一種單自由度3T1R并聯(lián)機構(gòu)的拓?fù)湓O(shè)計及其運動學(xué)

沈惠平 呂 蒙 朱小蓉 李云峰

常州大學(xué)現(xiàn)代機構(gòu)學(xué)研究中心，常州，213016

0 引言

工業(yè)上許多場合需要結(jié)構(gòu)簡單、少驅(qū)動源但能產(chǎn)生空間復(fù)雜運動的空間機構(gòu)。在提出、研制單自由度并聯(lián)運動振動篩的基礎(chǔ)上［1－3］，筆者提出了“少輸入-多輸出”（Fi－Mo）并聯(lián)機構(gòu)的概念，建立了驅(qū)動輸入數(shù)、自由度數(shù)、動平臺輸出運動個數(shù)（含獨立和非獨立元素）三者之間的數(shù)學(xué)模型［4］，并提出了Fi－Mo機構(gòu)的兩種設(shè)計方法［5］；據(jù)此，設(shè)計了大量少輸入-多輸出并聯(lián)機構(gòu)［6－8］；進(jìn)一步，發(fā)明并設(shè)計了基于單自由度三轉(zhuǎn)動輸出并聯(lián)機構(gòu)的肩關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練機［9］、并聯(lián)式腳底按摩機［10］以及多種輸出形式的并聯(lián)振動篩［11］，為其他新型節(jié)能裝備的設(shè)計、研發(fā)奠定了理論基礎(chǔ)。單自由度的Fi－Mo機構(gòu)是一種新型并聯(lián)機構(gòu)［4－5］，因其驅(qū)動元件少、造價低、結(jié)構(gòu)緊湊，所以有著較高的實用價值和應(yīng)用前景，但目前對Fi－Mo并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)、動力學(xué)研究還較少。

本文提出了一種新型的單自由度三平移一轉(zhuǎn)動（3T1R）并聯(lián)機構(gòu)，分析了該機構(gòu)的方位特征（position orientation characteristic，POC）、自由度（DOF）及耦合度κ等拓?fù)涮匦裕瑢?dǎo)出了其運動位置正逆解、速度與加速度公式，此外為該機構(gòu)用于產(chǎn)生3T1R的振動篩分裝置進(jìn)行了3D虛擬樣機設(shè)計。

1 機構(gòu)設(shè)計

本文提出的單自由度3T1RFi－Mo并聯(lián)機構(gòu)如圖1所示，它由靜平臺0、動平臺1以及連接兩平臺 之間的 一條混 合支鏈（hybrid single－openchain，HSOC）HSOC1和一條簡單支鏈組成，其中，混合支鏈由支鏈Ⅰ（即 R11‖R12－P（4R））和支鏈Ⅱ（即 R21－P（4R）-R22）并聯(lián)連接后，與轉(zhuǎn)動副 R13串聯(lián)而 成，可 表 示 為 R11‖R12－P（4R）‖R22－P（4R）－R21）-R13，其中，P（4R）表示由4個 R 副組成的平行四邊形等效產(chǎn)生的一個P副，其末端構(gòu)件（動平臺1的一部分）輸出為三平移一轉(zhuǎn)動；而簡單支鏈Ⅲ為 R31－S32支鏈。

靜平臺0上轉(zhuǎn)動副R11、R21的軸線和動平臺1上的R13軸線平行；轉(zhuǎn)動副R31的軸線平行于R11R21的連線。

2 機構(gòu)的拓?fù)浞治?/h2>

2.1 機構(gòu)POC集分析

（1）串聯(lián)、并聯(lián)機構(gòu)的POC集方程［12］分別為

式中，MJi為第i個運動副的POC集；Mbi為第i條支鏈末端的POC集；MPa為機構(gòu)動平臺的POC集。

（2）選取動平臺上1的任意一點為基點p。

（3）確定支鏈末端構(gòu)件的POC集。由第1節(jié)可知，混合支鏈HSOC1是由支鏈Ⅰ、支鏈Ⅱ并聯(lián)后，與轉(zhuǎn)動副R13串聯(lián)而成，由式（1），它們產(chǎn)生的POC集分別為

