分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的拉格朗日穩(wěn)定性

陳 沖，胡 蝶，丁芝俠

武漢工程大學(xué)電氣信息學(xué)院，湖北 武漢 430205

基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)描述了基因和蛋白質(zhì)之間的某種復(fù)雜聯(lián)系，已經(jīng)得到了深入的發(fā)展，并在化學(xué)、生物科學(xué)、醫(yī)學(xué)、工程科學(xué)、數(shù)學(xué)等領(lǐng)域存在著廣闊的應(yīng)用前景［1-4］。生物體對外部信號的響應(yīng)是通過基因網(wǎng)絡(luò)的高連通性和復(fù)雜性實現(xiàn)的，而基因網(wǎng)絡(luò)的特性又與基因預(yù)編碼相關(guān)聯(lián)；細(xì)胞內(nèi)脫氧核糖核酸構(gòu)成的染色體，其包含了生物體隨外界環(huán)境生長所需要的各種信息，更與有機(jī)體中的復(fù)雜機(jī)制、生理調(diào)節(jié)等功能密切相關(guān)，因此它在生物醫(yī)學(xué)方面扮演著重要的角色［2-5］。由此看來，對基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的研究顯得尤為重要。

傳統(tǒng)的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)是通過整數(shù)階微分系統(tǒng)描述的，但由于整數(shù)階算子具有局限的特征，而且缺乏對系統(tǒng)記憶性和遺傳性的精確描述，故引入分?jǐn)?shù)階微積分算子，建立了新型的分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)。目前，關(guān)于分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的研究已存在：Zhang等［3］利用Jensen不等式、Wirtinger不等式、分?jǐn)?shù)階李亞普諾夫方法和積分中值定理，給出了時滯分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（fractional-order gene regulatory networks，F(xiàn)GRN）穩(wěn)定性分析的新判據(jù)；Ren等［6］利用李亞普諾夫方法建立了這類網(wǎng)絡(luò)的Mittag-Leffler穩(wěn)定性和廣義Mittag-Leffler穩(wěn)定性的判據(jù)，證明了基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性；Zhang等［7］提出了基于擴(kuò)展分?jǐn)?shù)卡爾曼濾波（extended fractional Kalman filter，EFKF）的分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控算法來估計模型的隱含狀態(tài)和未知的靜態(tài)參數(shù)，這些成果都為深入研究生物系統(tǒng)中基因之間的潛在調(diào)控關(guān)系提供了思路。

在實際的應(yīng)用中，為了研究系統(tǒng)的多穩(wěn)定性，拉格朗日穩(wěn)定性的定義得到了廣泛的應(yīng)用［8-12］。拉格朗日穩(wěn)定性是基于考慮系統(tǒng)解的有界性和全局吸引集的存在性，考慮的是系統(tǒng)的整體穩(wěn)定性，而并非平衡點的穩(wěn)定性［13］。目前，對分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的拉格朗日穩(wěn)定性的研究不多，但無論從理論角度還是應(yīng)用角度來看，對基于分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的拉格朗日穩(wěn)定性的研究是尤為重要的。本文考慮了微分階0＜α＜1為情況下的分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。通過運(yùn)用拉普拉斯變換、卷積公式及Mittag-Liffter函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)出了系統(tǒng)微分階0＜α＜1情況下的拉格朗日穩(wěn)定性判據(jù)，同時，所得結(jié)論在整數(shù)階α=1的情況下仍然成立。分析系統(tǒng)拉格朗日穩(wěn)定性，有助于在優(yōu)化計算、聯(lián)想記憶、混沌控制等方面縮小搜尋范圍，為應(yīng)用提供便利［13］。

1 概 述

分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階常微積分的一種推廣，其主要優(yōu)點在于對系統(tǒng)記憶性和遺傳性的精確描述，同時也能較好的揭示出系統(tǒng)的本質(zhì)特征［13］。本文主要將Caputo分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用于基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)。因此，在本節(jié)，將會給出Caputo分?jǐn)?shù)階微積分的定義及引理。

定義1［14］Caputo分?jǐn)?shù)階微分可以定義為：

設(shè) α＞0， t＞t0，X(t)∈Cn+1[t0，+∞]，同時，n是正整數(shù)，滿足 n-1＜α＜n，則其中，Γ(·)表示的是 gamma函數(shù)，其定義如下：

