不確定分?jǐn)?shù)階單擺多混沌系統(tǒng)的終端滑模同步控制

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,河南 鄭州 450015)

不確定分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的滑模同步激起了控制界的極大興趣[1～13].文獻(xiàn)[14]基于自適應(yīng)滑?？刂品椒ㄑ芯苛朔?jǐn)?shù)階Victor-Carmen系統(tǒng)的同步控制問題.另一方面，單擺混沌也引起了眾多學(xué)者的密切關(guān)注，例如：文獻(xiàn)[15]研究了單擺系統(tǒng)的混沌運(yùn)動和動力學(xué)分析.文獻(xiàn)[16]研究了單擺系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)數(shù)問題.文獻(xiàn)[17]對單擺系統(tǒng)多參數(shù)混沌邊緣進(jìn)行了研究，得到了單擺系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的條件.但對于當(dāng)多個單擺構(gòu)成的系統(tǒng)出現(xiàn)混沌時如何進(jìn)行有效的控制，即單擺多混沌系統(tǒng)方面的研究還十分少見.對此，本文在以上研究的基礎(chǔ)上，利用分?jǐn)?shù)階Caputo微分研究了一類分?jǐn)?shù)階不確定單擺多混沌系統(tǒng)的終端滑模同步,并給出了終端滑模函數(shù)的構(gòu)造.本文的研究結(jié)論表明：選取適當(dāng)?shù)目刂破骷霸诜瞧娈惤K端滑模面下，單擺多混沌系統(tǒng)取得滑模同步.

1 基礎(chǔ)知識及主要結(jié)果

先介紹基礎(chǔ)知識:

定義1[18]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

以下是主要結(jié)果.

分?jǐn)?shù)階單擺混沌系統(tǒng)描述如下

考慮如下分?jǐn)?shù)階單擺多混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)

(1)

其響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計為

(2)

其中,x(t)=(x1,x2,…,x2n)T,y(t)=(y1,y2,…,y2n)T,Δfi(y)和di(t)分別表示不確定項和外部擾動,ui(t)是控制.

假設(shè)1 不確定項Δfi(y)和外擾di(t)均有界，即存在常數(shù)mi,ni>0,滿足

|Δfi(y)|

假設(shè)2mi,ni(i=1,2)未知,

定義誤差ei=yi-xi(i=1,2,…,2n),則

(3)

V1-η(t)≤V1-η(t0)-p(1-η)(t-t0),t0≤t≤T，

引理2[18]設(shè)有實數(shù)a1,a2,…,an，0

針對誤差系統(tǒng)(3)設(shè)計非奇異終端滑模面

(4)

其中,λi>0,0

定理1 在滑模面(4)上,系統(tǒng)(3)的系統(tǒng)的軌跡在ts內(nèi)趨近原點.

(5)

利用引理2有

從而

設(shè)計如下控制器和適應(yīng)律及自適應(yīng)律.其中，適應(yīng)律

(6)

k=1.2.…,n;

自適應(yīng)律

(7)

定理2 設(shè)計適應(yīng)律(7)及控制輸入(6)條件下,系統(tǒng)(3)趨近滑模面.

由假設(shè)條件1,2，可得

設(shè)計如下整數(shù)階單擺多混沌系統(tǒng)作為主系統(tǒng)：

(8)

其從系統(tǒng)設(shè)計為

(9)

定義誤差ei=yi-xi(i=1,2,…,2n),則誤差系統(tǒng)為

(10)

針對誤差系統(tǒng)(3)設(shè)計非奇異終端滑模面

(11)

定理3 在滑模函數(shù)(11)上,系統(tǒng)(10)在ts內(nèi)趨于原點,其中

(12)

又由引理1易得誤差軌跡會在有限時間ts內(nèi)達(dá)到平衡點.

設(shè)計控制律

(13)

k=1,2,…,n.

(14)

定理4 設(shè)計適應(yīng)律(14) 和控制輸入(13)條件下,系統(tǒng)(3)趨近滑模面.

2 數(shù)值仿真

無妨以兩個分?jǐn)?shù)階不確定單擺組成的多混沌系統(tǒng)為例利用龍哥庫塔法進(jìn)行數(shù)值仿真,

g=9.8,l1=1.2,l2=1.25,γ1=0.76,γ2=0.84,α=0.86,Δf1(y)=cos(2πy2),Δf2(y)=0.5cos(2πy1),Δf3(y)=cos(2πy4),Δf4(y)=0.5cos(2πy3),d1(t)=0.2cos(t),d2(t)=0.6sin(t),

滑模面及控制器參數(shù)取

系統(tǒng)初始值設(shè)置為：

x1(0)=0.5,x2(0)=1,x3(0)=-1,x4(0)=-1.2,

y1(0)=1.5,y2(0)=1.2,y3(0)=-2.1,y4(0)=1.5,

系統(tǒng)的誤差曲線如附圖所示，從圖中可以看出，初始時刻系統(tǒng)誤差相差較多，相距原點甚遠(yuǎn)，隨著時間推移，系統(tǒng)誤差漸趨一致逐漸趨近于坐標(biāo)原點，表明系統(tǒng)取得同步.

附圖 系統(tǒng)誤差變量

3 結(jié) 論

本文研究了不確定分?jǐn)?shù)階單擺多混沌系統(tǒng)的同步問題，給出了整數(shù)階分?jǐn)?shù)階單擺多混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)取得滑?；煦缤降膬蓚€充分條，并利用MATLAB工具箱中的軟件和程序做出了仿真圖，數(shù)值仿真表明該方法有效.