一道直線參數(shù)方程?？碱}引發(fā)的思考與探索

新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市第八中學(xué)(830002) 李昌成 董 卓 車燕昭

研究背景選修4-4《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》的內(nèi)容,在全國數(shù)學(xué)高考卷中,目前均安排在第22題進(jìn)行考查.有的題目傾向于極坐標(biāo)的考查,有的題目傾向于參數(shù)方程的考查,二者交替出現(xiàn).前幾年地方卷以小題方式考查,全國卷均以10分分值的大題進(jìn)行考查.

2018年1月底,烏魯木齊市高三一模如期舉行.第22題考查的是直線參數(shù)方程方面的問題,題目本身平易近人,不偏不倚,甚至連數(shù)字都是設(shè)置好的,可以說是一道好題,一道該得分的題.在考前,筆者還專門就這部內(nèi)容做了簡要復(fù)習(xí),強(qiáng)調(diào)了幾個(gè)風(fēng)險(xiǎn)點(diǎn),由于時(shí)間關(guān)系,未安排例題.筆者本以為學(xué)生都做得很順手,但統(tǒng)計(jì)結(jié)果大失所望.兩個(gè)班97人僅一人得滿分(我校一本率90%以上),1%的滿分率,太值得反思了.

一、再現(xiàn)學(xué)生模考錯(cuò)誤

題目(2019年烏魯木齊市一模數(shù)學(xué)卷第22題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以O(shè)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2acosθ(a＞0).

(I)求圓C的直角坐標(biāo)方程;

(II)若直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)且|PA|+|PB|=求a的值.

第一問學(xué)生幾乎都能得出正確答案：(x-a)2+y2=a2,第二問側(cè)重于考查直線標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程的t的幾何意義,由于學(xué)生這方面的知識(shí)掌握不到位,答案五花八門,錯(cuò)誤百出!下面摘錄四種錯(cuò)誤解法.

錯(cuò)解1(II)將代入(x-a)2+y2=a2得由韋達(dá)定理得而|PA|+|PB|=t1+t2,所以解得

這種解法看起來沒什么問題,但就是錯(cuò)的!因?yàn)橹挥兄本€標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程中的才有這樣的幾何意義.本題已知的直線參數(shù)方程是非標(biāo)準(zhǔn)式的,這樣做一定錯(cuò)誤,典型的知其然不知其所以然.這種解法卻是學(xué)生的主流解法,統(tǒng)計(jì)顯示這種解法占78.3%.

錯(cuò)解2(II)將直線中的參數(shù)t消去得再代入(x-a)2+y2=a2得設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則…(無法繼續(xù)解答).

這種解法把希望寄托在直角坐標(biāo)方程上,殊不知PA,PB不是圓的弦,這樣做理論上就不合適,統(tǒng)計(jì)顯示這種解法占11.3%.

錯(cuò)解3(II)將直線中的參數(shù)t消去得y=設(shè)直線的傾斜角為α,那么進(jìn)而于是直線l的標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程為(t′為參數(shù))…

這種解法中t′的系數(shù)張冠李戴,已經(jīng)出現(xiàn)錯(cuò)誤,后續(xù)運(yùn)算勞而無功!這是離正確答案最近的解法,但只占5.1%.

錯(cuò)解4(II)由于直線l的參數(shù)方程為所以直線過定點(diǎn)設(shè)直線的傾斜角為α,于是直線l的標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程為(t′為參數(shù))…

這種解法中誤將cosα,sinα當(dāng)變量,暈頭轉(zhuǎn)向,無法繼續(xù)解答!

二、錯(cuò)誤原因分析

(一)對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)、教材、考試大綱認(rèn)識(shí)不到位

圖1

對(duì)于參數(shù)方程,近幾年考試大綱及說明沒有變化,主要就三點(diǎn)：(1)了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義;(2)能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程;(3)舉例說明某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更方便,感受參數(shù)方程的優(yōu)越性.那么對(duì)于直線參數(shù)方程而言,我們務(wù)必注意“選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)”.如圖1,教科書介紹的直線參數(shù)方程僅是過定點(diǎn)M0(x0,y0),傾斜角為α的直線的標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程(t為參數(shù)).t具有如下的幾何意義：即直線上的動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離等于參數(shù)t的絕對(duì)值.t＞0,則的方向向上;t＜0,則的方向向下;t=0,則點(diǎn)M與點(diǎn)M0重合.直線上任意兩點(diǎn)間的距離為|t1-t2|.

課程標(biāo)準(zhǔn)還指出：參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的方程,是曲線在同一坐標(biāo)系下的又一種表示形式.某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更方便.學(xué)習(xí)參數(shù)方程有助于學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)解決問題中數(shù)學(xué)方法的靈活多變.這一點(diǎn)在直線標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程上體現(xiàn)得尤為突出.

