螺旋俯沖機(jī)動(dòng)突防的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

何磊，閆曉東, 2,*，唐碩, 2

1. 西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072 2. 陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072

近些年，隨著世界各國(guó)識(shí)別技術(shù)和攔截技術(shù)的快速發(fā)展，提升高超聲速滑翔飛行器(HGV)的突防能力己成為重要的研究課題[1-2]。足夠的突防能力是高超聲速滑翔飛行器突破敵方攔截，保證達(dá)到目標(biāo)空域進(jìn)行作戰(zhàn)的前提[3]。而具備機(jī)動(dòng)飛行能力則是高超聲速滑翔飛行器今后發(fā)展的主要方向，它將大大提高飛行器的突防能力及打擊精度，是突破現(xiàn)有防御系統(tǒng)的有效手段。

俯沖飛行段通常處于防御方的各種攔截器的有效攔截區(qū)域內(nèi)，且在此階段高超聲速滑翔飛行器的速度與高度均大幅降低，相比中段和再入段，俯沖飛行段也因此更容易被防御方攔截[4]。故有必要設(shè)計(jì)額外的機(jī)動(dòng)模式，以提高己方的突防概率和防御方跟蹤探測(cè)及攔截難度。若高超聲速滑翔飛行器對(duì)來(lái)襲的攔截導(dǎo)彈無(wú)任何先驗(yàn)信息，則按一定幅度進(jìn)行周期性的機(jī)動(dòng)是一種行之有效的突防模式[5-7]。因此，飛行器為實(shí)現(xiàn)突防，往往會(huì)選擇適當(dāng)?shù)臋C(jī)動(dòng)模式，如蛇形/擺式機(jī)動(dòng)、跳躍機(jī)動(dòng)、螺旋機(jī)動(dòng)等[8]。其中，螺旋機(jī)動(dòng)是一種復(fù)雜的非平面(三維空間)機(jī)動(dòng)方式。與其他機(jī)動(dòng)模式相比，螺旋機(jī)動(dòng)具有大的機(jī)動(dòng)幅值、時(shí)變的機(jī)動(dòng)頻率、難以預(yù)測(cè)的彈道軌跡等優(yōu)點(diǎn)[9-11]，能夠顯著地增加攔截彈的脫靶量，有效地降低了被攔截的概率[2,7,10-13]。已有的研究表明，在俯沖飛行段實(shí)施高度復(fù)雜的螺旋機(jī)動(dòng)是一項(xiàng)富有挑戰(zhàn)性的飛行任務(wù)。然而，當(dāng)前研究主要集中在針對(duì)簡(jiǎn)化了的螺旋機(jī)動(dòng)模型的估計(jì)與攔截問(wèn)題上，忽視了螺旋機(jī)動(dòng)的可行性以及進(jìn)行大空域螺旋機(jī)動(dòng)的可實(shí)施性的研究。

眾所周知，俯沖飛行段作為高超聲速滑翔飛行器最后一個(gè)飛行階段，直接決定飛行任務(wù)成敗和終端命中精度等核心要素[14]，故合適的制導(dǎo)方法的重要性不言而喻[5]。用于俯沖段的制導(dǎo)方法主要有最優(yōu)導(dǎo)引律、改進(jìn)型比例導(dǎo)引律、滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律等[15-24]。其中，改進(jìn)型比例導(dǎo)引律以其簡(jiǎn)單高效[6]在制導(dǎo)領(lǐng)域一直受到廣泛的關(guān)注與研究。但是，當(dāng)需要執(zhí)行特定機(jī)動(dòng)模式的飛行任務(wù)時(shí)，改進(jìn)型比例導(dǎo)引算法將難以勝任。為此，文獻(xiàn)[15-17]引入虛擬滑動(dòng)目標(biāo)的概念，給出了基于虛擬滑動(dòng)目標(biāo)的改進(jìn)型比例導(dǎo)引律，其制導(dǎo)算法通過(guò)精心選擇虛擬目標(biāo)及其滑動(dòng)參數(shù)，并依靠控制虛擬目標(biāo)的滑動(dòng)速度和方向以引導(dǎo)飛行器以特定的機(jī)動(dòng)模式飛行。文獻(xiàn)[18-19]進(jìn)一步根據(jù)制導(dǎo)任務(wù)設(shè)計(jì)虛擬目標(biāo)，避免了因主觀因素選擇虛擬目標(biāo)及其滑動(dòng)參數(shù)導(dǎo)致的不確定性，取得了良好的制導(dǎo)效果。除此之外，文獻(xiàn)[22-24]應(yīng)用幾何原理設(shè)計(jì)出一種三點(diǎn)式比例導(dǎo)引方法，其制導(dǎo)指令是圓軌跡跟蹤誤差變量的函數(shù)，在滿(mǎn)足終端約束的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了沿圓軌跡飛向目標(biāo)的末段機(jī)動(dòng)彈道。相比較而言，基于虛擬滑動(dòng)目標(biāo)的比例導(dǎo)引法能夠執(zhí)行更復(fù)雜的機(jī)動(dòng)模式，在彈道的靈活多變性方面優(yōu)于三點(diǎn)式比例導(dǎo)引法。如文獻(xiàn)[19]為實(shí)現(xiàn)俯沖段螺旋機(jī)動(dòng)，提出基于虛擬滑動(dòng)目標(biāo)的自適應(yīng)末制導(dǎo)律，完成了針對(duì)靜止目標(biāo)的高精度打擊。但文獻(xiàn)[19]采用的雙曲螺旋線(xiàn)軌跡模型沒(méi)有考慮飛行器圍繞目標(biāo)螺旋飛行的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，使其在俯沖飛行的中段需用過(guò)載較大，導(dǎo)致其后的飛行過(guò)程需要不斷地修正偏差。

