分數(shù)階混沌系統(tǒng)的模糊保性能同步控制

(鄭州航空工業(yè)管理學院 數(shù)學學院,河南 鄭州 450015)

混沌系統(tǒng)的同步已經(jīng)成為研究的熱點問題[1,2],例如：文獻[3]研究了多渦卷混沌系統(tǒng)的有限時間滑模同步，給出了非線性超曲面的構造和設計.文獻[4]研究分數(shù)階Victor-Carmen系統(tǒng)的同步,文獻[5]研究了分數(shù)階不確定多混沌系統(tǒng)的終端滑模同步，文獻[6] 研究了Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的適應轉移函數(shù)滑模同步.文獻[7] 用兩種方法研究了分數(shù)階Newton-Leipnik系統(tǒng)的自適應滑模同步.另一方面,模糊系統(tǒng)的同步引起了控制界的高度關注,文獻[8] 研究了分數(shù)階模糊混沌系統(tǒng)的預測投影同步.文獻[9]研究分數(shù)階統(tǒng)一模糊混沌系統(tǒng)的非脆弱控制.文獻[10]研究了分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡模糊系統(tǒng)的同步，在以上研究的基礎上,研究分數(shù)階混沌系統(tǒng)的模糊保性能同步,能夠使系統(tǒng)誤差收斂到原點.得到主從系統(tǒng)模糊保性能同步的充分條件.

1 主要結果

定義[11]Caputo分數(shù)階導數(shù)定義為

以分數(shù)階混沌系統(tǒng)為主系統(tǒng)

(1)

設計從系統(tǒng)為

(2)

其中[ΔA,ΔB]=DF(t)[E1,E2]，F(xiàn)T(t)F(t)u(t)≤I，定義e(t)=y(t)-x(t)得誤差系統(tǒng)方程

(3)

(1)式可被T-S模糊模型描述為:

ifz1(t) isMi1and…andzr(t) isMirthen

(4)

其中,Mi j(j-1,2,…,r)是模糊集合，r是模糊規(guī)則數(shù)，x(t)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)，Ai∈Rn×n,z1(t),…,zr(t)是模糊前件變量,模糊模型可表示為

(5)

(6)

以(6)作主系統(tǒng)的模糊模型，從系統(tǒng)可表示為

(7)

定義e(t)=y(t)-x(t)，可得誤差方程模糊表示

(8)

引理1[12]給定適當維數(shù)的矩陣Y,D和E,F，則Y+DFE+ETFTDT<0對所有滿足FFT≤I的矩陣F成立，當且僅當存在一個常數(shù)λ>0，使得Y+λDDT+λ-1ETE<0.

引理2[13](Schur補引理)設A,B,C為適當維數(shù)的矩陣，則下面三個式子等價：

(1)A<0,C-BTA-1B<0;

(2)C<0,A-BTC-1B<0;

定理1 如存在對稱正定的矩陣P以及矩陣K，若滿足矩陣不等式

Q+KTRK+P[Ai+BiK+DF(Ei1+Ei2K)]+[Ai+BiK+DF(Ei1+Ei2K)]TP<0，

證明構造Lyapunov函數(shù)V(t)=eT(t)Pe(t)，沿系統(tǒng)(8)求分數(shù)階導得到

定理2 若存在對稱正定的矩陣P以及矩陣K，若滿足矩陣不等式

(9)

證明若定義Y=Q+KTRK+P(A+BK)+(A+BK)TP則(9)可表示為

Y+PDF(Ei1+Ei2K)+(Ei1+Ei2K)TFT(PD)T<0,

由引理1，得到Y+εPDDTP+ε-1(Ei1+Ei2K)T(Ei1+Ei2K)<0.

由引理2，上式等價于

對上式分別左乘和右乘diag{P-1,I,I,I}，若記X=P-1,W=KP-1.所以得到(9).

2 數(shù)值仿真

保性能控制律u(t)=[-0.430 2,1.798 9]e(t)，性能上界J*=10.689 2.系統(tǒng)的誤差如附圖.

附圖 系統(tǒng)誤差

3 結 論

研究了分數(shù)階混沌系統(tǒng)的模糊保性能同步，根據(jù)分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步控制理論獲得主從系統(tǒng)取得模糊同步的充分條件，結論表明分數(shù)階混沌系統(tǒng)的驅動響應能夠取得模糊保性能同步.研究分數(shù)階混沌系統(tǒng)的有限時間同步是下一步需要研究的問題.