(二)師生教學(xué)投入不夠,知識(shí)不成體系

部分老師認(rèn)為這個(gè)題就是送分的,新課草草講完,幾乎不復(fù)習(xí),快速進(jìn)入一輪復(fù)習(xí).對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況停留在答案正確就行的層面,默許學(xué)生用直角坐標(biāo)方程應(yīng)對(duì)一切,沒有挖掘這塊內(nèi)容的內(nèi)涵,知識(shí)沒有構(gòu)成體系.而學(xué)生或許只會(huì)幾個(gè)轉(zhuǎn)化公式,只能將極坐標(biāo)與參數(shù)方程問題歸結(jié)于直角坐標(biāo)方程來解答.對(duì)于前幾年的一部分題目尚可,近年的一部分高考題目轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程后,由于掩蓋了幾何意義,使得運(yùn)算繁雜,甚至無法完成.這是有隱患的,筆者近十年一直在帶高三畢業(yè)班,感受十分明顯,考查幾何意義的題型學(xué)生難以應(yīng)答.

(三)依賴心理導(dǎo)致解題方法陳舊死板

考試結(jié)束后,我和學(xué)生進(jìn)行了深入地探討,究竟是什么原因?qū)е陆Y(jié)果如此慘烈?學(xué)生一致反映,由于對(duì)直線和圓錐曲線已經(jīng)比較熟悉,所以解題中對(duì)此有嚴(yán)重依賴,不情愿去接受“新”知識(shí),“新”方法,導(dǎo)致學(xué)習(xí)不主動(dòng),功夫不到家,該掌握的重要技能并未掌握,尤其是直線參數(shù)方程中的t的幾何意義,更談不上靈活應(yīng)用,對(duì)于一些試題陷阱就熟視無睹了.本題就不宜用直角坐標(biāo)方程解答第二問,在一知半解的情況下,明知答案很怪異也束手無策.

三、利用直線標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程解答更方便的幾類問題

類型1 借助動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的三種位置關(guān)系導(dǎo)致參數(shù)t的符號(hào)變化,準(zhǔn)確表示距離

例12019年烏魯木齊市一模數(shù)學(xué)卷第22題,題目見前文.

解(I)略解：

例2 (2015年湖南卷理科第16題)已知直線l：(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ.

(I)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;

(II)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為直線l與曲線C的交點(diǎn)為A,B,求|MA|·|MB|的值.

解(I)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ,所以

將ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入 ①得C的直角坐標(biāo)方程為

例3(2018年烏魯木齊市第八中學(xué)高三?？紨?shù)學(xué)理科卷第22題)曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ-ρcosθ-1=0.

(I)將曲線C的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程;

(II)設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(0,1),直線l與曲線C的交點(diǎn)為A,B,求|PA|·|PB|的值.

解(I)曲線C的參數(shù)方程為所以C的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程為

(II)直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ-ρcosθ-1=0.所以l的直角坐標(biāo)方程為y=x+1,因此l的傾斜角為45°,于是l的標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程為(t為參數(shù)).將其代入 ①得設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為t1,t2,則易知定點(diǎn)P在點(diǎn)A,B之間,所以

評(píng)注以上三個(gè)例題展示了動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)三種位置關(guān)系下,參數(shù)t的符號(hào)選擇,這非常重要,顯示了直線標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程的獨(dú)到功能,便捷之處.

類型2 利用參數(shù)t的幾何意義求弦長

例4(2016年高考全國卷II理科第23題)在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.

(I)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程;

(II)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點(diǎn),求l的斜率.

解(I)整理圓C的方程(x+6)2+y2=25得

將ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ代入 ①得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+12ρcosθ+11=0.

類型3 利用傾斜角α求軌跡

例5 (2010年高考全國課標(biāo)卷理科第23題)已知直線(t為參數(shù)).圓(θ為參數(shù)).

(II)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作C1的垂線,垂足為A,P為OA的中點(diǎn),當(dāng)α變化時(shí),求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線.

解(I)當(dāng)時(shí),直線C1的普通方程為y=曲線C2的普通方程為x2+y2=1.聯(lián)立方程組解得C1與C2的交點(diǎn)為(1,0),

(II)直線C1的普通方程為sinαx-cosαy-sinα=0,直線OA的普通方程為cosαx+sinαy=0.于是交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(sin2α,-cosαsinα),故當(dāng)α變化時(shí),P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為：(α為參數(shù)),普通方程為所以P點(diǎn)軌跡是圓心為半徑為的圓.