本文將文獻(xiàn)[19]的研究推廣到針對(duì)低速移動(dòng)目標(biāo)的打擊，并結(jié)合該型高超聲速滑翔飛行器繞目標(biāo)飛行的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，設(shè)計(jì)了更加有效的對(duì)數(shù)型螺旋運(yùn)動(dòng)模型。采用此模型，利用飛行器初始點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)的信息即可確定對(duì)數(shù)型的螺旋軌跡，進(jìn)而得到虛擬滑動(dòng)目標(biāo)軌跡。將虛擬滑動(dòng)目標(biāo)作為跟蹤對(duì)象，采用包含時(shí)變附加項(xiàng)的自適應(yīng)比例導(dǎo)引律，引導(dǎo)HGV實(shí)現(xiàn)了俯沖段螺旋俯沖機(jī)動(dòng)飛行。與文獻(xiàn)[19]中方案比較，本文方法避免了開(kāi)環(huán)制導(dǎo)過(guò)程，使制導(dǎo)方案變得簡(jiǎn)單，其給出的制導(dǎo)指令趨近于平緩，并且還能夠?qū)崿F(xiàn)繞目標(biāo)進(jìn)行多圈螺旋機(jī)動(dòng)飛行。仿真分析結(jié)果表明本文實(shí)現(xiàn)螺旋機(jī)動(dòng)突防的制導(dǎo)方案是可行的。

1 問(wèn)題描述與分析

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

三維空間中，飛行器、目標(biāo)與虛擬目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系如圖1所示。圖中：oxyz為固定在地球表面的慣性坐標(biāo)系，其ox軸在當(dāng)?shù)厮矫鎯?nèi)指向正北方向，oy軸垂直于當(dāng)?shù)厮矫妫蛏蠟檎?，oz軸與ox軸和oy軸組成右手直角坐標(biāo)系；M、T和T′分別表示HGV、真實(shí)目標(biāo)點(diǎn)和虛擬目標(biāo)點(diǎn)(其具體定義參見(jiàn)2.1節(jié))；定義虛擬目標(biāo)點(diǎn)與飛行器的連線(xiàn)為虛擬目標(biāo)視線(xiàn)，其方向由虛擬視線(xiàn)偏角θ和虛擬視線(xiàn)傾角φ確定；r為飛行器與虛擬目標(biāo)點(diǎn)的相對(duì)空間距離；s為相對(duì)空間距離在水平面內(nèi)的投影。

忽略地球曲率和自轉(zhuǎn)，無(wú)動(dòng)力滑翔高超聲速飛行器(視為質(zhì)點(diǎn))三自由度運(yùn)動(dòng)方程為[25]

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：x、y、z為慣性坐標(biāo)系中HGV的位置；V為速度；γ為航跡傾角；ψ為航跡偏角；σ為速度滾轉(zhuǎn)角；m為飛行器質(zhì)量；g=9.81 m/s2為重力加速度；D、L分別為阻力和升力，其定義為

圖1 坐標(biāo)系與三維空間相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系Fig.1 Coordinate system and engagement geometry of three dimensional relative motion

(7)

其中：ρ為大氣密度；Sref為參考面積；阻力系數(shù)CD和升力系數(shù)CL為馬赫數(shù)Ma和迎角α的函數(shù)。

1.2 螺旋運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

本節(jié)將對(duì)飛行器圍繞目標(biāo)旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性進(jìn)行分析，然后由分析結(jié)果推導(dǎo)出符合飛行器螺旋運(yùn)動(dòng)的螺旋曲線(xiàn)。將飛行器繞目標(biāo)的螺旋運(yùn)動(dòng)分解到偏航平面和俯仰平面進(jìn)行研究。在偏航平面內(nèi)，一般螺旋線(xiàn)方程在極坐標(biāo)系中可表示為

rs=r(?)

(8)

式中：rs為極徑；?為對(duì)應(yīng)的極角。根據(jù)螺旋方向可將螺旋線(xiàn)分為左手螺旋線(xiàn)和右手螺旋線(xiàn)。

飛行器沿著不同的方向螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，將其運(yùn)動(dòng)速度沿徑向和垂直于徑向進(jìn)行分解，其運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系如圖2中所示，則螺旋曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)方程為

(9)

式中：Λ為速度矢量在偏航平面內(nèi)的分量與極徑之間的夾角。對(duì)左手螺旋線(xiàn)運(yùn)動(dòng)Λ的取值范圍為(-π, 0)，對(duì)右手螺旋線(xiàn)運(yùn)動(dòng)有Λ∈ (0, π)。將式(9)中的第①式除以第②式，得到

(10)

對(duì)式(10)兩邊積分得

(11)

若Λ為常值，由式(11)得到的曲線(xiàn)稱(chēng)之為等角螺旋線(xiàn)。特別地，Λ=π/2時(shí)，螺旋線(xiàn)成為圓形；若Λ=0或π時(shí)，分別為遠(yuǎn)離或接近目標(biāo)的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，此種情況本文不做研究。

