三角換元技巧與多元函數(shù)最值

房園園

三角換元技巧是一種用三角函數(shù)代替問題中的字母，然后利用三角函數(shù)之間的關(guān)系解決問題的一種代換方法，此法應(yīng)用廣泛，本文僅就這種方法在求解多元函數(shù)最值問題中的應(yīng)用，精選部分高考和競賽數(shù)學(xué)題為例說明如下.

一、解最大值問題

例1?（2015年第二十六屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二第1試第3題）當(dāng)x≥0，y≥0時，函數(shù)f（x，y）=x2-y2+y3-x2的最大值是（??）.

A.2??B.3??C.6??D.23

分析：本題直接求函數(shù)的最大值，比較繁瑣，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，尤其結(jié)合根號內(nèi)的代數(shù)式，通過三角換元，結(jié)合sin2θ+cos2θ=1，使問題的解答順暢明了.

解：設(shè)x=3sinα，y=2sinβ，（0≤α≤π2，0≤β≤π2），所以2-y2=2-2sin2β=2cosβ，3-x2=3cosα.則f（x，y）=3sinα·2cosβ+2sinβ·3cosα=6sin（α+β），因此當(dāng)α+β=π2時，f（x，y）max=6.故選C.

點(diǎn)評：這是一道二元無理函數(shù)的最值問題，通過巧妙配湊系數(shù)后，借助sin2θ+cos2θ=1，巧妙利用三角換元，將無理函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)變?yōu)槿呛瘮?shù)的化簡求最值問題，自然流暢地應(yīng)用正弦函數(shù)的有界性求得結(jié)果.其解法簡捷明了，其思路順理成章，真可謂匠心獨(dú)具，別有洞天，令人耳目一新.

例2?（2014年美國哈佛—麻省理工數(shù)學(xué)競賽題）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2-xy+2y2=8，試求x2+xy+2y2的最大值.

分析：這是一道二元最值問題，試題以二次方程的形式給出，去求二次式的最大值，入口較寬，可以從多個角度進(jìn)行思考，故能較好地考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維水平，本文僅介紹一種新穎簡捷的三角代換法.

解：因為x2-xy+2y2=8，配方得，

（x-y2）2+74y2=8，設(shè)

x-y2=22cosθ，72y=22sinθ，

則x=227sinθ+22cosθ，①y=427sinθ，②

將①、②同時代入x2+xy+2y2中，得

x2+xy+2y2=（227sinθ+22cosθ）2+（227sinθ+22cosθ）·427sinθ+2（427sinθ）2

=887sin2θ+8cos2θ+327sinθcosθ=727+167sin2θ-167cos2θ=727+3227sin（2θ-φ），其中tanφ=77，故依據(jù)正弦函數(shù)的有界性，知當(dāng)sin（2θ-φ）=1時，x2+xy+2y2取得最大值72+3227.

點(diǎn)評：上述解法從已知條件入手，先將題設(shè)式進(jìn)行配方，結(jié)合三角換元，將條件三角化后代入目標(biāo)函數(shù)，從而溝通了題設(shè)與結(jié)論的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了將代數(shù)最值問題化歸為三角函數(shù)最值問題來處理，最后根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，巧妙求得最大值.上述解法，不僅減少了計算量，而且豐富了同學(xué)們的解題思路，提高了解題速度.

二、解最小值問題

例3?（2015年福建省高考題）已知a>0，b>0，c>0，函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.

（1）求a+b+c的值;

（2）求14a2+19b2+c2的最小值.

分析：（1）易求得a+b+c=4;（2）本題所求目標(biāo)式的最小值涉及三個字母，難度大，然而通過變換與變形便能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，找到了三角換元求解就簡便了.

解：設(shè)14a2+19b2+c2=r2（r>0），令c=rsinβ，13b=rsinα·cosβ，

12a=rcosα·cosβ，其中，α，β∈[0，π2]代入a+b+c=4中變形得

1r=2cosα·cosβ+3sinα·cosβ+sinβ4.

因為β∈[0，π2]，所以cosβ≥0，于是2cosα·cosβ+3sinα·cosβ=13cosβ·sin（α+φ）≤13cosβ，（其中tanφ=23）.所以2cosα·cosβ+3sinα·cosβ+sinβ≤13cosβ+sinβ≤14，所以1r≤144，即r2≥87，當(dāng)且僅當(dāng)a=87，b=187，c=27時等號成立，故14a2+19b2+c2的最小值為87.

