基于小波Mallat算法重構(gòu)閾值分析

李天祥 白林林 王光斌

摘要：數(shù)字圖像的有效去噪是圖像處理的重要環(huán)節(jié)， 本文主要研究了利用小波變換和軟閾值方法對(duì)數(shù)字圖像去噪的算法。主要通過(guò)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)圖像進(jìn)行快速分解和重構(gòu)，對(duì)原始圖像和生成圖像之間的關(guān)系進(jìn)行分析，目的找出如何生成更高質(zhì)量的效果圖，圖像分解過(guò)程中利用小波二次差值分析方法分解圖像，利用圓周函數(shù)卷積方法對(duì)圖像進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)過(guò)程中，主要考慮重構(gòu)圖像之間的峰值信噪比（PSNR）和原圖像與處理圖像之間均方誤差之間（RMSE）的關(guān)系，并通過(guò)設(shè)置不同閾值參數(shù)（threshold），壓縮比忽略程度（rate）越小，分解重構(gòu)后，信噪比也就越高，重構(gòu)后的圖像更符合人的視覺(jué)系統(tǒng)特性。

關(guān)鍵詞： 重構(gòu)；二次差值；峰值信噪比；閾值

中圖分類(lèi)號(hào)：TP301 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2019）10-0243-03

開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Algorithm Analysis of Mallat based on Wavelet Reconstruction Threshold

LI Tian-xiang1 ，BAI Lin-lin1 ，WANG Guang-bin3

（1.Sichuan Changjiang Vocational College， Chengdu 610000， China； 2.University of Electronic Science and Technology Institute of Chengdu， Chengdu 610000， China）

Abstract：The effective denoising of digital image is an important part of image processing. This paper mainly studies the algorithm of digital image denoising using wavelet transform and soft thresholding.Based on the standard image fast decomposition and reconstruction， based on the original image and generating images were analyzed， and the relationship between the purpose to find out how to generate higher quality rendering， image decomposition in the process of using wavelet decomposition image quadratic differential analysis method， using the circular function convolution method for image reconstruction， reconstruction process， the main consideration between reconstructed image peak signal-to-noise ratio （PSNR） and mean square error between original image and processing image （RMSE） relationship between， and by setting the ratio（threshold） of the relationship between the two， the smaller the degree of compression ratio to ignore （rate）， decomposition after reconstruction， the higher the SNR ，the image reconstruction more accord with human visual system characteristics.

Key words：reconsitution； two difference value； PSNR； threshold value

隨著計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)的快速發(fā)展，圖形圖像處理技術(shù)獲得了飛速發(fā)展。圖形圖像處理過(guò)程中最重要環(huán)節(jié)是去除圖像的噪聲，其結(jié)果會(huì)直接影響到圖像質(zhì)量和特征提取的精確性?，F(xiàn)實(shí)中，由于獲取圖像的環(huán)境、設(shè)備及傳輸過(guò)程存在許多不確定因素，這將對(duì)后續(xù)圖像的處理（如特征提取、圖像壓縮和信號(hào)檢測(cè)等）產(chǎn)生不利影響[1]?；谛〔ㄗ儞Q的圖像去噪算法研究一直是國(guó)內(nèi)外圖像處理界研究的重點(diǎn)之一。圖像分析和理解首先應(yīng)考慮對(duì)噪聲的處理，因此圖像的有效去噪是圖像信息預(yù)處理的重要步驟，在近幾十年的國(guó)內(nèi)外研究中，涌現(xiàn)出了大量的圖形去噪算法和模型，主要有：高斯濾波、中值濾波、小波變換和DCT變換濾波、各向異性擴(kuò)散方程模型、全變分模型、雙邊濾波、非局部平均濾波等[2]，本文主要研究了利用小波變換和軟閾值方法對(duì)數(shù)字圖像去噪的算法。經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)顯示，該算法能夠取得良好的去噪效果，避免了傳統(tǒng)算法的不足。