求解積分式(11)可得

圖2 偏航平面內(nèi)的螺旋線(xiàn)運(yùn)動(dòng)Fig.2 Spiraling in yaw plane

rs=r(?)=ae? cot Λ

(12)

式中：a為積分常數(shù)。如圖2所示，為研究方便，規(guī)定右手螺旋運(yùn)動(dòng)極角?的取值范圍為[0, +∞)，其極徑沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；規(guī)定左手螺旋曲線(xiàn)極角?的取值范圍為(-∞, 0]，其極徑沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。在極坐標(biāo)系中，若給定螺旋參數(shù)a、Λ，則可確定唯一一條螺旋運(yùn)動(dòng)軌跡。將偏航平面內(nèi)的螺旋線(xiàn)沿鉛垂方向擴(kuò)展，可得如圖1中所示三維空間中的螺旋俯沖機(jī)動(dòng)彈道。

1.3 螺旋軌跡參數(shù)

為了便于描述偏航平面內(nèi)的螺旋軌跡，在慣性系中定義極坐標(biāo)系pxpzp。令極點(diǎn)p與螺旋軌跡的旋轉(zhuǎn)中心重合，極軸pzp指向飛行器初始點(diǎn)位置，極軸pxp與pzp垂直，如圖3所示。設(shè)M0和Ms分別為HGV初始位置和當(dāng)前時(shí)刻期望位置，T為真實(shí)目標(biāo)點(diǎn)所處位置；設(shè)rs0、rs和rs1分別為M0、Ms和T處的極徑，相對(duì)應(yīng)的極角和偏角(速度方向與ox軸之間的夾角，沿順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?分別為?0、?、?1和ψs0、ψs、ψs1。

由圖3中幾何關(guān)系易知

(13)

將M0、T兩點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的偏角ψs0、ψs1代入，可得

η=π/2-ψs0-Λ

(14)

?1=ψs0-ψs1

(15)

圖3 偏航平面內(nèi)螺旋軌跡Fig.3 Geometry of spiral trajectory in yaw plane

式中：η為極軸pzp與軸oz之間的夾角。

射線(xiàn)pM0和pT在偏航平面內(nèi)可表示為

x-xi=ki(z-zi)i=0,1

(16)

式中：(x0,z0)、 (x1,z1)分別代表M0和T處的位置坐標(biāo)；k0和k1分別為射線(xiàn)pM0和pT的斜率(斜率不存在的情況見(jiàn)附錄A):

ki=tan(π/2-ψsi-Λ)i=0,1

(17)

聯(lián)解式(16)可求得極點(diǎn)p的坐標(biāo)為

(18)

根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式，求得極徑rs0和rs1為

(19)

(20)

將式(18)中第1行和第2行分別減去z0和z1，可得

(21)

聯(lián)立式(17)和式(21)，將式(20)除以式(19)，整理后可得

(22)

式中：μ=arctan[(x0-x1)/(z0-z1)]。

不失一般性，設(shè)rs0處的極角?0= 0，則由式(12)容易得出rs0=a和rs1=ae?1cotΛ，代入式(22) 中，整理后可得

(23)

根據(jù)飛行器初始點(diǎn)M0、真實(shí)目標(biāo)點(diǎn)T的坐標(biāo)和航跡偏角，通過(guò)求解式(23)可得到常值角Λ；然后將Λ分別代入式(18)、式(19)、式(14)和式(15) 可分別得極點(diǎn)坐標(biāo)(xp,zp)、螺旋線(xiàn)參數(shù)a、螺旋軌跡所在的極坐標(biāo)系相對(duì)慣性坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的角度η和終端極角?1。在偏航平面內(nèi)，由這些參數(shù)可確定過(guò)M0、T兩點(diǎn)的唯一螺旋軌跡。

2 螺旋俯沖機(jī)動(dòng)的實(shí)現(xiàn)

基于第1節(jié)中的對(duì)數(shù)型螺旋運(yùn)動(dòng)模型和螺旋軌跡參數(shù)，利用螺旋軌跡漸伸線(xiàn)的方法生成虛擬滑動(dòng)目標(biāo)(軌跡)，然后設(shè)計(jì)合適的比例導(dǎo)引律導(dǎo)引HGV跟蹤虛擬滑動(dòng)目標(biāo)，從而實(shí)現(xiàn)螺旋機(jī)動(dòng)飛行。

2.1 虛擬滑動(dòng)目標(biāo)

如圖3所示，若飛行器理想地按期望螺旋軌跡飛行，則設(shè)飛行器在極坐標(biāo)系中的位置矢量為rs，在慣性系中的位置矢量為rm，速度方向的單位矢量為ev，則三矢量在慣性系中的投影為

(24)

(25)

(26)

式中：rp=[xpzp]T為極點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系中的位置矢量；rs為飛行器當(dāng)前位置對(duì)應(yīng)的極徑。

