古諾映射的跟蹤性質(zhì)

廖 星， 汪火云， 易 鵬

(廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 廣東 廣州 510006)

在本文中,一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)就是一個(gè)偶對(duì)(Z,T),其中(Z,ρ)是一個(gè)帶有度量ρ的緊致的度量空間,T:Z→Z是一個(gè)連續(xù)映射.設(shè)X和Y是兩個(gè)度量空間，f:Y→X,g:X→Y是兩個(gè)連續(xù)映射,設(shè)Φ:X×Y→X×Y被定義如下:Φ(x,y)=(f(y),g(x)),?(x,y)∈X×Y,則(X×Y,Φ)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng),稱之為一個(gè)古諾雙寡頭模型,其中Φ被稱為一個(gè)古諾映射,f和g是它的反應(yīng)函數(shù).特別地,當(dāng)X和Y都是實(shí)數(shù)空間R的閉子區(qū)間時(shí),稱Φ為一個(gè)反三角映射.

古諾模型是由法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家安東尼·奧古斯丁·庫(kù)爾諾在1838年提出的,且在經(jīng)濟(jì)學(xué)的寡頭理論和博弈論中得到了廣泛應(yīng)用.因此,引起許多學(xué)者對(duì)古諾映射的廣泛關(guān)注,他們研究古諾映射的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[1-4],如混沌、ω-極限集和周期性等.本文研究古諾映射的跟蹤性質(zhì)和鏈混合性質(zhì)等,得到如下結(jié)論:古諾映射Φ有偽軌跟蹤性質(zhì)(平均跟蹤性質(zhì))當(dāng)且僅當(dāng)f°g和g°f也有偽軌跟蹤性質(zhì)(平均跟蹤性質(zhì));古諾映射Φ是鏈混合的當(dāng)且僅當(dāng)f°g和g°f也是鏈混合的;此外,證明了反三角映射Φ是鏈傳遞的(拓?fù)浠旌系?當(dāng)且僅當(dāng)f°g和g°f也是鏈傳遞的(拓?fù)浠旌系?;最后,舉了一個(gè)f°g和g°f是鏈傳遞的,而Φ不是鏈傳遞的例子.

1 基本概念

首先介紹本文所用到的相關(guān)概念.

令N={0,1,2,3,…}是自然數(shù)集,N+={1,2,3,…},R是實(shí)數(shù)集.設(shè)(Z,T)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng),如果對(duì)Z中的任意兩個(gè)非空開集U,V,存在正整數(shù)m,使得Tm(U)∩V≠φ,則稱T是拓?fù)鋫鬟f的.如果對(duì)Z中的任意兩個(gè)非空開集U,V,存在正整數(shù)M,使得對(duì)任意正整數(shù)n≥M,有Tn(U)∩V≠φ,則稱T是拓?fù)浠旌系?

設(shè)(Z,T)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng),z∈Z,如果存在遞增序列ni,使得

則把點(diǎn)y叫做z的ω-極限點(diǎn)(y∈Z)，并稱z的全體ω-極限點(diǎn)的集合為z的ω-極限集,記作ω(z,T).

ρ(T(zn),zn+1)<δ.

設(shè)a=z0,z1,…,zn-1=b為Z中的有限序列,如果對(duì)每一個(gè)i∈{0,1,…,n-2},有

ρ(T(zi),zi+1)<δ,

則稱a=z0,z1,…,zn-1=b是一條從a到b長(zhǎng)度為n的T的δ-鏈.

設(shè)(Z,T)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng),如果對(duì)任意a,b∈Z,δ>0,存在一條從a到b的T的δ-鏈,則稱T是鏈傳遞的.如果對(duì)所有正整數(shù)n≥1,Tn是鏈傳遞的,則稱T是完全鏈傳遞的.如果對(duì)任意a,b∈Z,δ>0,存在正整數(shù)M,使得當(dāng)n≥M時(shí),存在一條從a到b長(zhǎng)度為n的T的δ-鏈,則稱T是鏈混合.

那么也稱點(diǎn)z′,ε-平均跟蹤ξ.

2 結(jié)果的證明

古諾映射有如下基本性質(zhì):

(1)Φ2(x,y)=Φ(f(y),g(x))=(f°g(x),g°f(y));

(2)對(duì)任意正整數(shù)n,Φ2n(x,y)=((f°g)n(x),(g°f)n(y));

(3)對(duì)任意正整數(shù)n,Φ2n+1(x,y)=((f°g)n°f(y),(g°f)n°g(x)).