小波變換被廣泛地應(yīng)用在圖像處理的各個(gè)環(huán)節(jié)，由于小波在處理圖像局部特征和多尺度（S.Mallat）[3]在研究圖像處理工程提出來(lái)的特點(diǎn)，因此在圖形圖像中有廣泛的應(yīng)用，本文主要討論了多尺度分析在圖像合成和分解過(guò)程中，閾值的選擇問(wèn)題進(jìn)行分析。通過(guò)對(duì)閾值的選取與評(píng)估，并對(duì)小波系數(shù)的統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行了分析比較。Mallat[4]還提出了一種簡(jiǎn)單的正交小波基構(gòu)造方法即Haar正交基。蔣英春[5]通過(guò)選取信噪比（PSNR），均方誤差（RMSE） 和剩余噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差（RNSD） 三者之間的關(guān)系，分析對(duì)圖像去噪后，PSNR越大，RMSE和RNSD比值越小，則去噪信號(hào)就越接近原始信號(hào)，去噪效果和質(zhì)量就越好。小波變換的優(yōu)勢(shì)在于細(xì)節(jié)的處理，能夠自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)的要求，解決時(shí)間和空間頻率局部化分析細(xì)節(jié)[6]。對(duì)于小波理論的應(yīng)用非常廣泛，在數(shù)字水印圖案的應(yīng)用上，ROI區(qū)域視覺(jué)質(zhì)量進(jìn)行保護(hù)抗低通濾波、抗幾何攻擊數(shù)字水印方案[7]。

1基于小波Mallat重構(gòu)原理

1.1小波變換的定義

1.2小波變換的分解原理

自然函數(shù)包括許多跳躍間斷點(diǎn)，斑點(diǎn)噪聲的乘性噪聲模型在頻率域的表現(xiàn)特征比較復(fù)雜，處理閾值的方式也會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的情況[8]，因此我們選擇對(duì)灰度lena標(biāo)準(zhǔn)圖像處理，該圖像包含了各種細(xì)節(jié)、平滑區(qū)域、陰影和紋理，進(jìn)行小波變換。

Mallat 算法[9]王佳在論文中探討了基于循環(huán)卷積的單級(jí)小波分解與重構(gòu)。通過(guò)先構(gòu)造一定的函數(shù)空間，將信號(hào)F（t）分解到函數(shù)空間中進(jìn)行一定的計(jì)算，獲取你想要得到的成對(duì)采樣空間，Mallat小波分解算法圖1和小波重構(gòu)算法圖2。

在對(duì)二維離散圖像進(jìn)行小波變換時(shí)，對(duì)每行（列）分別調(diào)用一維離散小波變換的 Mallat[10] 快速算法子程序，先對(duì)行進(jìn)行分解（c 平滑分量，d 差值分量），如圖 1，再對(duì)列進(jìn)行分解從而得到二維離散信號(hào)的一級(jí)分解，如圖 2；再對(duì)新得到的 cc 區(qū)域重新進(jìn)行 Mallat 分解，重復(fù)此過(guò)程從而得到二維離散圖像的多級(jí)分解效果如圖 3。再對(duì)二維圖像進(jìn)行重建過(guò)程中，與分解過(guò)程完全相反，先對(duì)最后一級(jí)的列進(jìn)行重建，再對(duì)其行進(jìn)行重建后得到上一級(jí)的 cc，重復(fù)此過(guò)程直到所有的級(jí)全部重建即得到重建恢復(fù)后的圖像。從0級(jí)圖片分解到1級(jí)分解，到2級(jí)分解過(guò)程，通過(guò)不斷的抽樣，將差值分量存入輸出序列，將平滑分量賦給中間變量，不斷重復(fù)該過(guò)程，直到將最后一級(jí)平滑分量存入輸出序列，分解過(guò)程中具有多層塔式結(jié)構(gòu)文獻(xiàn)[11]給出證明，分層結(jié)構(gòu)圖如圖4所示：

通過(guò)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)lena圖像分解后，調(diào)用小波函數(shù)數(shù)據(jù)包，小波基（30db），通過(guò)參數(shù)設(shè)置為高通濾波（細(xì)節(jié)分量）還是低通濾波函數(shù)（近似信號(hào)），并將增零方式，便于增大分辨率便于觀察圖像細(xì)節(jié)，調(diào)用傅立葉變化對(duì)細(xì)節(jié)分量和近似分量單獨(dú)重構(gòu)，對(duì)其他分量置為零的方式，如圖5所示，崔麗鴻等人將被分解來(lái)取代對(duì)加細(xì)函數(shù)的符號(hào)分解[12] ，通過(guò)小波包的構(gòu)造函數(shù)，對(duì)自適應(yīng)插值給出較好的處理方法。