虛擬滑動(dòng)目標(biāo)的設(shè)計(jì)基于曲線(xiàn)漸伸線(xiàn)的展開(kāi)原理，漸伸線(xiàn)的定義[26]為：若一條曲線(xiàn)的切線(xiàn)為另一條曲線(xiàn)的法線(xiàn)，則后者稱(chēng)為前者的漸伸線(xiàn)，兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)稱(chēng)為尖點(diǎn)。根據(jù)上述定義，將T設(shè)為尖點(diǎn)，將Ms至T的螺旋曲線(xiàn)沿Ms的切線(xiàn)方向伸展為直線(xiàn)，伸展后的目標(biāo)所處T′位置定義為虛擬目標(biāo)，如圖4所示，按此方法得到螺旋軌跡上所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)的T′組成的軌跡稱(chēng)為虛擬滑動(dòng)目標(biāo)軌跡，也即是螺旋軌跡的漸伸線(xiàn)。虛擬滑動(dòng)目標(biāo)軌跡的軌跡方程可用矢量形式表示為

(27)

式中：rvt=[xvtzvt]T；lgo為螺旋線(xiàn)軌跡剩余長(zhǎng)度，其值通過(guò)式(12)積分得到

(28)

2.2 相對(duì)虛擬滑動(dòng)目標(biāo)的導(dǎo)引方程

偏航平面內(nèi)，若保持螺旋軌跡形狀不變，并令其隨著真實(shí)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng)，由此得到的每一瞬時(shí)的螺旋線(xiàn)軌跡稱(chēng)之為瞬時(shí)螺旋線(xiàn)軌跡。因此，極點(diǎn)p與目標(biāo)具有相同的運(yùn)動(dòng)特性，則式(27) 對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，可得

(29)

式中：Vt和ψt分別為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度和方向(當(dāng)目標(biāo)靜止時(shí)，有Vt= 0，此時(shí)ψt無(wú)實(shí)際意義)。

如圖4所示，設(shè)飛行器當(dāng)前位置M距離螺旋軌跡最近的點(diǎn)為Ms，且設(shè)M處對(duì)應(yīng)的極角與Ms處的極角相同。由虛擬視線(xiàn)偏角的定義知

(30)

聯(lián)立(z-zvt)/s=cosθ和(x-xvt)/s=sinθ，則θ相對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

(31)

式中:

(32)

為待飛距離。聯(lián)立式(1)、式(3)和式(29)，式(31)進(jìn)一步整理得出

(33)

式中：

(34)

(35)

圖4 偏航平面內(nèi)的幾何關(guān)系Fig.4 Engagement geometry in yaw plane

飛行器當(dāng)前位置對(duì)應(yīng)的極角可由M和Ms的連線(xiàn)以及Ms點(diǎn)處的切線(xiàn)之間的斜率關(guān)系得到

化簡(jiǎn)后可得

(x-xp)sin(?+η+Λ)+(z-zp)·

cos(?+η+Λ)=ae? cotΛcosΛ

(36)

式(36)為極角?的超越方程，其解可通過(guò)數(shù)值方法求得。式(36)兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，再聯(lián)立式(1)、式(3)和式(13)，整理后可得極角變化率為

(37)

類(lèi)似地，由虛擬視線(xiàn)傾角定義可知

φ=arctan(y/s)

(38)

對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

(39)

(40)

將式(40)代入式(39)，再聯(lián)立s/r=cosφ和y/r=sinφ，整理后可得

(41)

式(33)和式(41)即為相對(duì)虛擬滑動(dòng)目標(biāo)的導(dǎo)引方程。對(duì)比兩式不難發(fā)現(xiàn)，偏航平面與俯仰平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)存在耦合作用項(xiàng)，也即制導(dǎo)律導(dǎo)引HGV按期望螺旋線(xiàn)軌跡飛向目標(biāo)的過(guò)程中綜合了考慮了兩平面內(nèi)的耦合作用。

2.3 螺旋俯沖制導(dǎo)方法與終端約束條件

三維空間中，制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)的一般方法是將三維空間的制導(dǎo)問(wèn)題分解到兩個(gè)相互垂直的平面內(nèi)，即偏航平面(水平面)和俯仰平面(虛擬視線(xiàn)所在的鉛垂面)，在這兩個(gè)平面內(nèi)的制導(dǎo)指令分別為航跡偏角ψcmd和航跡傾角γcmd

(42)

(43)

式中：λ1為水平面內(nèi)的制導(dǎo)參數(shù);λ2為鉛垂面內(nèi)的制導(dǎo)參數(shù)，且λ1和λ2均為非負(fù)參數(shù)。結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式(5)和式(6)可知，制導(dǎo)律(42)和(43)的本質(zhì)是將飛行器的最大升力面轉(zhuǎn)到制導(dǎo)所要求的方向，同時(shí)在最大升力面內(nèi)產(chǎn)生所需的法向力。升力指令Lcmd的大小為

(44)

下面分析制導(dǎo)律(42)和(43)的具體含義：

3) 結(jié)合式(5)，鉛垂面內(nèi)制導(dǎo)律(43)同時(shí)提供克服地球引力和俯仰平面內(nèi)虛擬視線(xiàn)傾角收斂于某一期望值時(shí)所需要的升力。

綜上所述，針對(duì)靜止或低速移動(dòng)目標(biāo)的螺旋俯沖制導(dǎo)問(wèn)題可描述為：通過(guò)制導(dǎo)律(42)和(43)引導(dǎo)飛行器沿期望的螺旋軌跡飛行，同時(shí)在命中目標(biāo)的時(shí)刻tf，必須同時(shí)滿(mǎn)足如下約束條件

r(tf)=rf

(45)

ψ(tf)=ψf,γ(tf)=γf

(46)

