離心率的值或范圍的求解策略

李琳

一、方法綜述

離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：

①根據(jù)題意求出a，b，c的值，再由離心率的定義直接求解;

②由題意列出含有a，b，c的方程（或不等式），消去b，構(gòu)造a，c的齊次式，求出e;

③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;

④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.

解題時(shí)要注意圓椎曲線本身所含的一些范圍的應(yīng)用，如橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)-a≤x0≤a等.

二、解題策略

1.直接求出a，c或求出a與b的比值，以求解e

例1?已知橢圓C：x2a2+y24=1的一個(gè)焦點(diǎn)為（2，0），則C的離心率為????.

解析：根據(jù)題意，c=2，因?yàn)閎2=4，所以a2=b2+c2=8，即a=22，

所以橢圓C的離心率為e=222=22.

點(diǎn)評(píng)：該題考查的是有關(guān)橢圓的離心率的問題，在求解的過程中，一定要注意離心率的公式，再者就是要學(xué)會(huì)從題的條件中判斷與之相關(guān)的量，結(jié)合橢圓中a，b，c的關(guān)系求得結(jié)果.

2.構(gòu)造a，c的齊次式，解出e

例2?已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c（c>0），拋物線y2=2cx的準(zhǔn)線交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB=120°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率為???.

解析：由題意，當(dāng)拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-c2，與雙曲線方程聯(lián)立方程組得，

A（-c2，（c2-4a2）b24a2），

B（-c2，-（c2-4a2）b24a2），

又因?yàn)椤螦OB=120°，

則（c2-4a2）b24a2c2=tanπ3=3c4-8a2c2+4a4=0c4a4-8c2a2+4=0，

∴e4-8e2+4=0e2=4±23（4-23<1，舍去）e2=4+23e=3+1.

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用拋物線和雙曲線的定義，以及聯(lián)立方程求交點(diǎn)的方法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，其中對(duì)c4-8a2c2+4a4=0c4a4-8c2a2+4=0的齊次式處理很關(guān)鍵，對(duì)待此類型的方程常見的方法就是方程左右兩邊同除一個(gè)參數(shù)的最高次項(xiàng)即可轉(zhuǎn)化成一個(gè)一元方程，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力是解決此題的關(guān)鍵.

3.尋找特殊圖形中的不等關(guān)系或解三角形

例3?已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為36的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為????.

解析：先根據(jù)條件得PF2=2c，再利用正弦定理得a，c關(guān)系，即得離心率.

因?yàn)椤鱌F1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，所以PF2=F1F2=2c，

由AP斜率為36得，tan∠PAF2=36，

∴sin∠PAF2=113，cos∠PAF2=1213，

由正弦定理得PF2AF2=sin∠PAF2sin∠APF2，所以2ca+c=113sin（π3-∠PAF2）=11332×1213-12×113=25，

∴a=4c，e=14.

另解：由題意可知：A（-a，0），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），

直線AP的方程為：

y=36（x+a），

由∠F1F2P=120°，2c=|F1F2|=|PF2|，

則P（2c，3c），

代入直線AP：3c=36（2c+a），整理得：4c=a，∴離心率e=ca=14.

點(diǎn)評(píng)：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題，其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，而建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.

例4?已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|PF1|=10，記橢圓與雙曲線的離心率分別為e1、e2，則e1·e2的取值范圍是????.

解析：設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由于△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由橢圓的定義可得m+n=2a1，由雙曲線定義可得m-n=2a2，即a1=5+c，a2=5-c，（c<5），再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得2c+2c>10，可得c>52，既有5213，則e1·e2的取值范圍是（13，+∞）.

點(diǎn)評(píng)：求解本題的關(guān)鍵是利用三角形的兩邊之和大于第三邊建立不等式求出c的范圍.

4.利用圓錐曲線性質(zhì)

例5?若a>1，則雙曲線x2a2-y2=1的離心率的取值范圍是????.

解析：由題意e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2，因?yàn)閍>1，所以1<1+1a2<2，則1

點(diǎn)評(píng)：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，而建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.

5.利用平面幾何性質(zhì)

例6?已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為????.

解析：設(shè)|PF2|=m，則根據(jù)平面幾何知識(shí)可求|F1F2|，|PF1|，再結(jié)合橢圓定義可求離心率.

在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，∠PF2F1=60°，

設(shè)|PF2|=m，則2c=|F1F2|=2m，|PF1|=3m，

又由橢圓定義可知

2a=|PF1|+|PF2|=（3+1）m，

則離心率e=ca=2c2a=2m（3+1）m=3-1.

點(diǎn)睛：橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之和是否為定值，二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等;“焦點(diǎn)三角形”是橢圓問題中的?？贾R(shí)點(diǎn)，在解決這類問題時(shí)經(jīng)常會(huì)用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.

6.利用數(shù)形結(jié)合

例7?設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|F1P|=6|OP|，則C的離心率為????.

解析：如圖，過F2作PF2⊥l，延長F2P，作F1Q⊥PF2相交于點(diǎn)Q，

則|F1Q|=2|OP|=2a，|QP|=|F2P|=b，從而|F1P|=6a，

在△F1PQ中有6a2=4a2+b2，即2a2=b2，

可得e=ca=a2+b2a=3aa=3.

點(diǎn)評(píng)：由條件PF2⊥l，構(gòu)造直角△F1QF2，運(yùn)用勾股定理建立方程，找到2a2=b2，從而求出e.巧妙構(gòu)圖，多思少算.