“圓”來(lái)如此簡(jiǎn)單

張勇

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2019）10-0136-01

在一些數(shù)學(xué)題中，看似與圓毫無(wú)關(guān)系，但是用常規(guī)的解題方法卻無(wú)法解決問(wèn)題，而通過(guò)題中的某些條件構(gòu)造輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)進(jìn)行解答，往往就會(huì)使題目簡(jiǎn)單化，從而使難題迎刃而解.本文結(jié)合一些實(shí)例，探析如何巧用輔助圓妙解幾何題.

1.“圓”來(lái)這樣求線段長(zhǎng)度

求線段的長(zhǎng)度是初中數(shù)學(xué)比較常見(jiàn)的問(wèn)題.該問(wèn)題的常規(guī)解法是通過(guò)做垂線構(gòu)建直角三角形從而運(yùn)用勾股定理或是巧用面積公式.但是在一些問(wèn)題中，通過(guò)直接作出垂線，往往會(huì)使圖形更加復(fù)雜，從而不能成功解題.

例1：如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，已知BC=CD=AC=23，AB=6.則BD=.

解析：通過(guò)題干中的條件BC=CD=AC，我們可以想到以C為圓心，BC為半徑作圓.根據(jù)圓的性質(zhì)：直徑對(duì)應(yīng)的圓周角為直角，可以延長(zhǎng)BC交于⊙C于點(diǎn)E，連接DE，如圖所示，此時(shí)△BDE為直角三角形.Q AD∥BC，∴AB=DE=6，由勾股定理得BD=42.

點(diǎn)撥：根據(jù)題干中的線段相等，從而構(gòu)建輔助圓，接著利用圓的性質(zhì)進(jìn)行解題.其中需要注意的是，雖然輔助圓能做出，但是要想解題，就要對(duì)圓的性質(zhì)有一個(gè)深刻的理解。

2.“圓”來(lái) 這樣求角度

求角的度數(shù)問(wèn)題一般都是以三角形為載體，該問(wèn)題的常規(guī)解法是利用三角函數(shù)的知識(shí)去解答，但是由于初中數(shù)學(xué)只學(xué)習(xí)了一些特殊的三角函數(shù)值且以直角三角形為載體.當(dāng)遇到一般的三角形，此時(shí)學(xué)生往往會(huì)無(wú)計(jì)可施。

例2：如圖所示，在△ABC中，其中AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD+AD=BC，則∠A=.

解析：由題意得，本題要求的是∠A，由于此題沒(méi)有告知任意一個(gè)角的大小，且△ABC也不是直角三角形，因此運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)是很難解答該題的.由題干中BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠DBC.作△ABD的外接圓交BC于點(diǎn)E，如圖所示.根據(jù)圓的性質(zhì)可得，AD=DE.因?yàn)樗倪呅蜛BED為圓內(nèi)接四邊形，所以∠ABC=∠EDC=∠C，所以2∠C=∠DEB，DE=EC.因?yàn)锽D+AD=BC=BE+EC且AD=DE=EC，所以BE=BD.因?yàn)椤螪EB=∠BDE=2∠C，在△BDE中，∠DEB+∠BDE+∠DBE=180°，即4∠C+12∠C=180°，得∠C=40°.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，得∠A=100°.

點(diǎn)撥：此題是根據(jù)角平分線從而想到畫(huà)出三角形的外接圓，然后找出各角之間的關(guān)系進(jìn)行解答的.因此，在求解角的度數(shù)時(shí)，要充分運(yùn)用輔助圓，找出相等的角，最后通過(guò)運(yùn)用三角形內(nèi)角和為180°列出式子求解.此類(lèi)題型的難點(diǎn)在于，如何畫(huà)出輔助圓.

3.“圓”來(lái) 這樣解決最值問(wèn)題

求最值的問(wèn)題在中考中是常見(jiàn)問(wèn)題，其一般的思路就是設(shè)未知數(shù)，然后尋找關(guān)系列出函數(shù)表達(dá)式，即可解答出.雖然解題思路清晰，但是此類(lèi)題型的難點(diǎn)就是在如何將條件整合起來(lái)，找出其之間的關(guān)系，

例3：如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=23，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在AB、AC上，∠CPQ=90°，則CQ的最小值為.

解析：經(jīng)過(guò)審題后，感覺(jué)CQ就是獨(dú)立的，無(wú)法向已知條件上靠，唯一可以用的就是∠CPQ=90°，但是無(wú)法運(yùn)用勾股定理，因?yàn)槿龡l邊都是未知的.但是通過(guò)仔細(xì)審題，從條件∠CPQ=90°出發(fā)，可以想到圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角，此時(shí)可以試一下，看畫(huà)出輔助圓對(duì)解題有無(wú)幫助.通過(guò)圖可以看出，要想CQ最小，AB與⊙O要相切.此時(shí)就可以根據(jù)OP⊥AB，OP=OC，可得∠APQ=30°，此時(shí)設(shè)PQ=OQ=OP=OC=r，3r=AC=cos30°.AB=3，解得，所以CQ的最小值為2.

點(diǎn)撥：根據(jù)題干中條件畫(huà)出輔助圓，借助圓的性質(zhì)：圓心到切點(diǎn)之間的線段最短是解答本題關(guān)鍵，可見(jiàn)輔助圓對(duì)題目的綜合分析起了很大的作用.其中需要特別注意的是，當(dāng)題中給出直角時(shí)不能單單只想到勾股定理，也要聯(lián)想到圓。

綜上所述，在解答幾何問(wèn)題時(shí)，如若發(fā)現(xiàn)運(yùn)用常規(guī)方法不能解決問(wèn)題或是解決過(guò)程比較繁瑣，此時(shí)可以通過(guò)仔細(xì)審題，挖掘題干中與圓有聯(lián)系的條件，從而做出輔助圓進(jìn)行分析解題.由于做出輔助圓的關(guān)鍵就是善于捕捉題干的細(xì)節(jié)之處，這對(duì)學(xué)生的要求比較高，因此學(xué)生要在以后的學(xué)習(xí)中勤總結(jié)。