律，而導(dǎo)彈按照比例導(dǎo)引法飛行時(shí)，視線角基本取決于導(dǎo)彈發(fā)射的初始信息，并沒(méi)有布儒斯特角的約束要求，一般無(wú)法滿足布儒斯特角約束。因此，可以在現(xiàn)有比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上，通過(guò)引入補(bǔ)償量，對(duì)比例導(dǎo)引律進(jìn)行修正，使導(dǎo)彈攻擊過(guò)程中視線角滿足布儒斯特角約束。修正后的導(dǎo)引關(guān)系可寫(xiě)為：

(5)

式中x為補(bǔ)償量。

基于上述分析，問(wèn)題即轉(zhuǎn)變?yōu)椋喝绾螛?gòu)造補(bǔ)償量x，在不增加新的反饋信號(hào)的前提下，使其按照改進(jìn)的導(dǎo)引律實(shí)現(xiàn)布儒斯特角約束要求[9]。

圖5 視線角速度變化曲線

由圖5可知，從0時(shí)刻到tf時(shí)刻，視線角速度的變化規(guī)律滿足三次樣條曲線，其多項(xiàng)式表達(dá)式可寫(xiě)為：

(6)

式中：a、b、c、d為待定參數(shù)。根據(jù)視線角速度變化規(guī)律設(shè)計(jì)要求，上式需要滿足的約束條件具體為：

可解得待定參數(shù)a、b、c、d，得到視線角速度變化規(guī)律前半段。因此，滿足布儒斯特角約束要求的視線角變化規(guī)律可表示為：

(7)

下面進(jìn)行中制導(dǎo)律的推導(dǎo)：

根據(jù)導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，在Δt時(shí)間內(nèi)，由補(bǔ)償量所引起的視線角速度變化量可表示為：

(8)

在導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)過(guò)程中，雷達(dá)導(dǎo)引頭和控制系統(tǒng)的工作頻率較高，因此可假定在較短時(shí)間內(nèi)，補(bǔ)償量所引起的導(dǎo)彈彈道傾角變化為小量(即xΔt為小量)，則有：

sin(xΔt)≈xΔt, cos(xΔt)≈1

(9)

則上式可寫(xiě)為：

(10)

(11)

2.3 末端攻擊段

進(jìn)入末端后，導(dǎo)引頭已經(jīng)可以有效區(qū)分目標(biāo)，因此可以解除布儒斯特角的約束要求，從而利用導(dǎo)彈自身的導(dǎo)引律設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的有效攻擊[10]。通常，采用比例導(dǎo)引律為：

(12)

也可根據(jù)型號(hào)設(shè)計(jì)，采用擴(kuò)展比例導(dǎo)引律。

3 彈道仿真

按照上一節(jié)所設(shè)計(jì)的初始轉(zhuǎn)彎段、中段制導(dǎo)段以及末端攻擊段的彈道方案，對(duì)導(dǎo)彈飛行過(guò)程進(jìn)行仿真分析[11]。

設(shè)超低空目標(biāo)貼著地面做勻速直線飛行，初始高度yt=100 m，初始位置為xt=80 km，速度vt=270 m/s，彈道傾角θm=0°；導(dǎo)彈從地面垂直發(fā)射，助推段加速度am1=30g，發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間t1=6 s，轉(zhuǎn)彎段加速度am2=1g，轉(zhuǎn)彎段開(kāi)始時(shí)間t2=8 s，轉(zhuǎn)彎段結(jié)束時(shí)間t3=16 s，結(jié)束時(shí)彈道傾角θm=0°，中段調(diào)整時(shí)間tf=5 s，轉(zhuǎn)入末端距離X1=6 km；布儒斯特角在15°左右。

圖6 導(dǎo)彈/目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡

由圖6可以看出，導(dǎo)彈從地面垂直發(fā)射，經(jīng)過(guò)初段程序轉(zhuǎn)彎，中段制導(dǎo)，再加上末段打擊，最后成功攔截目標(biāo)，而且所設(shè)計(jì)的彈道較為平直，大大增強(qiáng)了導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)性，降低了過(guò)載，提高了制導(dǎo)的精度。由圖7、圖8可以看出，在轉(zhuǎn)彎結(jié)束后，導(dǎo)彈視線角能夠快速向布儒斯特角靠近，并且到達(dá)后能夠保持不變，視線角速率變化也趨于零，滿足制導(dǎo)要求。由圖9可以看出，程序轉(zhuǎn)彎結(jié)束后導(dǎo)彈的彈道傾角為0°，滿足設(shè)定值，并且彈道后期速度傾角也基本保持不變。

圖7 視線角變化圖

圖8 視線角速率變化圖

圖9 彈道傾角變化圖

4 彈道優(yōu)化

從上節(jié)的彈道仿真結(jié)果中可以看出，當(dāng)初段結(jié)束后，導(dǎo)彈采用修正的比例導(dǎo)引法，將視線角轉(zhuǎn)動(dòng)到期望視線角。