由式（1）、式（2），有

（4）確定動平臺的POC集。由式（2），得則動平臺1可產(chǎn)生3個平移及1個繞轉(zhuǎn)動副R13軸線的轉(zhuǎn)動。

2.2 自由度計算

（1）并聯(lián)機構(gòu)的全周自由度公式［12］為

式中，F(xiàn) 為機構(gòu)自由度；fi為第i個運動副的自由度；m為運動副數(shù)；v為獨立回路數(shù)（v＝m－n＋1，n為構(gòu)件數(shù)）；ξLj為第j個獨立回路的獨立位移方程數(shù)；dim為POC集的維數(shù)為前j條支鏈組成的子并聯(lián)機構(gòu)POC集；Mb（j＋1）為j＋1條支鏈末端構(gòu)件的POC集。

（2）確定各回路的獨立位移方程數(shù)。此機構(gòu)可分解為兩個獨立回路，即單開鏈（single open chain，SOC）SOC1｛R11‖R12－P（4R）‖R22－P（4R）‖R21｝和SOC2｛R31－S32－R13｝。其獨立位移方程數(shù)計算方法如下：

①支鏈Ⅰ、Ⅱ組成第1個獨立回路，由式（4）可得

由式（2），該子并聯(lián)機構(gòu)的POC集為

由式（3），該子并聯(lián)機構(gòu)的自由度為

則子并聯(lián)機構(gòu)的輸出僅有2個獨立運動。

②上述子并聯(lián)機構(gòu)、R13及單開鏈SOC2組成第2個回路，由式（4）可得

（3）確定該并聯(lián)機構(gòu)的自由度。由式（3），得

當(dāng)轉(zhuǎn)動副R11為驅(qū)動時，動平臺1產(chǎn)生3個平移及1個繞轉(zhuǎn)動副R13軸線的轉(zhuǎn)動，但其中僅有1個獨立運動，其余3個運動為寄生運動。注：自由度計算時，如將該機構(gòu)視為僅包含前述的產(chǎn)生3T1R的混合支鏈HSOC1和簡單支鏈Ⅲ組成的一個獨立回路，即混合支鏈等效于）支鏈。顯然，該回路的獨立位移方程數(shù)ξ＝6。由式（3）得

顯然，自由度計算時，采用等效支鏈替代部分復(fù)雜支鏈自由度計算較為簡單。

2.3 機構(gòu)耦合度計算

（1）由基于單開鏈SOC的機構(gòu)組成原理［12］知，任一機構(gòu)可分解為一系列單開鏈，而第j個單開鏈SOCj的約束度為

式中，mj為第j個單開鏈SOCj的運動副數(shù)；fi為第i個運動副的自由度（不含局部自由度）；Ij為第j個單開鏈SOCj的驅(qū)動副數(shù)。

進(jìn)一步，一組有序的v個SOC可構(gòu)成一個獨立回路數(shù)為v的基本運動鏈 （basic kinematics chain，BKC），對一個BKC而言，須滿足

（2）2.2節(jié)中已求得兩個回路的獨立位移方程：ξL1＝4，ξL2＝6，則由式（5），得SOC1、SOC2的約束度分別為

于是，耦合度

該并聯(lián)機構(gòu)僅包含一個基本運動鏈，其耦合度為1，可用基于序單開鏈法的一維搜索法來求解該機構(gòu)位置正解。

3 運動學(xué)分析

3.1 建立坐標(biāo)系

如圖1所示，該機構(gòu)靜平臺0是由轉(zhuǎn)動副R11、R21、R31為頂點的等邊三角形。動平臺1上的轉(zhuǎn)動副R13、球副S32分別位于構(gòu)件1的兩端點。在靜平臺0的幾何中心處o建立固定坐標(biāo)系oxyz，x軸垂直于R11R31連線且過R21，y軸平行于R11R31的連線，z軸由右手笛卡兒坐標(biāo)系法則確定；在動平臺1的中點p建立坐標(biāo)系puvw，v軸為R13S32連線，u軸垂直于v軸，w軸由右手笛卡兒坐標(biāo)系法則確定，其運動學(xué)模型如圖2所示。