特別的，0＜α＜1時，有：

定義2［14］Caputo分?jǐn)?shù)階積分可以定義為：

設(shè) α＞0，t＞t0，則

定義3［14］兩個參數(shù)的Mittag-Leffler函數(shù)定義：設(shè) α＞0，β＞0，x∈C ，則

特別地，β=1時，有：

Mittag-Leffler函數(shù)的k階導(dǎo)數(shù)有：

其中k為正整數(shù)。

特別地，β=1時，有：

定義4［14］設(shè)函數(shù) f(t)在 [0，+∞]上有定義，如果對于復(fù)參變量s=β+jw，積分在復(fù)平面的某一區(qū)域內(nèi)收斂，則F(s)稱為函數(shù)f(t)的Laplace變換，記為 L[f(t)]=F(s)。

則有：

其中 n-1＜α＜n，n∈N+，*表示卷積符號。

引理1［15］（Ⅰ）對任意 0＜α＜1，存在不小于1的實常數(shù) M1，M2，使得

（Ⅱ）當(dāng) β=1，2，…，α若 α≥1，則

其中 ||·||表示范數(shù)。

2 模型的描述

分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的模型為：

其中 i=1，2，3…，n，0＜α＜1，ri＞0和 wi＞0分別表示的是mRNA的降解速率和蛋白質(zhì)的降解速率；mi(t)和 pi(t)分別表示第i個基因的mRNA的濃度和蛋白質(zhì)的濃度；li表示第i個基因的蛋白質(zhì)合成速率；hi[p1(t)，p2(t)…pn(t)]是一個非線性函數(shù)，常被稱為基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的一個光滑函數(shù)。為研究方便，定義：

本文主要基于分?jǐn)?shù)階微積分理論，將其記憶性和遺傳性的性質(zhì)應(yīng)用于基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)，使得分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的模型更符合實際研究的情況。

定義5 拉格朗日漸近穩(wěn)定的定義［16］：

如果存在正常數(shù)ξ1和ξ2，使得式(3)的任意解f(t，t0，f0)和 g(t，t0，g0)滿足

即，存在一個常數(shù) T(t，t0，g0)，在 t≥ t0+T(t，t0，f0，g0)時，有 ||f(t，t0，f0)||≤ ξ1和 ||g(t，t0，g0)||≤ ξ2成立，則稱系統(tǒng)是拉格朗日漸近穩(wěn)定。

3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

通過運(yùn)用拉格朗日漸近穩(wěn)定性理論，主要討論分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。

定理1：如果存在正常數(shù) ?，使得 ||hi[p1(t)，p2(t)，…，pn(t)]||≤?，則稱系統(tǒng)是拉格朗日漸近穩(wěn)定的。

證明：設(shè)mi(t0)和 pi(t0)是系統(tǒng)的初值，將式（3）進(jìn)行拉普拉斯變化，有

其 中 ：Mi(s)=L[mi(t)]，Pi(s)=L[pi(t)]，Hi(s)=L{hi[p1(t)，p2(t)，…，pn(t)]}

對式（4）進(jìn)行化簡有：

式（5）進(jìn)行反拉普拉斯變換，則需要考慮ri≠wi和 ri=wi兩種情況。

情況1：ri=wi，式（5）進(jìn)行反拉普拉斯變換有：

根據(jù)引理1，有：

其中 MEα

和 MEα，α均為不小于1的常數(shù)。則對于mi(t)：

對于 pi(t)：

即在情況1的條件下，系統(tǒng)是拉格朗日漸近穩(wěn)定的。

情況2：ri≠wi，式(5)進(jìn)行反拉普拉斯變換有：

則mi(t)與情況1一致，即存在正常數(shù)υ2，使得

對于 pi( t)有：

同理，存在正常數(shù)u2，使得，綜上兩種情況可知，在t→∞時，存在正常數(shù)υ=max{υ1，υ2} 和 u=max{u1，u2} 使 得 ||mi(t)||≤ υ和||pi(t)||≤u成立，則系統(tǒng)是拉格朗日漸近穩(wěn)定。