式中：rf為飛行器與目標(biāo)在終端時(shí)刻的空間距離；γf和ψf分別為γ和ψ的終端約束。垂直打擊目標(biāo)時(shí)，ψf可理解為進(jìn)入方向約束。

通過(guò)調(diào)節(jié)迎角α和傾側(cè)角σ可實(shí)現(xiàn)升力大小和方向的控制。通過(guò)式確定Lcmd的大小，再利用式(7)第2項(xiàng)反過(guò)來(lái)計(jì)算升力系數(shù):

(47)

得到升力系數(shù)后，可通過(guò)反插值的方法獲取升力指令Lcmd對(duì)應(yīng)的迎角指令αcmd。將Lcmd代入式(5)和式(6)傾側(cè)角的正余弦表達(dá)式:

(48)

由式(48)便得到傾側(cè)角指令σcmd，傾側(cè)角取值范圍[-π, π]。若俯沖機(jī)動(dòng)飛行過(guò)程中出現(xiàn)制導(dǎo)指令飽和，優(yōu)先保證橫向所需升力

(49)

(50)

3 制導(dǎo)參數(shù)的自適應(yīng)更新

制導(dǎo)律的實(shí)施過(guò)程中，受制導(dǎo)指令飽和及其更新頻率限制、自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性等因素的影響，易使HGV偏離期望螺旋軌跡，從而影響落點(diǎn)和落角精度。因而，本節(jié)通過(guò)對(duì)制導(dǎo)律收斂條件的分析，設(shè)計(jì)了制導(dǎo)參數(shù)的閉環(huán)非線(xiàn)性自適應(yīng)律，用以保證高精度的跟蹤期望螺旋軌跡。

3.1 收斂條件分析

在分析收斂性之前，先給出如下假設(shè)：

假設(shè)2在t= 0時(shí)刻，方位角與航跡偏角之和小于0，即速度矢量與虛擬視線(xiàn)之間的夾角|δψ(0)|<π/2。

定理1對(duì)任意V和|γ|< 90°，導(dǎo)引律的制導(dǎo)參數(shù)λ1>1時(shí)，則能夠確保s→ 0；λ1>2時(shí)，彈道收斂于螺旋軌跡的同時(shí)，速度矢量收斂于穿過(guò)虛擬目標(biāo)點(diǎn)的視線(xiàn)，且此視線(xiàn)在偏航平面內(nèi)滿(mǎn)足角度關(guān)系：ψ+θ=-π/2、ψs+θ=-π/2。

證明：在偏航平面內(nèi)，求式(34)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，并將式(33)代入，可得

(51)

(52)

式(40)采用類(lèi)似的處理，可得

(53)

將式(53)除以式(52)，整理得

(54)

對(duì)式(54)積分有

(55)

式中：c> 0為有界積分常數(shù)，其表達(dá)式為

(56)

在末制導(dǎo)初始時(shí)刻，當(dāng)0 < (δψ)(0) < π/2時(shí)，將式(55)代入式(52)，整理后可得

(57)

證畢

定理2 對(duì)任意V，導(dǎo)引律(43)的制導(dǎo)參數(shù)λ1> 1和λ2> 1時(shí)，則能夠確保r→ 0；λ2> 2時(shí)，速度矢量收斂于穿過(guò)虛擬目標(biāo)點(diǎn)的視線(xiàn)，且此視線(xiàn)在俯仰平面內(nèi)滿(mǎn)足角度關(guān)系φ+γ= 0。

證明：見(jiàn)文獻(xiàn)[20]。

證畢

3.2 制導(dǎo)參數(shù)自適應(yīng)律

為提高對(duì)虛擬滑動(dòng)目標(biāo)的跟蹤精度以及抵抗外部干擾的能力，有效途徑之一是為λ1和λ2設(shè)計(jì)一種能夠根據(jù)飛行器當(dāng)前狀態(tài)在線(xiàn)選擇制導(dǎo)參數(shù)的自適應(yīng)更新律。在側(cè)向平面內(nèi)，以剩余航程s為積分變量，對(duì)式(42)積分可得

(58)

(59)

此外，聯(lián)立式(35)、式(58)中的積分項(xiàng)可表示為

(60)

將式(59)和式(60)代入式(58)中，可得

(61)

(62)

因?yàn)閟0取的是任意初始剩余航程，可視為當(dāng)前剩余航程。故隱去式(62)參數(shù)中含0下標(biāo)，進(jìn)一步整理式(62)后得出

(63)

式中:

Δψ=ψs-ψ

(64)

通常采用梯形法則估計(jì)式(63)積分項(xiàng)的值，然而在跟蹤螺旋軌跡的過(guò)程中，可能是漸進(jìn)式的接近，也可能先穿過(guò)軌跡然后再漸進(jìn)地接近螺旋軌跡。因此，利用改進(jìn)的梯形法則對(duì)式(63)中的積分項(xiàng)做近似處理可得

(65)

式中：λc為決定何時(shí)改變積分項(xiàng)近似值符號(hào)的常數(shù)；常數(shù)κ1> 0使近似值的選擇更具靈活性(梯形法則中κ1= 2)；符號(hào)函數(shù)項(xiàng)可依據(jù)是否穿過(guò)螺旋軌跡而適時(shí)改變積分項(xiàng)近似值的符號(hào)。

(66)