圖2 單自由度3T1R機構(gòu)的位置計算簡圖Fig.2 Position calculation sketch of 1-DOF 3T1RPM

該機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：lA1A2＝lA2A3＝lA1A3＝l1，lH1B3＝l2；其余桿長分別為lA1B1＝lC1D1＝0.5l3；lA2B2＝l3；lD1E1＝lB2C2＝l4；lE1F1＝lC2D2＝0.5l5；而lG1G2＝l5；lG2H1＝l6；lA3B3＝l7；lB1C1＝r1、lF1G1＝r2、lF2G2＝r3（為簡化計算，長度為ri的桿長都與靜平臺平行，桿F1G1和桿F2G2都和各自的平行四邊形共面）。

圖3 各角度的定義Fig.3 Definition of angles

各角度定義如下（圖2、圖3）：B1C1與y軸正向的夾角為輸入角θ1，F(xiàn)2G2與y軸正向的夾角為θ2；A3B3與靜平臺的夾角為θ3；D1E1在靜平臺上的投影與y軸正向的夾角為虛擬輸入角δ＊；D1E1與z軸正向的夾角為γ。動平臺p的坐標(biāo)為（x，y，z），v軸與x軸正向的轉(zhuǎn)角為動平臺姿態(tài)角α。

3.2 基于序單開鏈的機構(gòu)位置正解求解原理

因機構(gòu)包含的任一BKC可分解為約束度為正值、零、負(fù)值3種形式的單開鏈，因此，機構(gòu)位置正解的求解可轉(zhuǎn)化為3種單開鏈的位置求解，而3種單開鏈的約束特性及其建模方法如下。

（1）約束度為正值的SOC（Δ＋i）會使機構(gòu)自由度增加Δ＋i；為確定其運動，需在約束度為正值的SOC（Δ＋i）上設(shè)定Δ＋i個虛擬變量（Δ＋i＝κ）。

（2）約束度為零的SOCΔ0i（）不影響機構(gòu)自由度，其運動具有確定性，即其位置正解能獨立求解。

（3）約束度為負(fù)值的SOC（Δi－）使機構(gòu)自由度減少 Δi－，即對機構(gòu)施加了 Δi－個約束方程（Δi－＝κ）。

因SOC（Δi＋）中的虛擬變量數(shù)目Δi＋恰等于約束方程數(shù)目 Δi－，易建立含Δi＋個變量的位置方程；之后可得到含一個變量的高次方程并求得其封閉解，或用一維搜索法直接求得數(shù)值解。

3.3 位置正解分析

位置正解問題歸納為：已知1個驅(qū)動輸入θ1，確定動平臺的位置p （x，y，z）和姿態(tài)角α。

3.3.1 在約束度Δ1＝1的單開鏈SOC1上

在支鏈Ⅰ、Ⅱ上，分別求得G2點的坐標(biāo)為

由式（6）、式（7）可得

由式（8）可知，γ為虛擬輸入角δ的函數(shù)。

3.3.2 在約束度Δ2＝－1的單開鏈SOC2上

由支鏈Ⅰ、Ⅲ，分別求得p點的坐標(biāo)為

由式（11）、式（12）易知，θ3、α 也為虛擬輸入角δ的函數(shù)。進(jìn)一步，由，得

將式（8）、式（11）、式（12）代入式（13），可得到只含有虛擬變量δ＊的方程；通過不斷改變δ＊的值，找到滿足f（δ＊）＝0的真實δ＊所有解。最后，將真實的δ＊代入式（10）、式（12），可得到動平臺位置p（x，y，z）和姿態(tài)角α。

3.4 位置逆解分析

機構(gòu)反解問題為：已知動平臺的位置p（x，y，z）及姿態(tài)角α，求驅(qū)動副的輸入角θ1。由位置正解式（9），可得到

3.5 速度分析

機構(gòu)速度問題可描述為：已知驅(qū)動副R11的轉(zhuǎn)速θ·1，求動平臺的質(zhì)心p的線速度v及角速度α。分別令式（6）、式（7）相等以及式（9）、式（10）相等，并對時間求導(dǎo)，消元化簡可得

