基于分段三次Hermite插值的光源相關(guān)色溫及色偏差的快速計算

宋喜佳，馮學(xué)妮，郝亞茹，鄧招奇

(1.電子科技大學(xué)中山學(xué)院計算機學(xué)院，廣東 中山 528402；2.中山市啟航技工學(xué)校，廣東 中山 528402)

引言

黑體輻射源的色溫是黑體的絕對溫度。如果一個光源發(fā)射光的顏色(即光色，又稱色品)與某一溫度下的黑體發(fā)射光的顏色相同，那么此時黑體的絕對溫度值就叫做該光源的顏色溫度(簡稱色溫)。當(dāng)光源的光色與某一溫度下的黑體輻射光源光色最為接近時，后者的色溫即為光源的相關(guān)色溫[1，2]。相關(guān)色溫是照明光源的重要參數(shù)，不僅決定了人眼視覺觀察到的“白光”顏色種類，還對人體的晝夜節(jié)律、體溫調(diào)節(jié)以及熱平衡等非視覺生物現(xiàn)象產(chǎn)生重要影響[3]。

照明光源的另一個重要參數(shù)是Duv，它描述了待測光源色坐標(biāo)偏離普朗克黑體輻射軌跡的距離和偏離方向。當(dāng)Duv的數(shù)值過大時，說明光源光色偏離太遠(yuǎn)，人眼會觀察到發(fā)黃、發(fā)綠或者發(fā)紫等情況[4]。Duv的計算公式為

(1)

其中(uc,vc)是待測光源的CIE 1960 UCS色度坐標(biāo)，(u0,v0)是普朗克黑體軌跡上距離(uc,vc)最近的點的CIE 1960 UCS色度坐標(biāo)。

傳統(tǒng)的色溫計算方法主要包括直接內(nèi)插法、三角形垂足法、曲線擬合法等[4-10]。直接內(nèi)插法和三角形垂足法盡管計算精度相對較高，但是為了確定與待測光源色坐標(biāo)(u,v)最近的兩條等色溫線，需要逐次搜索比較，計算量大、耗時較長，并且直接內(nèi)插法不能同時給出相關(guān)色溫和Duv的值。求解相關(guān)色溫的其他方法，如逐次逼近法、多項式逼近法、曲線擬合法等，盡管不需要逐次比較，計算時間較快，但是適用的色溫范圍十分有限，計算精度也不夠理想。

1 計算相關(guān)色溫的三次Hermite插值算法

1.1 確定黑體輻射軌跡上溫度Ti與CIE 1960 UCS色坐標(biāo)(ui,vi)的對應(yīng)關(guān)系

第一步，對溫度T進(jìn)行離散化，得到T的離散列表。本文離散化的方法參考文獻(xiàn)[4]的做法，在1 000～20 000 K的色溫范圍內(nèi)，對T進(jìn)行1%步進(jìn)離散化，分別為

(2)

第二步，依據(jù)普朗克黑體輻射定律，計算離散溫度點Ti(i=0～302)對應(yīng)的黑體輻射光譜功率分布。

(3)

這里，c1是第一輻射常數(shù)，c1=2πhc2；h是普朗克常數(shù)，c為光速；c2是第二輻射常數(shù)，c2=hc/k；k為波爾茲曼常數(shù)。

第三步，依據(jù)黑體輻射的光譜功率分布，計算其顏色三刺激值。

(4)

第四步，計算黑體輻射在溫度Ti(i=0～302)時對應(yīng)的CIE 1960 UCS色坐標(biāo)(ui,vi)。

(5)

第五步，將溫度Ti(i=0～302)與色坐標(biāo)(ui,vi)，按照兩者對應(yīng)關(guān)系形成表1。

表1 溫度與CIE 1960 UCS色坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系Table 1 The relationship of temperature and chromatic coordinate in CIE 1960 UCS

1.2 計算黑體輻射軌跡在各離散溫度點Ti的曲線斜率li

相應(yīng)的曲線斜率為

(6)

這里，Xi,Yi,Zi是黑體在溫度Ti時的顏色三刺激值，Xi′,Yi′,Zi′是顏色三刺激值對于溫度Ti的導(dǎo)數(shù)，計算方法如下：

(7)