可以看出，選擇剩余航程為獨(dú)立變量進(jìn)行推導(dǎo)，是因?yàn)榻K端的剩余航程是確定的(等于零)而終端時(shí)刻是不確定的。

當(dāng)HGV逐漸接近標(biāo)稱(chēng)螺旋軌跡時(shí)，有Δψ≈ Δθ≈ 0，聯(lián)立式(42)，并利用洛必達(dá)法則可計(jì)算Δψ/Δθ的極限比值

(67)

基于式(43)，采用類(lèi)似的上述推導(dǎo)過(guò)程可獲得縱向制導(dǎo)參數(shù)λ2的自適應(yīng)更新律為

(68)

式中:

Δγ=γf-γ, Δφ=-γf-φ

(69)

參數(shù)κ2> 0為常數(shù)。若以時(shí)間為自變量，則λ2的自適應(yīng)律可表示為

(70)

類(lèi)似地，對(duì)Δγ/Δφ應(yīng)用洛必達(dá)法則

(71)

表明HGV接近終端條件時(shí)，縱向制導(dǎo)參數(shù)λ2的自適應(yīng)更新將停止，此時(shí)λ2維持常值。詳細(xì)的橫縱向制導(dǎo)邏輯以及制導(dǎo)參數(shù)的自適應(yīng)更新條件將在第4節(jié)中詳細(xì)闡述。

理論上，當(dāng)y=s= 0時(shí)，自適應(yīng)律(66)和(70)存在奇異，但在實(shí)際應(yīng)用中，由于HGV尺寸以及制導(dǎo)律更新頻率等因素存在，y=s= 0的情況一般不會(huì)發(fā)生，故對(duì)此奇異點(diǎn)不做處理。除此之外，橫向自適應(yīng)律(66)在HGV穿過(guò)螺旋軌跡時(shí)有Δθ= 0，縱向自適應(yīng)律(70)達(dá)到終端傾角約束時(shí)也有Δφ=0，一種簡(jiǎn)單有效的避過(guò)此奇異的方法是限制λ1和λ2的變化率。

4 螺旋俯沖機(jī)動(dòng)的實(shí)施過(guò)程

根據(jù)3.1節(jié)的分析，制導(dǎo)參數(shù)λ1> 2和λ2> 2時(shí)，螺旋彈道才能穩(wěn)定收斂，因此，需要設(shè)計(jì)相應(yīng)的準(zhǔn)入策略，保證在合適的時(shí)刻滿(mǎn)足該條件。由偏航平面內(nèi)螺旋軌跡的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則知，在末制導(dǎo)段初始時(shí)刻，HGV的位置和速度方向處于理想狀態(tài)，故選λ1的初始值為2，在此之后，將根據(jù)閉環(huán)自適應(yīng)律選擇λ1的值。俯仰平面內(nèi)，當(dāng)式(72)的值

λ2M=(γf-γ)/(γf+φ)

(72)

大于2時(shí)，λ2將依據(jù)閉環(huán)自適應(yīng)律(70)進(jìn)行更新，其更新初始值設(shè)為2。制導(dǎo)參數(shù)自適應(yīng)更新邏輯流程如圖5所示。

由于實(shí)際機(jī)動(dòng)能力限制，如果λ2較遲進(jìn)入更新，則可能導(dǎo)致HGV沒(méi)有足夠的時(shí)間調(diào)整俯沖飛行軌跡以滿(mǎn)足終端約束。故在λ2進(jìn)入自適應(yīng)更新之前，需要選擇合適的λ2的過(guò)渡值，使λ2M的值在適合的時(shí)刻大于2。接下來(lái)對(duì)影響λ2M值的

圖5 末段制導(dǎo)邏輯流程圖Fig.5 Flow chart for terminal guidance logic

相關(guān)參數(shù)進(jìn)行分析。將式(38)代入式(72)可得

γ=(1-λ2M)γf-λ2Marctan(y/s)

(73)

當(dāng)垂直打擊目標(biāo)時(shí)，有γf=-π/2，若取λ2M=2，則可以得到縱向制導(dǎo)參數(shù)λ2進(jìn)入閉環(huán)自適應(yīng)更新時(shí)的最小航跡傾角與高度和剩余航程的關(guān)系。如圖6所示，可以看出：高度不變時(shí)，隨著剩余航程的增加，速度傾角下限值增加；剩余航程不變時(shí)，隨著高度的下降，速度傾角下限值增加。因此，結(jié)合航跡傾角與視線(xiàn)傾角的變化規(guī)律，在λ2M≥ 2時(shí)刻之前，宜采用較緩的飛行軌跡。航跡傾角變化率與虛擬視線(xiàn)傾角變化率比值在0～1之間比較合適，即這一階段λ2∈ (0, 1)。

圖6 最小航跡傾角與高度和剩余航程的關(guān)系Fig.6 Minimum flight-path angle under different altitudes and ranges-to-go