但在過(guò)渡段飛行過(guò)程中，導(dǎo)彈法向過(guò)載變化相對(duì)劇烈，若參數(shù)選取不合理，就會(huì)嚴(yán)重影響彈道特性，甚至?xí)霈F(xiàn)導(dǎo)彈飛行彈道無(wú)法滿足布儒斯特角約束，不能按照預(yù)定方案攻擊命中目標(biāo)。因此需對(duì)彈道各段參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。為便于研究，約束條件保持不變，分別改變轉(zhuǎn)彎段開(kāi)始時(shí)間t2，轉(zhuǎn)彎段結(jié)束時(shí)間t3，結(jié)束時(shí)的彈道傾角θm和中段調(diào)整時(shí)間tf，對(duì)比觀察它們對(duì)導(dǎo)彈飛行彈道的影響。

1)轉(zhuǎn)彎段開(kāi)始時(shí)間t2

在此參數(shù)分析中，轉(zhuǎn)彎段結(jié)束時(shí)間均為t3=16 s，結(jié)束時(shí)的彈道傾角均為θm=0°，中段調(diào)整時(shí)間均為tf=5 s，觀察轉(zhuǎn)彎段開(kāi)始時(shí)間t2分別為4 s、6 s、8 s、10 s。

圖10 不同t2下的彈道軌跡圖

圖11 不同t2下的過(guò)載變化圖

由圖10、圖11可以看出，轉(zhuǎn)彎越早，導(dǎo)彈達(dá)到的最大高度越小，中制導(dǎo)段的初始視線角越小，體現(xiàn)在彈道上，助推轉(zhuǎn)彎結(jié)束后，導(dǎo)彈還需要略有爬高，才能調(diào)整到布儒斯特角的約束要求；反之，轉(zhuǎn)彎越晚，中制導(dǎo)段的初始彈目視線角越大，為滿足約束要求，需要將彈道進(jìn)行壓低。如果參數(shù)設(shè)計(jì)合理，則彈道連續(xù)光滑過(guò)度，過(guò)載較小。

2)轉(zhuǎn)彎段結(jié)束時(shí)間t3

在此參數(shù)分析中，轉(zhuǎn)彎段開(kāi)始時(shí)間均為t2=8 s，結(jié)束時(shí)的彈道傾角均為θm=0°，中段調(diào)整時(shí)間均為tf=5 s，觀察轉(zhuǎn)彎段結(jié)束時(shí)間t3分別為15 s、16 s、17 s、18 s。

由圖12、圖13可以看出，轉(zhuǎn)彎時(shí)間對(duì)于彈道也有較為明顯的影響。轉(zhuǎn)彎持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng)，助推段結(jié)束時(shí)刻的高度就越大，進(jìn)入中段需要進(jìn)行彈道壓低，從而造成中段的初始過(guò)載較大。

3) 轉(zhuǎn)彎結(jié)束時(shí)的彈道傾角θm

在此參數(shù)分析中，轉(zhuǎn)彎段開(kāi)始時(shí)間均為t2=8 s，轉(zhuǎn)彎段結(jié)束時(shí)間均為t3=16 s，中段調(diào)整時(shí)間均為tf=5 s，觀察轉(zhuǎn)彎段結(jié)束時(shí)彈道傾角θm分別為4 s、6 s、8 s、10 s。

圖12 不同t3下的彈道軌跡圖

圖13 不同t3下的過(guò)載變化圖

圖14 不同θm下的彈道軌跡圖

圖15 不同θm下的過(guò)載變化圖

由圖14、圖15可以看出，轉(zhuǎn)彎結(jié)束時(shí)刻的彈道傾角不同，一方面導(dǎo)彈高度有所差異，另一方面中制導(dǎo)段的初始條件變化，對(duì)于過(guò)載有較大的影響。就上述參數(shù)而言，彈道傾角越小，更有利于助推轉(zhuǎn)彎段到中制導(dǎo)段的平滑過(guò)渡。

4)中段調(diào)整時(shí)間tf

在此參數(shù)分析中，轉(zhuǎn)彎段開(kāi)始時(shí)間均為t2=8 s，轉(zhuǎn)彎段結(jié)束時(shí)間均為t3=16 s，結(jié)束時(shí)的彈道傾角均為θm=0°，觀察中段調(diào)整時(shí)間tf分別為4 s、6 s、8 s、10 s。

圖16 不同tf下的彈道軌跡圖

圖17 不同tf下的過(guò)載變化圖

由圖16、圖17可以看出，相同的助推段條件下，調(diào)整時(shí)間tf越長(zhǎng)，中制導(dǎo)段的過(guò)載越小，彈道越平滑。但是，調(diào)整時(shí)間長(zhǎng)，意味著跟蹤目標(biāo)的滯后，這與彈道平滑要求相矛盾，需要綜合權(quán)衡考慮。

5 結(jié)束語(yǔ)

文中討論了導(dǎo)彈在垂直發(fā)射條件下的超低空目標(biāo)攔截的問(wèn)題。針對(duì)在攔截過(guò)程中出現(xiàn)的多路徑問(wèn)題，確定了布儒斯特角的位置，建立攔截彈道模型，研究出將視線角約束在布儒斯特角附近的改進(jìn)比例制導(dǎo)律，使地海雜波干擾降至最低；將彈道分為初始轉(zhuǎn)彎段、中制導(dǎo)段和末端攻擊段，設(shè)計(jì)出了一種導(dǎo)彈從發(fā)射到最后擊中目標(biāo)的全程彈道，并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的彈道較為平直，并且滿足要求，制導(dǎo)精度較高，具有較強(qiáng)的借鑒意義。