這里，PT′(λ,T)是P(λ,T)對T的偏導(dǎo)數(shù)：

(8)

按前面所述過程，計算各Ti(i=0～302)對應(yīng)的li，然后將li加入到表1中，得到表2和圖1。

表2 黑體軌跡上溫度、CIE 1960 UCS色坐標(biāo)以及斜率的對應(yīng)關(guān)系Table 2 The relationship of T,chromatic coordinate in CIE 1960 UCS and slope on the Planck blackbody locus

圖1 黑體軌跡上溫度、CIE 1960 UCS色坐標(biāo)以及斜率的對應(yīng)關(guān)系Fig.1 The relationship of T,chromatic coordinate in CIE 1960 UCS and slope on the Planck blackbody locus

表1、表2數(shù)據(jù)只需要計算一次，本文后繼步驟可以直接調(diào)用這些數(shù)據(jù)，不用重復(fù)計算。

1.3 基于分段三次Hermite插值方法描述黑體軌跡

在區(qū)間[u0,u302]上，定義一組分段三次插值基函數(shù)αj(u)及βj(u)，這里j=0,1,…,302，則黑體軌跡方程v(u)可表示為

(9)

其中基函數(shù)αj(u)表示為

(10)

βj(u)分別表示為

βj(u)=

(11)

按照上面公式，分別在區(qū)間[u0,u1]、[u1,u2]、…、[u301,u302]計算v0(u)、v1(u)、…、v301(u)，即

(12)

將求得的各多項式系數(shù)，以及前面獲得的溫度值、色坐標(biāo)、斜率統(tǒng)一存于表3。

表3 黑體軌跡上溫度、CIE 1960 UCS色坐標(biāo)、斜率以及多項式系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系Table 3 The Relationship of T,Chromatic Coordinate in CIE 1960 UCS,Slope,and multinomial coefficient on the Planck Blackbody Locus

借助計算機和現(xiàn)代數(shù)學(xué)軟件(如Mathematica)，可以通過編程快速獲得上述各分段函數(shù)。

1.4 確定黑體軌跡上距離待測光源(uc,vc)最近的坐標(biāo)點(u0,v0)

假設(shè)已知待測光源的光譜功率分布，因此可求得待測光源的色坐標(biāo)待測光源(uc,vc)(本文直接認(rèn)為(uc,vc)是已知量)，故點(uc,vc)到普朗克黑體軌跡v(u)的距離d(u)可按照如下方法獲得：

(13)

假設(shè)當(dāng)(u,v)=(u0,v0)時，d(u)的一階導(dǎo)數(shù)d′(u)、二階導(dǎo)數(shù)d″(u)分別滿足：

(14)

則d(u)取得最小值d(u0)。另外，按照Duv的定義，有

Duv=d(u0)sgn(vc-v0)

(15)

1.5 確定黑體軌跡上某點(已知其色坐標(biāo))對應(yīng)的色溫

在求出黑體軌跡上距離待測光源(uc,vc)最近點色坐標(biāo)(u0,v0)以后，下一步是確定(u0,v0)所對應(yīng)的色溫T0，通常有多種方法，如McCamy近似公式、Hernández-Andrés近似公式等，本文采用三角幾何近似的方法來確定T0(圖2)。最后，根據(jù)相關(guān)色溫的定義可知，該待測光源的相關(guān)色溫Tc為Tc=T0，則

(16)

由于黑體軌跡采樣點較密集時(如本文采用的1%步進(jìn)采樣)，θ1、θ2均較小，因此式(16)可以近似為

(17)

圖2 利用三角幾何近似法確定相關(guān)色溫Fig.2 Calculate CCT based on the trigonometry approximate method

2 實驗與測試結(jié)果

2.1 計算并驗證“標(biāo)準(zhǔn)黑體軌跡等溫線色度坐標(biāo)表”的相關(guān)色溫及計算誤差

依據(jù)參考文獻(xiàn)[1，2]中提供的“標(biāo)準(zhǔn)黑體軌跡等溫線色度坐標(biāo)表”，使用本文算法，由各色度坐標(biāo)計算相關(guān)色溫，并與標(biāo)準(zhǔn)值相比較，相對誤差以及Duv如表4和圖3所示。