5 數(shù)值仿真與分析

本節(jié)將以針對(duì)靜止目標(biāo)和低速非機(jī)動(dòng)目標(biāo)的仿真來(lái)驗(yàn)證本文制導(dǎo)律的導(dǎo)引效果。HGV的氣動(dòng)參數(shù)可參見(jiàn)文獻(xiàn)[27]。采用一階慣性環(huán)節(jié)描述自動(dòng)駕駛儀的動(dòng)態(tài)特性，其時(shí)間常數(shù)為0.2 s。假定導(dǎo)引頭在飛行過(guò)程中始終能夠捕獲目標(biāo)，但在距離目標(biāo)30 m的距離內(nèi)失盲[28]，導(dǎo)引頭失盲后制導(dǎo)指令維持最后時(shí)刻的值。仿真中，HGV的當(dāng)前狀態(tài)可由龍格庫(kù)塔方法求解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式(1)～式(6)獲得，仿真步長(zhǎng)設(shè)為0.01 s。制導(dǎo)算法以4 Hz的頻率發(fā)送制導(dǎo)指令，當(dāng)距地面的高度小于3 m時(shí)結(jié)束仿真過(guò)程。

5.1 針對(duì)靜止目標(biāo)的仿真結(jié)果

針對(duì)靜止目標(biāo)(位于坐標(biāo)系原點(diǎn))的仿真結(jié)果如表1和圖7、圖8所示。因無(wú)導(dǎo)航誤差，理論上HGV應(yīng)該完美地命中目標(biāo)，但由于攻角和傾側(cè)角變化率和使用范圍、制導(dǎo)指令更新頻率等限制，使命中誤差不為零，如表1所示，最大的脫靶量為0.446 314 m，最大的航跡傾角和航跡偏角誤差分別為0.037 7°和2.115°。然而，制導(dǎo)律的反饋特性和制導(dǎo)參數(shù)的自適應(yīng)更新仍能使最終的誤差滿(mǎn)足要求，表明基于虛擬滑動(dòng)目標(biāo)的制導(dǎo)方法的可行性。在整個(gè)末制導(dǎo)飛行過(guò)程中，飛行彈道光滑平穩(wěn)且控制變量未出現(xiàn)任何震蕩或階躍突變。如圖7(b)所示，偏航平面內(nèi)的地軌跡與對(duì)數(shù)型螺旋軌跡模型幾近吻合，表明本文制導(dǎo)方案能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)虛擬滑動(dòng)目標(biāo)的“跟蹤”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)螺旋俯沖機(jī)動(dòng)。

圖7為螺旋機(jī)動(dòng)突防彈道及其地軌跡，可以看出左旋和右旋彈道高度對(duì)稱(chēng)，圖8中的制導(dǎo)指令、制導(dǎo)參數(shù)、法向過(guò)載等參數(shù)也都呈對(duì)稱(chēng)或吻合性質(zhì)。如圖8(c)所示，在末制導(dǎo)初段，HGV在高空稀薄大氣中飛行，最大可用法向過(guò)載略小于需用法向過(guò)載，且此時(shí)的攻角已達(dá)到最大值，傾側(cè)角約為90°，表明HGV在此階段機(jī)動(dòng)能力稍有不足(圖7(b)中地軌跡出現(xiàn)偏差的原因)。然而，隨著飛行高度下降，氣動(dòng)力變得越來(lái)越顯著，不僅使需用法向過(guò)載得到滿(mǎn)足，還能留出一定的可用過(guò)載裕度，表明HGV的機(jī)動(dòng)能力完全能夠滿(mǎn)足螺旋機(jī)動(dòng)所需的過(guò)載要求。

表1 針對(duì)靜止目標(biāo)的仿真結(jié)果Table 1 Simulation results for stationary target

圖9(a)和圖9(b)分別為HGV的初始航向角為-28°～-36°(間隔2°)和終端航向角約束為-212°、-302°、-392°、-572°和-752°，且其他仿真參數(shù)和約束同上時(shí)的右手螺旋俯沖彈道的地軌跡。結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)的螺旋機(jī)動(dòng)彈道和制導(dǎo)方法能夠根據(jù)初始終端信息規(guī)劃連接目標(biāo)和HGV的螺旋軌跡，并使其按期望的螺旋軌跡飛行，顯示了對(duì)于初始和終端偏差的良好適應(yīng)性能。

綜上表明，本文所提出的制導(dǎo)方法能夠使HGV以很高的精度按期望的對(duì)數(shù)型螺旋軌跡模型飛行，并且滿(mǎn)足落點(diǎn)約束。

圖7 針對(duì)靜止目標(biāo)的螺旋機(jī)動(dòng)彈道Fig.7 Trajectories for intercepting stationary target

圖8 針對(duì)靜止目標(biāo)的仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results for intercepting stationary target

圖9 不同初始/終端約束時(shí)的地軌跡Fig.9 Ground tracks for different initial/final heading angles

5.2 針對(duì)低速移動(dòng)目標(biāo)的仿真結(jié)果

由5.1節(jié)中的仿真結(jié)果知，左手螺旋與右手螺旋彈道的仿真結(jié)果具有很高的相似性，故本小節(jié)只對(duì)右手螺旋彈道進(jìn)行數(shù)值仿真研究，相關(guān)結(jié)果和結(jié)論可推廣至左手螺旋彈道。針對(duì)低速非機(jī)動(dòng)目標(biāo)，終端航跡傾角約束選取為-75°，其他主要仿真參數(shù)和約束條件沿用5.1節(jié)中的設(shè)置。