以下結(jié)果參見文獻(xiàn)[6]第15章中的定理4.3和定理4.5.

引理2.1設(shè)(Z,T)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng),則下列命題成立:

(1)T有偽軌跟蹤性質(zhì),則對(duì)任意正整數(shù)k,Tk也有偽軌跟蹤性質(zhì).

(2)若存在一個(gè)正整數(shù)k,使得Tk有偽軌跟蹤性質(zhì),則T也有偽軌跟蹤性質(zhì).

以下結(jié)論參見文獻(xiàn)[7]中的引理3.2.

引理2.2設(shè)(Z1,T1)和(Z2,T2)是兩個(gè)動(dòng)力系統(tǒng),則T1×T2有偽軌跟蹤性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)T1和T2也有偽軌跟蹤性質(zhì).

命題2.1設(shè)Φ(x,y)=(f(y),g(x))是一個(gè)古諾映射,其中f:Y→X,g:X→Y都是連續(xù)映射,(x,y)∈X×Y，則Φ有偽軌跟蹤性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)f°g與g°f也有偽軌跟蹤性質(zhì).

證明(必要性)設(shè)Φ有偽軌跟蹤性質(zhì),由引理2.1(1),Φ2=(f°g)×(g°f)也有偽軌跟蹤性質(zhì).再由引理2.2,f°g與g°f也有偽軌跟蹤性質(zhì).

(充分性)若f°g與g°f有偽軌跟蹤性質(zhì),由引理2.2,則Φ2=(f°g)×(g°f)也有偽軌跟蹤性質(zhì).由引理2.1(2),從而Φ有偽軌跟蹤性質(zhì).

命題2.2設(shè)Φ(x,y)=(f(y),g(x))是一個(gè)古諾映射,其中f:Y→X,g:X→Y都是連續(xù)映射,(x,y)∈X×Y，則Φ有平均跟蹤性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)f°g與g°f也有平均跟蹤性質(zhì).

證明(必要性)設(shè)Φ有平均跟蹤性質(zhì),由文獻(xiàn)[8]中的引理3.3知Φ2=(f°g)×(g°f)有平均跟蹤性質(zhì),從而f°g與g°f也有平均跟蹤性質(zhì).

(充分性)設(shè)f°g與g°f有平均跟蹤性質(zhì)，由文獻(xiàn)[8]中的命題3.5知，(f°g)×(g°f)有平均跟蹤性質(zhì),從而Φ2=(f°g)×(g°f)也有平均跟蹤性質(zhì),根據(jù)文獻(xiàn)[9]中的引理3.4、引理3.5和定理5.5,可知Φ有平均跟蹤性質(zhì).

以下引理參見文獻(xiàn)[10]中的推論12.

引理2.3設(shè)(Z,T)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng),則T是鏈混合的當(dāng)且僅當(dāng)T是完全鏈傳遞的.

以下引理參見文獻(xiàn)[11]中的定理2.

引理2.4設(shè)(Z,T)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng).若存在一個(gè)正整數(shù)k,使得Tk是鏈傳遞的,則T是鏈傳遞的.

命題2.3設(shè)(Z,T)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng).

(1)若T是鏈混合的,則對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)k,Tk也是鏈混合的.

(2)若存在一個(gè)正整數(shù)k,使得Tk是鏈混合的,則T也是鏈混合的.

證明(1)若Tk不是鏈混合,由引理2.3,存在一個(gè)正整數(shù)m,使得(Tk)m不是鏈傳遞的.又因?yàn)門是鏈混合的,由引理2.3,對(duì)任意正整數(shù)n,Tn是鏈傳遞的,這與(Tk)m不是鏈傳遞的矛盾,故Tk是鏈混合的.

(2)若T不是鏈混合的,由引理2.3,存在一個(gè)正整數(shù)m≠k,使Tm不是鏈傳遞的,又因?yàn)門k是鏈混合的,由引理2.3,(Tk)m=(Tm)k是鏈傳遞的.由引理2.4,則Tm是鏈傳遞的,與假設(shè)矛盾,故T是鏈混合的.

命題2.4設(shè)Φ(x,y)=(f(y),g(x))是一個(gè)古諾映射,其中f:Y→X,g:X→Y都是連續(xù)映射,(x,y)∈X×Y.則Φ是鏈混合的當(dāng)且僅當(dāng)f°g與g°f也是鏈混合的.