從圖3可知，高色溫區(qū)誤差稍微偏大，其原因如下：對溫度進(jìn)行1%步進(jìn)離散化，在高色溫區(qū)步長間隔變大，導(dǎo)致數(shù)據(jù)誤差變大。采用1%步進(jìn)離散化的好處是，實際照明光源多工作在暖光、正白區(qū)域，冷光源色溫一般也很少超過7 000 K，該方法可保證在光源比較重要的低色溫、中色溫區(qū)域獲得相對更加精確的計算結(jié)果，同時數(shù)據(jù)量不至于太大。

2.3 標(biāo)準(zhǔn)色溫?zé)舻南嚓P(guān)色溫計算

標(biāo)準(zhǔn)色溫?zé)舻墓怆妳?shù)如表5所示。利用遠(yuǎn)方HAAS-2000光譜儀對該標(biāo)準(zhǔn)燈進(jìn)行測量，得到的該標(biāo)準(zhǔn)燈的光譜功率分布如圖4所示。使用HAAS-2000光譜儀對標(biāo)準(zhǔn)色溫?zé)舻南嚓P(guān)色溫進(jìn)行測量，測量結(jié)果與計算結(jié)果如表6所示。

表4 “標(biāo)準(zhǔn)黑體軌跡等溫線色度坐標(biāo)表”的計算結(jié)果與計算誤差Table 4 The Calculation Result and Calculation Error of “Standard Chromatic Coordinate Table for The Isothermal Lines of Blackbody Locus”

圖3 “標(biāo)準(zhǔn)黑體軌跡等溫線色度坐標(biāo)表”的相關(guān)色溫計算結(jié)果與計算誤差Fig.3 The calculation result of CCT and calculation error of “standard chromatic coordinate table for the isothermal lines of blackbody locus”

表5 標(biāo)準(zhǔn)色溫?zé)舻闹饕獏?shù)Table 5 The main parameters of the colour temperature standard lamp

圖4 標(biāo)準(zhǔn)色溫?zé)舻南鄬庾V功率分布Fig.4 Relative spectral power distribution of the colour temperature standard lamp

表6 標(biāo)準(zhǔn)色溫?zé)舻南嚓P(guān)色溫、色溫相對誤差及Duv的對比Table 6 The comparison of correlated color temperature,color temperature and Duvof the color temperature standard lamp

3 總結(jié)

經(jīng)過推導(dǎo)計算，我們確定了普朗克黑體輻射軌跡上溫度Ti、色坐標(biāo)(ui,vi)以及曲線斜率li三者之間的對應(yīng)關(guān)系，建立了可以精確平滑地描述普朗克黑體輻射軌跡的分段三次Hermite插值函數(shù)(此過程過程只需計算一遍，然后將計算的結(jié)果存儲起來，后續(xù)計算可以直接調(diào)用，有利于提高計算效率)；在此基礎(chǔ)上，利用解析方法快速計算待測光源(uc,vc)與普朗克黑體輻射軌跡上的最近點的色坐標(biāo)(u0,v0)以及二者之間的距離d(u0)，避免了傳統(tǒng)算法需要逐步搜索比較的煩冗耗時；最后，采用三角幾何近似的方法，確定色坐標(biāo)(u0,v0)的色溫T0，得到待測光源(uc,vc)的相關(guān)色溫Tc。通過對“標(biāo)準(zhǔn)黑體軌跡等溫線色度坐標(biāo)表”和“標(biāo)準(zhǔn)色溫?zé)簟钡姆抡嬗嬎阋约皩崪y，本文算法的相對誤差基本穩(wěn)定在10-4范圍內(nèi)(需要注意的是，由于溫度采用1%步進(jìn)進(jìn)行離散化，在高色溫區(qū)的誤差波動相對較大)。因此本文算法在實現(xiàn)快速計算相關(guān)色溫的同時，還具有比傳統(tǒng)計算方法更好的計算精度，適用色溫范圍廣(1 000～20 000 K)的特點，可以應(yīng)用在光源色溫計算、光譜優(yōu)化等方面。