點(diǎn)評：本題考查絕對值函數(shù)最值的求法及其滿足約束條件的多元函數(shù)的最值問題的解法.對于第（1）小題我們利用絕對值的性質(zhì)易得a+b+c=4，上面給出的三角換元法求最值的方法，其實(shí)質(zhì)是空間極坐標(biāo)系也叫球坐標(biāo)系，數(shù)學(xué)選修《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》中有介紹，若將本題中12a，13b，c分別看作x，y，z，令14a2+19b2+c2=r2（r>0），即x2+y2+z2=r2.那么問題就轉(zhuǎn)化為球面方程，可選用空間極坐標(biāo)系法求解.

例4?（2014年高考遼寧卷·理第16題）對于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大時，3a-4b+5c的最小值為????.

分析：本題為三元函數(shù)的最值問題，由于試題橫向入口較寬，縱向難度較大，綜合性和技巧性很強(qiáng)，因而同學(xué)們感到很棘手.然而根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)特征巧妙將已知條件變形，再運(yùn)用三角換元技巧就可將三元函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來求最小值，從而解題就便利了.

解：由已知得（2a-12b）2+154b2=c，

令2a-12b=ccosθ，152b=csinθ，則2a=c15sinθ+ccosθ，b=2c15sinθ，

從而2a+b=c15sinθ+2c15sinθ+ccosθ

=3c15sinθ+ccosθ=210c5sin（θ+φ），

于是（2a+b）max=210c5，此時4a2+4ab+b2=85c，即

4a2+4ab+b2=85（4a2-2ab+4b2），整理得4a2-12ab+9b2=0，即（2a-3b）2=0，得2a=3b.

又2a+b=4b=210c5，從而b=10c10，a=31020c，于是3a-4b+5c=-2b+5c=-210c+5c=5（1c-105）2-2≥-2.即3a-4b+5c的最小值為-2.

點(diǎn)評：上述方法是從條件入手，通過配方，將已知條件三角化后代入目標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了將代數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題來處理.本題運(yùn)用三角換元技巧法求解，不僅簡潔明快，解法流暢，而且能啟迪思維，提高解題速度，拓寬視野.此題設(shè)計精巧，可以從多角度研究，思維分析切口較寬，解法也較多.然而，根據(jù)題中條件的結(jié)構(gòu)特征，利用三角換元思想解題可謂別具一格.

三、解最大值和最小值問題

例5?（2015年蘇錫常三市高考二模試題）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2+b2≤c≤1，求a+b+c的最大值和最小值.

分析：本題如從已知條件入手求解，則很難，但從結(jié)構(gòu)入手通過設(shè)a=rcosθ，b=rsinθ，則可聯(lián)系三角函數(shù)知識求得結(jié)果.

解：設(shè)a=rcosθ，b=rsinθ，θ∈[0，2π]，r≤c≤1，則a+b+c=rcosθ+rsinθ+c=2rsin（θ+π4）+c.由sin（θ+π4）∈[-1，1]可知a+b+c∈[-2r+c，2r+c].因為0≤r≤c≤1，那么2r+c≤1+2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22，c=1時，等號成立;又-2r+c≥-2c+c=（2c-1）22-12≥-12，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=-12，c=12時，等號成立.因此a+b+c的最大值為1+2，最小值為-12.

點(diǎn)評：本題屬于三元條件最值問題，直接用代數(shù)方法解較難.然而根據(jù)已知條件式子的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想三角換元，利用正弦函數(shù)有界性求得最大值和最小值.其解法思維自然，解法流暢，從而溝通了題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，使問題輕松得到解決.

從以上各例可以看出用三角換元技巧求高考最值問題，其關(guān)鍵是要從問題的背景出發(fā)，根據(jù)題設(shè)及所求題目的結(jié)構(gòu)特征經(jīng)過合理的推理，探究出問題中的隱藏的三角函數(shù)關(guān)系，列出符合題意的關(guān)系式，從而與代數(shù)有關(guān)知識聯(lián)系起來，以達(dá)到解題目的.

用三角換元技巧求解高考最值問題之所以具有新穎別致、獨(dú)特創(chuàng)新的靈活性和創(chuàng)造性，是因為在解題過程中往往容易找到題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系，使原來抽象隱含的條件充分顯露出來，因而解題時，就能化繁為簡，變難為易.

用三角換元技巧求解高考最值問題，對于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)及數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng)有一定的強(qiáng)化作用，有利于提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.這種解法的優(yōu)點(diǎn)在于可將已知條件中的二個或三個變量代換為同一個角的某個三角函數(shù)來表示，從而利于我們運(yùn)用熟知的三角公式進(jìn)行化簡，直至問題的解決.