常系數線性微分方程解法研究的新認識

趙臨龍

(安康學院數學與統(tǒng)計學院，陜西 安康 725000)

1 引言

對于常系數線性方程

盡管理論上，已經知道方程(1)的解，由齊次方程L(x) ＝0 的通解與其非齊次方程L(x) ＝f(t) 特解的和構成.但在具體的解法中，已有常系數齊次方程L(x) ＝0 的通法，而對于非齊次方程L(x) ＝f(t) 的特解，函數f(t) 在什么條件下存在解，以及怎樣求出其解，并沒有給出具體的通法[1-12].因此，常系數線性微分方程的解法依然是未徹底解決的“世界難題”.

筆者在文獻[13-14]中，對于常系數線性微分方程組的解法進行研究，得到相關結論.本文將在此基礎上，對常系數線性非齊次微分方程解法進行深入討論，針對函數f(t) 探討常系數線性非齊次方程解存在的條件，并給出可解的常系數線性微分方程較普遍的解法.

2 方程組的解理論

對于常系數線性微分方程(1)，通過變換:

化為常系數線性微分方程組:

其常系數線性微分方程(1)與常系數線性微分方程組(3)的特征根不變.[15]

對于常系數線性齊次微分方程組(3)，有以下結論

定理1[13-14]如果常系數線性微分方程組(3)有n 個互異的特征根λ1，λ2，...，λn，而對應的線性無關的特征行向量為K1，K2，…，Kn，則(3)化為一階線性微分方程

定理2[13-14]如果常系數線性微分方程組(3)有不同的特征根λ1，λ2，…，λm，其重數分別為n1，n2，…，nm，n1＋n2＋…＋nm＝n，而對應的線性無關的特征行向量為K1，K2，...，Km，則(3)化為一階線性微分方程

其中特征根λi對應特征行向量為Ki，xim、xi(m-1)為滿足方程組(5)的遞推解，i ＝1，2，...，m，對于自然數m 滿足2 ≤m ＜n.

定理3 常系數線性微分方程(1)，通過變換(2)生成的常系數線性微分方程組(3)，有n 個互異的特征根λ1，λ2，...，λn，而且對應的線性無關的特征行向量為K1，K2，...，Kn，則積分(6)存在時，

方程組(3)化為一階線性微分方程:

證明:對于常系數線性方程(1)在變換(2)下化為常系數線性微分方程組(3).

此時，若方程組(3)的特征根為n 個互異的特征根λi(i ＝1，2，...，n) ，對應的線性無關的特征行向量Ki＝(ki1，ki2，...，kin)(i ＝1，2，...，n) 滿足

則有一階線性微分方程:[13-14]

其中KI＝(ki，ki2，…，kin)，x ＝(x1，x2，…，xn)τ，f ＝(f1，f2，…，fn)τ，(i ＝1，2，…，n).顯然，一階線性微分方程(9)有形式:

即方程(9)在可積條件(6)下可解.定理1 獲得證明.

定理4 常系數線性微分方程(1)，通過變換(2)生成的常系數線性微分方程組(3)，有不同的特征根λ1，λ2，...，λm，其重數分別為n1，n2，...，nm，n1＋n2＋... ＋nm＝n，而且對應的線性無關的特征行向量為K1，K2，...，Km，則當積分(11)和(12)存在時，

方程組(3)化為一階線性微分方程:

其中特征根λi對應特征行向量為Ki，xim、xi(m-1)為滿足方程組(13)的遞推解，i ＝1，2，...，m，對于自然數m 滿足2 ≤m ＜n.

證明:對于常系數線性方程(1)在變換(2)下化為常系數線性齊次方程組(3).

若方程組(3)的特征根λi為m 重根，則(A - λiE)m＝o(i ＝1，2，...，m，對于自然數m 滿足2 ≤m ＜n)，并且對于常數列向量u1的m -1 個廣義列向量ui(i ＝1，2，...，m) 滿足:[13-14]

對于方程組(3)的齊次形式x′ ＝Ax，在(9)中，其線性無關的解，xi(m-1)＝um-1eλt、xim＝umeλt(i ＝1，2，…m，對于自然數m 滿足2 ≤m ＜n)滿足方程:

①對于(A - λiE)xim＝0(i ＝1，2，…m，對于自然數m 滿足2 ≤m ＜n)，由定理3 將方程組(3)化為一階線性微分方程形式

其中特征根λi的對應特征行向量為Ki(i ＝1，2，…m) .