1.3 小波分析的重構(gòu)算法

兩個(gè)函數(shù)的圓周卷積是由他們的周期延伸所來(lái)定義的。通過(guò)對(duì)函數(shù)平移某個(gè)周期 T 的整數(shù)倍后再全部加起來(lái)，所產(chǎn)生的新函數(shù)，可以有效地降低濾波器的邊緣過(guò)濾檢測(cè)效果，F(xiàn)ukuda[13]對(duì)通過(guò)閾值處理，按照小波系數(shù)為中心點(diǎn)，構(gòu)建3*3像素的窗口，若該窗口內(nèi)包括非零數(shù)值元素，則保留小波的幅值，反之，則小波幅值減去該閾值，較好地處理濾波器的長(zhǎng)度和待處理的信號(hào)長(zhǎng)度之間的關(guān)系。

1.4 圓周卷積的算法

一個(gè)序列變成L點(diǎn)周期延拓序列，[x2（n）]，[yl（n）]以L為周期的周期延拓序列的主值序列。因?yàn)閇yl（n）]有[N1+N2-1]個(gè)非零值，所以延拓周期L必須滿(mǎn)足：[L≥N1+N2-1]。這時(shí)各延拓周期才不會(huì)交疊，而[y（n）]的前[N1+N2-1]個(gè)值正好是[y（n）]的全部非零序列值，即[yl（n）]的值。[y（n）]剩下的[L-（N1+N2-1）]個(gè)零值。周期延拓，有效地減少濾波器的邊緣效應(yīng)。本文算法通過(guò)將最終將離散的信號(hào)經(jīng)過(guò)理由利用圓周卷積定律實(shí)現(xiàn)，通常將離散信號(hào)添加0補(bǔ)齊成為N個(gè)點(diǎn)，然后對(duì)N點(diǎn)進(jìn)行傅立葉計(jì)算。對(duì)標(biāo)準(zhǔn)圖像重構(gòu)的效果如圖6所示。

2 小波重構(gòu)閾值的選擇

在小波變換域?qū)π〔ㄏ禂?shù)進(jìn)行閾值處理， Donoho[14]基于正交離散小波變換推導(dǎo)出來(lái)的通用閾值求法，對(duì)于不同的小波基，選擇的閾值不一樣，對(duì)于圖像的噪聲類(lèi)型不同閾值也會(huì)隨之改變。提取小波分解結(jié)構(gòu)中的一層的低頻系數(shù)和高頻系數(shù)，一種評(píng)價(jià)圖像的客觀標(biāo)準(zhǔn)。

（7）

其中，MSE（MeanSquareError）是原圖像與處理圖像之間均方誤差。圖像重構(gòu)之前，先被壓縮，壓縮后系數(shù)為零或者接近為零，由巴塞瓦定理[15]知道這些圖像的能量為零，存儲(chǔ)過(guò)程中，忽略這些能量為零的點(diǎn)，達(dá)到圖像壓縮存儲(chǔ)的效果，重構(gòu)過(guò)程中，要將這些為零的像素點(diǎn)，所占的總的像素點(diǎn)的數(shù)量，來(lái)權(quán)衡壓縮比例大小，重建的最終目的就是將這些為零的像素點(diǎn)還原的過(guò)程，本文算法通過(guò)設(shè)置統(tǒng)計(jì)系數(shù)絕對(duì)值為零的點(diǎn)占總的變換后全部系數(shù)之間的比值或者說(shuō)（零的個(gè)數(shù)占總的像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)的比值）通過(guò)參數(shù)threshold來(lái)表示，相應(yīng)的分析 MSE和PSNR之間關(guān)系。并對(duì)分解后的圖像進(jìn)行重建，效果如圖7，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)PSNR值越大，通過(guò)公式（7）得出MSE越小，像素失真越少，越接近原始圖像，畫(huà)質(zhì)效果更佳。