證明(必要性)若Φ是鏈混合的,由命題2.3(1),Φ2=(f°g)×(g°f)是鏈混合的,故f°g與g°f是鏈混合的.

(充分性)若f°g與g°f是鏈混合的,則Φ2=(f°g)×(g°f)也是鏈混合的,由命題2.3(2),故Φ是鏈混合的.

以下結(jié)論參見文獻(xiàn)[10]中的推論14.

引理2.5設(shè)Z是一個(gè)連通空間的，且T:Z→Z連續(xù)映射.則T是鏈傳遞的當(dāng)且僅當(dāng)T是鏈混合的.

推論2.1設(shè)Φ(x,y)=(f(y),g(x))是一個(gè)反三角映射,其中f:Y→X,g:X→Y都是連續(xù)的,(x,y)∈X×Y,且X,Y是R的閉子區(qū)間.則Φ是鏈傳遞的當(dāng)且僅當(dāng)f°g與g°f也是鏈傳遞的.

證明因?yàn)閄,Y是R的閉子區(qū)間，故X×Y空間也是連通的.由引理2.5,則Φ是鏈傳遞的與Φ是鏈混合相互等價(jià).根據(jù)命題2.4,有Φ是鏈傳遞的當(dāng)且僅當(dāng)f°g與g°f也是鏈傳遞的.

以下引理參見文獻(xiàn)[12]中的定理1.

引理2.6假設(shè)T是區(qū)間上的一個(gè)連續(xù)映射,則T是拓?fù)浠旌系漠?dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意正整數(shù)n,Tn是拓?fù)鋫鬟f的.

命題2.5設(shè)Z是R是的一個(gè)閉子區(qū)間,T:Z→Z是連續(xù)映射,則下面的結(jié)論成立:

(1)若T是拓?fù)浠旌系?則對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)k,Tk是拓?fù)浠旌系?

(2)若存在一個(gè)正整數(shù)k,使得Tk是拓?fù)浠旌系?則T是拓?fù)浠旌系?

證明(1)假設(shè)T是拓?fù)浠旌系?由引理2.6,對(duì)任意正整數(shù)n,Tn是拓?fù)鋫鬟f的.故對(duì)任意正整數(shù)m,(Tk)m=Tkm是拓?fù)鋫鬟f的.再由引理2.6,故Tk是拓?fù)浠旌系?

(2)若T不是拓?fù)浠旌系?由引理2.6,存在一個(gè)正整數(shù)m≠k,使得Tm不是拓?fù)鋫鬟f的.由于Tk是拓?fù)浠旌系?由引理2.6,(Tk)m=(Tm)k是拓?fù)鋫鬟f的.故Tm是拓?fù)鋫鬟f的,與假設(shè)矛盾,故T是拓?fù)浠旌系?

命題2.6設(shè)Φ(x,y)=(f(y),g(x))是一個(gè)反三角映射,其中f:Y→X,g:Y→X都是連續(xù)的,(x,y)∈X×Y,且X,Y是R的閉子區(qū)間.則Φ是拓?fù)浠旌系漠?dāng)且僅當(dāng)f°g與g°f也是拓?fù)浠旌系?

證明(必要性)設(shè)Φ是拓?fù)浠旌系?由命題2.5,Φ2是拓?fù)浠旌系?由于Φ2=(f°g)×(g°f),故f°g與g°f是拓?fù)浠旌系?

(充分性) 若f°g與g°f是拓?fù)浠旌系?有Φ2是拓?fù)浠旌系?由命題2.5,故Φ是拓?fù)浠旌系?

最后,給出一個(gè)Φ是鏈傳遞的(拓?fù)鋫鬟f的)和f°g與g°f是鏈傳遞的(拓?fù)鋫鬟f的)并不是等價(jià)的例子.

例設(shè)Φ(x,y)=(f(y),g(x))是X×X上的古諾映射,其中X={1,2,3},令f(1)=g(1)=2,f(2)=g(2)=3,f(3)=g(3)=1,則其中f:X→X,g:X→X都是連續(xù)映射.由于有

f°g(1)=g°f(1)=3,f°g(3)=g°f(3)=2,f°g(2)=g°f(2)=1，

故f°g與g°f是拓?fù)鋫鬟f的,因而它們是鏈傳遞的.取x=1,y=2,則有

ω((1,2),Φ)={(3,1),(2,1),(2,3),(1,2),(1,3),(3,2)}.

從而Φ不是傳遞的,易知Φ也不是鏈傳遞的.