4 數(shù)值仿真

通過一個仿真實例驗證了系統(tǒng)拉格朗日漸近穩(wěn)定判據(jù)的有效性。以分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)具有SUM邏輯為例，即有的表達(dá)式如下：

當(dāng)基因i受到轉(zhuǎn)錄因子 j的激活時，式（14）是成立的；當(dāng)基因i受到轉(zhuǎn)錄因子 j的抑制時，式(15)成立。其中rij表示的是轉(zhuǎn)錄因子 j到i的無量綱轉(zhuǎn)錄速率；λi正數(shù)被稱為Hill系數(shù)；σj是一個正常數(shù)［17］。即存在，使得 ||hi(t)||≤?。

式（16）中對應(yīng)式（3）中的參數(shù)分別為：h1=；式（17）對應(yīng)的參數(shù)為：。顯然，通過式(16)和式(17)可以觀察到是有界的。通過采用迭代法進(jìn)行近似計算，使用MATLAB進(jìn)行數(shù)值仿真，不妨取 α=0.2，初值條件為(m1(0)，m2(0)，p1(0)，p2(0))= (10，10，10，10) ，則 圖1（a）清晰的顯示mRNA狀態(tài)和圖1（b）顯示蛋白質(zhì)的狀態(tài)。通過圖像分析，可以得出該系統(tǒng)是拉格朗日漸近穩(wěn)定。為了更具有說服力，而加入的另外兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值仿真，如圖2、圖3和圖4所示（其中圖2的微分階為0.5，初值條件為(m1(0)，m2(0)，p1(0)，p2(0))=(15，25， 26，50) ；圖3 的微 分 階 為 0.8，初 值 條 件 為 (m1(0)，m2(0)，p1(0)，p2(0))=(10，20，30，40)；圖4 的微分階為1初值 條 件 為 m1(0)，m2(0)，p1(0)，p2(0)= (15，20，25，50)，圖1（a）、圖2（a）、圖3（a）和圖4（a）分別描述了系統(tǒng)微分階數(shù)為0.2、0.5、0.8、1的mRNA濃度的狀態(tài)軌跡，可觀測出系統(tǒng)mRNA濃度的變化趨近于某一常數(shù)，可得出系統(tǒng)mRNA的變化是拉格朗日穩(wěn)定的；同理，圖1（b）、圖2（b）、圖3（b）和圖4（b）分別描述了系統(tǒng)微分階數(shù)為0.2、0.5、0.8、1的蛋白質(zhì)濃度的狀態(tài)軌跡，可觀測出系統(tǒng)蛋白質(zhì)濃度的變化趨近于某一常數(shù)，可得出系統(tǒng)蛋白質(zhì)的變化是拉格朗日穩(wěn)定的。

圖1 α=0.2的mRNA和蛋白質(zhì)的濃度狀態(tài)軌跡：（a）mRNA，（b）蛋白質(zhì)Fig.1 State trajectory of mass concentration of mRNA and protein（α =0.2）：（a）mRNA，（b）protein

圖2 α=0.5的mRNA和蛋白質(zhì)的濃度狀態(tài)軌跡：（a）mRNA，（b）蛋白質(zhì)Fig.2 State trajectory of mass concentration of mRNA and protein（α =0.5）：（a）mRNA，（b）protein

圖3 α=0.8的mRNA和蛋白質(zhì)的濃度狀態(tài)軌跡：（a）mRNA，（b）蛋白質(zhì)Fig.3 State trajectory of mass concentration of mRNA and protein（α =0.8）：（a）mRNA，（b）protein

圖4 α=1的mRNA和蛋白質(zhì)的濃度狀態(tài)軌跡：（a）mRNA，（b）蛋白質(zhì)Fig.4 State trajectory of mass concentration of mRNA and protein（α =1）：（a）mRNA，（b）protein

5 結(jié) 語

分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)作為一類新型的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，真實地反映了系統(tǒng)的本質(zhì)特性。本文針對分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)，采用放縮原理、拉普拉斯變換和卷積公式，證明了0＜α＜1的Caputo分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的拉格朗日漸近穩(wěn)定，并通過MATLAB進(jìn)行數(shù)值仿真，驗證所得判據(jù)的有效性。此外，所得結(jié)論在整數(shù)階數(shù)α=1仍然成立。