通過(guò)設(shè)置變量threshold，設(shè)置指令im（abs（y）< threshold）=0；分別設(shè)置threshold為（ 0.0001，0.001，0.01，0.1）進(jìn)行比較，比較圖A-D 對(duì)圖像重構(gòu)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，由于壓縮比忽略程度rate（忽略系數(shù)與總的系數(shù)的比值）不同，導(dǎo)致重建圖像細(xì)節(jié)發(fā)生了不同程度的失真。表1內(nèi)容，當(dāng)忽略的系數(shù)占的rate的值為0.73%時(shí)，壓縮程度不高，峰值信噪比較高，最小均方誤差很小，重建圖像也比較理想；當(dāng)忽略的系數(shù)占的rate的值為90.35%時(shí)，壓縮程度高，但峰值信噪比低，最小均方誤差大，重建圖像細(xì)節(jié)變差，雖然在視覺(jué)中差異不大，畢竟PSNR的分?jǐn)?shù)無(wú)法和人眼看到的視覺(jué)品質(zhì)完全一致。

3結(jié)論

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，主要對(duì)標(biāo)準(zhǔn)圖像分解和重構(gòu)，下一步將圖像的范圍擴(kuò)轉(zhuǎn)到更多自然圖像中，在重構(gòu)過(guò)程中，通PSNR和MSE之間關(guān)系，設(shè)置threshold比例參數(shù)，找到合適閾值對(duì)圖像重構(gòu)，與蔣英春[5]研究結(jié)論P(yáng)SNR，RMSE 和RNSD討論的三者之間關(guān)系是相似的，構(gòu)造較高質(zhì)量的圖片需要折中考慮。最終也是小波函數(shù)的消失矩，消失矩越高，將使小波變換之后的高頻小波系數(shù)越小，小波分解后的能量也就越集中，但并不是消失矩的階數(shù)越高越好，通過(guò)設(shè)置不同的閾值，最終達(dá)到更符合視覺(jué)圖像的效果圖。

參考文獻(xiàn)：

[1]王靜，王晅，蔣平.基于統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)試的噪聲方差估計(jì)方法[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2014（21）.

[2]王蓓.基于小波變換的圖像去噪算法研究與應(yīng)用[D].延安大學(xué)，2015.

[3] MALLATS.信號(hào)處理的小波導(dǎo)引： 稀疏方法[M].戴道清，楊力華，譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012.

[4] Mallat， S. G.， A theory for multiresolution signal decomposition： the wavelet representation. I.E.E.E. Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1998

[5] 蔣英春. 離散空間中正交小波分解重構(gòu)算法的實(shí)現(xiàn)[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2013（2）：420-422.

[6] 李杰. 圖像的方向多尺度分析及其應(yīng)用研究[D].電子科技大學(xué)，2007.

[7] 張國(guó)偉.基于小波變換的圖像去噪方法研究[J].昆明理工大學(xué)，2014.

[8] 劉春雪.基于小波變換的手機(jī)相機(jī)圖像去噪算法研究[D].東南大學(xué)，2016.

[9] 王佳.Mallat算法中有限長(zhǎng)信號(hào)邊界處理問(wèn)題的研究與應(yīng)用. Diss. 北京交通大學(xué)，2010.

[10] 張洋.基于小波分解的計(jì)算機(jī)圖像去噪算法[J]. 電子科技，2016，（08）：103-105.

[11] 任敏善.基于小波變換的圖像融合算法研究[J]. 艦船電子工程，2015，（04）：47-50.

[12] 崔麗鴻，張新敬. L～2（R～s）中插值小波包的分裂技巧和精細(xì)分解（英文）[J]. 數(shù)學(xué)雜志，2005，25（3）：259-264.

[13] Fukuda， S. And Hirosawa， H. Suppression of speckle in synthetic aperture radar images using wavelet. International Journal of Remote Sensing，1998，19（3）：507-519.

[14] Donoho D，Johnstone I， Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage，Technical Report， Department of Statistics， Stanford University，1992.

[15] Curlander J C and McDonough R.Synthetic Aperture Radar System and Singal Processing，NY.Wiley，1991.

【通聯(lián)編輯：唐一東】