類型4 利用參數(shù)t的幾何意義求軌跡

例6 (2018年高考全國卷III理科第22題)在直角坐標(biāo)系xOy中,圓O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),過點(diǎn)且傾斜角為α的直線l與圓O交于A,B兩點(diǎn).

(I)求α的取值范圍;

有。很多次，她從屋外進(jìn)來，站在我的身后，雙手蒙住我的眼睛。我轉(zhuǎn)過臉去，拉下她的手，看見她臉上有頑皮笑容。她問我，琴藥，你害怕嗎。我回答她，是，我很害怕。直到我變老，死去，都將如此。

(II)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.

解(I)圓O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1.當(dāng)時(shí),l與圓O交于兩點(diǎn).當(dāng)時(shí),記tanα=k,則l的方程為l與圓O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)解得k＜-1或k＞1,即綜上,α的取值范圍是

(II)l的參數(shù)方程為

將 ①代入x2+y2=1得設(shè)A,B,P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則且又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是

類型5 利用參數(shù)t構(gòu)造函數(shù)

例7 (2015年高考陜西卷理科第23題)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為

(I)寫出圓C直角坐標(biāo)方程;

(II)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí),求P的直角坐標(biāo).

解(I)由得將ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入得所以圓C直角坐標(biāo)方程為

類型6轉(zhuǎn)換定點(diǎn),應(yīng)用t的幾何意義

例8 (原創(chuàng)題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=3.

(I)寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

解(I)對(duì)ρ=3平方得ρ2=x2+y2=9,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=9.

(II)將直線l的參數(shù)方程中的t消去得l的普通方程當(dāng)x=0時(shí),因此直線l的參數(shù)方程也可以表示為(t為參數(shù)),將其代x2+y2=9入得設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為t1,t2,則所以

類型7 利用參數(shù)t簡化目標(biāo)函數(shù)

例9 (2005年高考全國卷II理科第21題)P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓上,F為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn).已知與共線,與共線,且求四邊形PMQN的面積的最大值和最小值.

解由已知得F(0,1),則直線PQ的標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將其代入得(1+cos2θ)t2+2sinθt-1=0,設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為t1,t2,則于是同理,所以當(dāng)時(shí),當(dāng)θ=0時(shí),Smax=2.

點(diǎn)評(píng)此法避開了由直線斜率存在與不存在而引發(fā)的討論.S與θ的函數(shù)關(guān)系簡單明了,思路連貫,解答所用知識(shí)都是最常見、最重要,學(xué)生易于掌握的內(nèi)容.最重要的是最值容易求得.此法有效避開了傳統(tǒng)解法的繁雜運(yùn)算,再次顯示標(biāo)準(zhǔn)式直線參數(shù)方程的強(qiáng)大功能!

四、分類提升訓(xùn)練

1.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ=1.

(I)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;

(II)求直線l被曲線C截得的弦長.

參考答案：(I)x2-y2=1;(II)

2.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ-4cosθ+3ρsin2θ=0,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l過點(diǎn)M(1,0),傾斜角為

(I)求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程;

(II)若曲線C經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C′,且直線l與曲線C′交于A,B兩點(diǎn),求|MA|+|MB|.

參考答案：(I)(x-2)2+4y2=4,為參數(shù));

3.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,已知曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù),0≤α＜π),曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=-2sinα.

(I)求C1的極坐標(biāo)方程與C2的直角坐標(biāo)方程;

(II)若P是C1上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P的直線l與C2交于M,N兩點(diǎn),求|PM|·|PN|的取值范圍.

參考答案：(I)ρ=1(0≤θ≤π),x2+(y+1)2=1;(II)[1,3].

4.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為：(θ為參數(shù)).

(I) 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求曲線C的極坐標(biāo)方程;

(II)直線l的參數(shù)方程為：(其中t為參數(shù)),直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),且求直線l的斜率.

5.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為

(I)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;

(II)在曲線C上是否存在一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到直線l的距離最小?若存在,求出距離的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

參考答案：(I)(x-1)2+(y-1)2=2,x-y-4=0;

五、展望2019年高考

這些年全國卷都比較平穩(wěn),沒有太大的波動(dòng),本題應(yīng)該是多數(shù)學(xué)生的得分點(diǎn),從思想上一定要有必勝的信心.最值問題、函數(shù)問題、軌跡問題、長度問題、面積問題、存在性問題依然可以重現(xiàn),直線參數(shù)方程中t的幾何意義的靈活應(yīng)用一定是熱點(diǎn).在全國大部分省市都使用全國卷的前提下,知識(shí)的深度、廣度可能會(huì)增加,教學(xué)時(shí)可以對(duì)知識(shí)進(jìn)行深層次挖掘.選做題依賴于轉(zhuǎn)化為解析幾何作答的時(shí)代可能不復(fù)存在.