②對于(A - λiE)xi(m-1)＝xim，( i ＝1，2，…m，對于自然數m 滿足2 ≤m ＜n)，則

其中xim，( i ＝1，2，…m，對于自然數m 滿足2 ≤m ＜n)為滿足(17)的解.

由(A - λiE)m＝0 ，( i ＝1，2，…，m，對于自然數m 滿足2 ≤m ＜n)，取對應線性無關的特征行向量為Km-1(對于自然數m 滿足2 ≤m ＜n)，滿足:

于是，有方程

其中i ＝1，2，…，m，對于自然數m 滿足2 ≤m ＜n.

此時，由②中的關系式，得到

其中xim(i ＝1，2，…，m)為滿足(17)的解.

即方程組(3)的化為以下形式

其中特征根λi對應特征行向量為Ki，xim、xi(m-1)為滿足(23)的遞推解，i ＝1，2，…，m，對于自然數m 滿足2 ≤m ＜n.

顯然方程組(23)可解的條件，是以下積分存在:

即方程(10)在可積條件(11)和(12)下可解.定理2 獲得證明.

3 方程組解理論的應用

例1[2]解方程

解 由特征方程F(λ) ＝(λ ＋1)3＝0 ，得到特征根λ1＝λ2＝λ3＝-1 . 對于方程組

設λ1＝-1 所對應的特征行向量K1＝(k11，k12，k13) 滿足

求得K1＝(1，2，1) ，由于

則有方程(x1＋2x2＋x3)' ＝K1Ax ＋K1f ＝- (x1＋2x2＋x3) ＋(t -5)e-t

設λ2＝-1 所對應的特征行向量K2＝(k21，k22，k23) 滿足

取K2＝(1，1，0) ，由于∫∫K2fe-λjtdtdt ＝∫0dt ＝0 ，則有方程

再取K3＝(1，0，0) ，由于∫∫K3fe-λjtdtdt ＝∫0dt ＝0 ，則有方程

由式(28)，得到原方程的解

例2[8]解方程 x''＋9x ＝2cos3t ＋t.

解:由特征方程F(λ) ＝λ2＋9 ＝0 ，得特征根為λ1，2＝±3i.對于方程組

對于λ1＝-3i 所對應的特征行向量K1＝(k11，k12) 滿足

求得K1＝(-3i，1) ，由于

則有方程

對于λ1＝3i 所對應的特征行向量K2＝(k21，k22) 滿足

求得K2＝(3i，1) ，由于

則有方程(3ix1＋x2)' ＝K2Ax ＋K2f ＝3i(3ix1＋x2) ＋2cos3t ＋t

于是，由(29)和(30)得到方程組的解:

這種一次性求特解的方法，較原文由方程x''＋9x ＝2cos3t，x''＋9x ＝t，分別求特解的方法簡便的多.

例3[1]解方程

解:由特征方程F(λ) ＝λ2-6λ ＋9 ＝(λ -3)2＝0 ，得特征根為λ1，2＝3 .對于方程組

對于λ1＝3 所對應的特征行向量K1＝(k11，k12) 滿足

設λ2＝3 所對應的特征行向量K2＝(k21，k22) 滿足

取K2＝(1，0) ，由于，則有方程

于是，(32)得到方程組的解:

顯然，本解法已將方程組(3)的函數f(t) 進行了擴展:f(t) ＝.但若取函數f(t) ＝，依然對于特征根λ ＝3 ，∫f(t)e-λjtdt ＝無初等積分形式，即對于函數f(t) ＝，

原方程是不可積的.

4 結論

對于線性常系數齊次方程L(x) ＝f(t) ，針對函數f(t) 滿足可積條件的解法，擴大了文獻[1-12]中往往注意討論函數f(t) 的特殊形式:f(t) ＝pm(t)eαtcosβt ＋qn(t)eαtcosβt( pm(t)，qn(t) 分別為多項式)的解法，更具有意義；同時，在解法研究中，涉及到函數f(t) 不滿足可積條件的線性常系數微分方程，對于研究這類“世界難題”的線性常系數微分方程，有一定啟示.