二元一次方程不定解的應(yīng)用

◎李勝軍

我們知道，二元一次方程有無窮多個解。雖然二元一次方程的解是不定的，但每一個解是一對未知數(shù)的值，這一對數(shù)具有一定的相關(guān)性，在實(shí)際問題中尤為突出。下面以2018年中考試題為例來說明。

一、利用二元一次方程的非負(fù)整數(shù)解解決問題

例1 （2018·黑龍江）為獎勵消防演練活動中表現(xiàn)優(yōu)異的同學(xué)，某校決定用1200元購買籃球和排球，其中籃球每個120元，排球每個90元。在購買資金恰好用盡的情況下，購買方案有（ ）。

A.4種 B.3種 C.2種 D.1種

【分析】設(shè)購買籃球x個，排球y個，根據(jù)“購買籃球的總費(fèi)用+購買排球的總費(fèi)用=1200”列出關(guān)于x、y的方程，由x、y均為非負(fù)整數(shù)即可得解。

解：設(shè)購買籃球x個，排球y個，根據(jù)題意得120x+90y=1200。

∵x、y均為非負(fù)整數(shù)，

∴購買資金恰好用盡的情況下，購買方案有4種。故選A。

例2 （2018·黃石）小光和小王玩“石頭、剪子、布”游戲，規(guī)定：一局比賽后，勝者得3分，負(fù)者得-1分，平局兩人都得0分。小光和小王都制訂了自己的游戲策略，并且兩人都不知道對方的策略。

小光的策略是：石頭、剪子、布、石頭、剪子、布……

小王的策略是：剪子、隨機(jī)、剪子、隨機(jī)……（說明：隨機(jī)指石頭、剪子、布中任意一個）

例如，某次游戲的前9局比賽中，兩人當(dāng)時(shí)的策略和得分情況如下表：

2 1 3布剪子-1布 3 -石頭剪子3-1 4石頭石頭剪子剪子1 5 剪子3 6布剪子-1局?jǐn)?shù)小光實(shí)際策略小王實(shí)際策略小光得分小王得分局?jǐn)?shù)小光實(shí)際策略小王實(shí)際策略小光得分小王得分局?jǐn)?shù)小光實(shí)際策略小王實(shí)際策略小光得分小王得分0 0 7 石頭0 0 8 剪子剪子3-1石頭-1 3 3 9布剪子-1 3

已知在另一次游戲中，50局比賽后，小光總得分為-6分，則小王總得分為_______分。

【分析】觀察二人的策略可知：每6局一循環(huán)，每個循環(huán)中第一局小光拿3分，第三局小光拿-1分，第五局小光拿0分，進(jìn)而可得出50局中可預(yù)知小光勝9局、平8局、負(fù)8局。設(shè)其他25局中，小光勝了x局，負(fù)了y局，則平了（25-x-y）局，根據(jù)50局比賽后小光總得分為-6分，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程。由x、y、（25-x-y）均為非負(fù)整數(shù)，可得出x=0、y=25，再由勝一局得3分、負(fù)一局得-1分、平局不得分，可求出小王的總得分。

解：由二人的策略可知，每6局一循環(huán)，每個循環(huán)中第一局小光拿3分，第三局小光拿-1分，第五局小光拿0分。

∵50÷6=8（組）…2（局），

∴（3-1+0）×8+3=19（分）。

設(shè)其他25局中，小光勝了x局，負(fù)了y局，則平了（25-x-y）局，根據(jù)題意得

19+3x-y=-6，

∴y=3x+25。

∵x、y、（25-x-y）均為非負(fù)整數(shù)，

∴小王的總得分=（-1+3+0）×8-1+25×3=90（分）。

故答案為90。

二、利用二元一次方程解的整體相關(guān)性解決問題

例3 （2018·臺灣）某商店將巧克力包裝成方形、圓形禮盒出售，且每盒方形禮盒的價(jià)錢相同，每盒圓形禮盒的價(jià)錢相同。阿郁原先想購買3盒方形禮盒和7盒圓形禮盒，但他身上的錢會不足240元。如果改成購買7盒方形禮盒和3盒圓形禮盒，他身上的錢會剩下240元。若阿郁最后購買10盒方形禮盒，則他身上的錢會剩下多少元？（ ）。

A.360 B.480 C.600 D.720

【分析】設(shè)每盒方形禮盒x元，每盒圓形禮盒y元，根據(jù)阿郁身上的錢數(shù)不變得出方程3x+7y-240=7x+3y+240，化簡整理得y-x=120。那么阿郁最后購買10盒方形禮盒后身上的錢會剩下（7x+3y+240）-10x，化簡得3（y-x）+240，將y-x=120代入進(jìn)行計(jì)算即可。

解：設(shè)每盒方形禮盒x元，每盒圓形禮盒y元，則阿郁身上的錢有（3x+7y-240）元或（7x+3y+240）元。根據(jù)題意得

3x+7y-240=7x+3y+240。

化簡整理，得y-x=120。

若阿郁最后購買10盒方形禮盒，則他身上的錢會剩下：（7x+3y+240）-10x=3（y-x）+240=3×120+240=600（元）。故選：C。