低速非機(jī)動(dòng)目標(biāo)以(0, 0, 0) 為起點(diǎn)，沿著ψt=13°, 103°, 193°, 283° 4個(gè)方向以16 m/s的速度移動(dòng)，針對(duì)低速移動(dòng)目標(biāo)的仿真結(jié)果如表2和圖10、圖11 所示。最大脫靶量小于1 m，終端航跡傾角和航跡偏角的誤差相對(duì)來(lái)說(shuō)比較大，表明本文制導(dǎo)方法可以應(yīng)用于移動(dòng)目標(biāo)并滿(mǎn)足脫靶量要求，其可行性得到驗(yàn)證。圖10 為針對(duì)低速移動(dòng)目標(biāo)的三維螺旋機(jī)動(dòng)彈道及其地軌跡，容易看出HGV能夠根據(jù)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)適時(shí)調(diào)整飛行軌跡。從圖11(b)還可以看出，偏航平面和俯仰平面內(nèi)的制導(dǎo)參數(shù)λ1和λ2始終保持大于1的值，根據(jù)3.1節(jié)中的分析，末端脫靶量約束能夠得到滿(mǎn)足。當(dāng)ψt=193°, 283° 時(shí)，制導(dǎo)參數(shù)λ2在接近低速移動(dòng)目標(biāo)的過(guò)程中逐漸趨于2的下方，由3.1節(jié) 中的分析可知，理論上此時(shí)終端落角的約束難以得到嚴(yán)格滿(mǎn)足，因此使得落角誤差比較大。導(dǎo)致大誤差是因?yàn)闃?biāo)稱(chēng)的螺旋軌跡隨著目標(biāo)一起運(yùn)動(dòng)，制導(dǎo)指令使HGV跟蹤瞬時(shí)螺旋軌跡，此時(shí)的速度矢量不與標(biāo)稱(chēng)螺旋軌跡相切，由此導(dǎo)致在命中目標(biāo)時(shí)刻引起較大的落角誤差。

表2 針對(duì)低速移動(dòng)目標(biāo)的仿真結(jié)果Table 2 Simulation results for low-speed moving target

圖10 針對(duì)低速非機(jī)動(dòng)目標(biāo)的螺旋機(jī)動(dòng)彈道Fig.10 Trajectories for intercepting low-speed non-maneuvering target

圖11 針對(duì)低速移動(dòng)目標(biāo)的仿真結(jié)果Fig.11 Simulation results for intercepting low-speed moving target

6 結(jié) 論

1) 俯沖段HGV繞目標(biāo)螺旋飛行的數(shù)學(xué)模型呈對(duì)數(shù)螺旋線(xiàn)結(jié)構(gòu)，基于該模型設(shè)計(jì)的虛擬滑動(dòng)目標(biāo)能夠滿(mǎn)足制導(dǎo)需求。

2) 當(dāng)橫縱向制導(dǎo)參數(shù)都大于1時(shí)，HGV與真實(shí)目標(biāo)間的距離以螺旋形式逐漸趨于零。當(dāng)橫縱向制導(dǎo)參數(shù)都大于2時(shí)，HGV的速度矢量逐漸收斂于期望螺旋線(xiàn)軌跡方向，并且滿(mǎn)足終端落角約束。

3) 在準(zhǔn)確地命中靜止或低速移動(dòng)目標(biāo)的前提下，基于虛擬滑動(dòng)目標(biāo)的自適應(yīng)比例導(dǎo)引方法能夠引導(dǎo)HGV實(shí)現(xiàn)螺旋俯沖機(jī)動(dòng)飛行，驗(yàn)證了螺旋俯沖機(jī)動(dòng)突防方案的可行性。

4) 制導(dǎo)參數(shù)的閉環(huán)非線(xiàn)性自適應(yīng)律能夠提高對(duì)期望螺旋俯沖彈道的跟蹤精度以及抗外部干擾的能力。

附錄A:螺旋軌跡參數(shù)的補(bǔ)充說(shuō)明

在1.3節(jié)中只考慮了一般情況下的螺旋軌跡參數(shù)的確定，本節(jié)將補(bǔ)充說(shuō)明射線(xiàn)pM0和pT在斜率不存在時(shí)螺旋軌跡參數(shù)的確定。

斜率k0不存在時(shí)，用1.3節(jié)中的方法可以求得全部螺旋軌跡參數(shù)，主要計(jì)算結(jié)果如下：

(A1)

a=rs0=|x0-xp|

(A2)

(A3)

螺旋軌跡的相對(duì)轉(zhuǎn)角η和終端極角?1的計(jì)算同式(14)和式(15)。

同理，斜率k1不存在時(shí)，主要計(jì)算結(jié)果為

(A4)

(A5)

螺旋軌跡的相對(duì)轉(zhuǎn)角η和終端極角?1的計(jì)算同式(14)和式(15)，螺旋參數(shù)a的計(jì)算同式(19)。

當(dāng)p、M0和T三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)(包含k0和k1同時(shí)不存在的情況)，由幾何關(guān)系易知螺旋軌跡的相對(duì)轉(zhuǎn)角

η=μ

(A6)

其他參數(shù)計(jì)算方法不變。

在p、M0和T三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段M0T與rs0和rs1之間的關(guān)系為

|M0T|=rs0+rs1

(A7)

a=lM0T/(1±e?1cotΛ)

(A8)

式中：當(dāng)M0和T在p的兩側(cè)時(shí)取“+”號(hào)；當(dāng)M0和T在p的同一側(cè)時(shí)取“-”號(hào)。最后可以得出極點(diǎn)坐標(biāo)為

(A9)