高考中的四點(diǎn)共圓問(wèn)題

于志洪

2011年高考全國(guó)卷亞第21題、2005年湖北卷（理科）第21題和2002年江蘇卷（理科）第20題均為圓錐曲線與四點(diǎn)共圓相結(jié)合的高考題.由于試題難度大，知識(shí)面廣，因而同學(xué)們解答較困難.為攻克這一難點(diǎn)，幫助同學(xué)們掌握解析法證明四點(diǎn)共圓的方法，本文現(xiàn)以一道調(diào)研試題為例說(shuō)明如下，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考.

題目：求證：兩橢圓b2x2+a2y2-a2b2=0和a2x2+b2y2-a2b2=0的交點(diǎn)在以原點(diǎn)為中心的圓周上，并求這個(gè)圓的方程.（2018年威海市高三教學(xué)調(diào)研試題）

證法一：本題根據(jù)“相加法”得到一個(gè)圓方程，再說(shuō)明四點(diǎn)共圓.

b2x2+a2y2-a2b2=0?（1）

a2x2+b2y2-a2b2=0?（2）

所以四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)必須同時(shí)滿足方程（1）和（2），把（1）和（2）相加得：

（a2+b2）x2+（a2+b2）y2-2a2b2=0這是一個(gè)圓的方程，x2+y2=2a2b2a2+b2即題設(shè)的四點(diǎn)共圓，圓心為原點(diǎn)，半徑為2aba2+b2.

證法二：解方程組b2x2+a2y2-a2b2=0a2x2+b2y2-a2b2=0的四個(gè)交點(diǎn)的：

A（-aba2+b2，aba2+b2）;

C（aba2+b2，-aba2+b2）;

B（-aba2+b2，-aba2+b2）;

D（aba2+b2，aba2+b2）;

所以|AO|=|BO|=|CO|=|DO|=2aba2+b2.故這四點(diǎn)都在以原點(diǎn)為圓心，以2aba2+b2為半徑的圓上.故所求圓的方程為：x2+y2=（2aba2+b2）2，

即（a2+b2）x2+（a2+b2）y2-2a2b2=0.

注意：本法根據(jù)“四點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都相等”而證明之.

證法三：由證法二已得到四個(gè)交點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)，設(shè)過(guò)其中任意三點(diǎn)（如A，B，C）的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)依次代入上面的方程，得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的三元一次方程組：aba2+b2D-aba2+b2E-（a2+b2）F-2a2b2=0aba2+b2D+aba2+b2E-（a2+b2）F-2a2b2=0aba2+b2D-aba2+b2E+（a2+b2）F+2a2b2=0

解這個(gè)方程組得：D=0，E=0，F(xiàn)=-2a2b2a2+b2，

于是得到所求圓的方程為x2+y2-2a2b2a2+b2=0，即（a2+b2）x2+（a2+b2）y2-2a2b2=0，把D點(diǎn)坐標(biāo)代入所求圓的方程得（a2+b2）·（aba2+b2）2+（a2+b2）（aba2+b2）2-2a2b2=0，所以D點(diǎn)坐標(biāo)滿足所求圓的方程，故A，B，C，D四點(diǎn)共圓.

注意：本法根據(jù)“先建立一個(gè)圓的方程，再說(shuō)明其余各點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程”而證明之.

如果要證明五個(gè)點(diǎn)或更多的點(diǎn)共圓，可先求得四個(gè)點(diǎn)共圓的方程，再證明其余各點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程即可.證明四點(diǎn)共圓，應(yīng)用解析法證明時(shí)，還可證明“對(duì)角互補(bǔ)，四點(diǎn)共圓.”現(xiàn)再以一道高考題為例說(shuō)明如下：

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：x2+y22=1在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為-2的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OA+OB+OP=0.

（1）證明：點(diǎn)P在C上;

（2）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A，P，B，Q四點(diǎn)在同一圓上.（2011年高考全國(guó)卷Ⅱ第21題）

證明：（1）由題意，直線l：y=-2x+1與橢圓方程x2+y22=1聯(lián)立得：4x2-22x-1=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）則x1=2-64，x2=2+64，x1+x2=22，y1+y2=-2（x1+x2）+2=1.由OA+OB+OP=0，得P（-（x1+x2），-（y1+y2）），

所以P的坐標(biāo)為（-22，-1），

由于（-22）2+（-1）22=1，所以點(diǎn)P在C上.

（2）方法1：由（1）知A（2-64，1+32），

B（2+64，1-32），P（-22，-1），Q（22，1），

所以：kPA=22+6，kPB=22-6，

kQA=-22+6，kQB=-22-6.

由夾角公式有：

tan∠APB=kPA-kPB1+kPAkPB

=22+6-（22-6）1+（22+6）（22-6）=263，

tan∠AQB=kQB-kQA1+kQAkQB

=-22-6-（-22+6）1+（-22-6）（-22+6）=-263，

所以tan∠APB=-tan∠AQB.

所以∠APB，∠AQB互補(bǔ)，因此A，P，B，Q四點(diǎn)在同一圓上.

方法2：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（24，12），

則過(guò)線段AB的中點(diǎn)且垂直于AB的直線方程為：

y=22x+14?①

過(guò)線段PQ的中點(diǎn)且垂直于PQ的直線方程為：

y=-22x?②

①②聯(lián)立方程組，得x=-28，y=18，

即交點(diǎn)就是圓心O1（-28，18），

r2=|O1P|2=9964.

故過(guò)P，Q兩點(diǎn)圓的方程為：

（x+28）2+（y-18）2=9964?③

將y=-2x+1代入③，

有x1+x2=22，y1+y2=1，

∴A，B也是在圓③上的.

∴A，P，B，Q四點(diǎn)在同一圓上.