對式（10）求導(dǎo)，可得

由式（16）、式（17）即可得到動平臺的質(zhì)心速度及其角速度。

3.6 加速度分析

對式（17）求導(dǎo)可得

由式（19）、式（20）即可得到動平臺的質(zhì)心加速度及角加速度。

4 計算實例

4.1 位置正反解算例

設(shè)該并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：l1＝250 mm；l2＝88mm；l3＝81.75mm；l4＝120mm；l5＝24mm；l6＝17mm；l7＝180mm；r1＝29.75 mm；r2＝30mm；r3＝45mm；設(shè)輸入角θ1＝30°，由一維搜索法可得兩組實數(shù)正解，見表1，對應(yīng)的裝配構(gòu)型如圖4、圖5所示。

表1 位置正解數(shù)值Tab.1 Numerical values of direct kinematics

圖4 位置1對應(yīng)的裝配構(gòu)型Fig.4 Assembly configuration of Position1

圖5 位置2對應(yīng)的裝配構(gòu)型Fig.5 Assembly configuration of Position2

將正解1數(shù)據(jù)代入式（13），得其中一組解為θ1＝29.998 2°，從而驗證了正反解的正確性。

4.2 速度和加速度算例

用ADAMS進(jìn)行運動仿真，也可得到該機構(gòu)動平臺p的速度與加速度曲線，見圖6、圖7所示。

表2 動平臺的速度分析Tab.2 Velocity of moving platform

表3 動平臺的加速度分析Tab.3 Acceleration of moving platform

圖6 動平臺的速度曲線Fig.6 Velocity curve of moving platform

由表3知：由加速度公式（20）得到的數(shù)值（t＝2s時，ax＝ －6.428mm／s2；ay＝25.59 mm／s2；az＝9.547mm／s2；α··＝9.832（°）／s2），與加速度仿真曲線（圖7）得到的數(shù)值（t＝2s；ax＝－6.5mm／s2；ay＝25.7mm／s2；az＝9.7mm／s2；α··＝9.633 7（°）／s2）基本一致，故速度、加速度導(dǎo)出公式正確。

圖7 動平臺對應(yīng)的加速度曲線Fig.7 Acceleration curve of moving platform

5 并聯(lián)振動篩的虛擬樣機

單自由度3T1R并聯(lián)振動篩的樣機設(shè)計如圖8所示，它包含靜平臺0、動平臺1、由支鏈Ⅰ和支鏈Ⅱ組成的混合支鏈、RS型支鏈Ⅲ以及驅(qū)動系統(tǒng)5大部分，可用SolidWorks分別建立其CAD設(shè)計模型。

圖8 單自由度3T1R并聯(lián)振動篩虛擬樣機Fig.8 Virtual prototype of 1-DOF 3T1R parallel vibrating screen

為了保證振動篩有足夠的剛度和強度，支鏈Ⅰ、Ⅱ的平行四邊形及支鏈Ⅲ采用密度小、強度高、易加工的鋁合金；同時，在與轉(zhuǎn)動副R22連接的短邊2處宜采用鋁板，從而保證它能傳遞一定的轉(zhuǎn)矩而不變形，如圖9所示。篩分裝置的靜平臺為長方形鋼板，橢圓形篩箱為動平臺，其長半徑方向為篩分物料的給料方向。

圖9 并聯(lián)機構(gòu)支鏈結(jié)構(gòu)設(shè)計Fig.9 Design of the limbs

6 結(jié)論

（1）提出了一種低耦合度（κ＝1）的單自由度3T1R并聯(lián)機構(gòu)，該機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單、驅(qū)動源少，可用于振動篩分機構(gòu)。

（2）根據(jù)序單開鏈法的運動學(xué)建模原理，建立了一個含1個變量的機構(gòu)位置正解求解方程，并運用一維搜索法得到了該機構(gòu)的位置正解。

（3）根據(jù)導(dǎo)出的正解公式，導(dǎo)出了該機構(gòu)的速度與加速度公式，并運用ADAMS軟件仿真驗證了機構(gòu)的速度與加速度曲線。

（4）給出了基于該單自由度并聯(lián)機構(gòu)的3T1R維并聯(lián)振動篩的虛擬樣機設(shè)計。

本文工作為該3T1R并聯(lián)振動篩的優(yōu)化、機械結(jié)構(gòu)設(shè)計及制造、動力學(xué)分析提供了一定的參考。