形狀調(diào)配中帶參數(shù)的過渡曲線設(shè)計

嚴(yán)蘭蘭，樊繼秋，馬 力

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形狀調(diào)配中帶參數(shù)的過渡曲線設(shè)計

嚴(yán)蘭蘭1，樊繼秋1，馬 力2

(1. 東華理工大學(xué)理學(xué)院，江西 南昌 330013；2. 湖北省麻城市第一中學(xué)，湖北 麻城 438300)

曲線設(shè)計；過渡曲線；形狀調(diào)配；形狀調(diào)整

形狀調(diào)配，又稱為形狀混合，也就是曲線曲面混合，是幾何造型領(lǐng)域中的一個重要研究課題，也是曲線曲面控制設(shè)計中的一種常用技術(shù)[1]，同時也是計算機(jī)關(guān)鍵幀動畫的核心技術(shù)。形狀調(diào)配一般是指在兩個關(guān)鍵幀中插入若干中間幀，產(chǎn)生連續(xù)平滑的過渡[2]。在已有文獻(xiàn)中，形狀調(diào)配指的是由兩條(張)給定的曲線(曲面)通過形狀混合的方式生成一條(張)新的曲線(曲面)，新曲線將給定曲線中一條的首端與另一條的尾端光滑地連接起來，新曲面將給定曲面沿同一參數(shù)方向的兩條邊界曲線光滑地連接起來，要求新曲線(曲面)在端點(diǎn)(邊界)處與給定曲線(曲面)重合，并且在端點(diǎn)(邊界)處滿足一定的參數(shù)連續(xù)或幾何連續(xù)條件[1,3]，本文討論的即是該形狀調(diào)配。根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)給定的曲線曲面可以稱為基曲線曲面、待混合曲線曲面，或者待過渡曲線曲面，新曲線曲面則稱為混合曲線曲面，或者過渡曲線曲面，本文采用基曲線和過渡曲線來指代給定曲線和新曲線。形狀調(diào)配，實(shí)際上也可以通過插值的方式來實(shí)現(xiàn)，但是傳統(tǒng)的插值方法，如Hermite插值、參數(shù)連續(xù)C插值和幾何連續(xù)G插值等方法，往往只考慮端點(diǎn)處的局部幾何信息，而混合方法由于可以較好地結(jié)合基曲線曲面的全局幾何信息，因此得到的曲線曲面形狀往往更加真實(shí)有效[4]。

在形狀調(diào)配中，基曲線的類型是多種多樣的。張宏鑫和王國瑾[5]給出了保持一階、二階幾何連續(xù)的Bézier曲線形狀調(diào)配條件以及改進(jìn)的調(diào)配方法。劉華勇等[6-8]給出了在線性混合過程中，一階、二階參數(shù)擬連續(xù)的保持條件，得出了3種不同類型的Bézier-like曲線在形狀調(diào)配中保持一階、二階參數(shù)擬連續(xù)性特征的方法。劉華勇等[9]討論了文獻(xiàn)[8]中的Bézier-like曲線在線性混合過程中保持一階、二階幾何連續(xù)的條件以及方法。由于文獻(xiàn)[6-9]中的基曲線都是帶形狀參數(shù)的Bézier-like曲線，因此相應(yīng)的過渡曲線都可以在不改變端點(diǎn)處連續(xù)性的前提下調(diào)整形狀。但同時注意到，如果附加一個前提條件，即基曲線形狀固定，那么文獻(xiàn)[6-8]中構(gòu)造的過渡曲線實(shí)際上是不具備形狀可調(diào)性的。原因在于其過渡曲線之所以形狀可調(diào)，是因?yàn)榛€形狀可調(diào)，改變其形狀參數(shù)，基曲線形狀發(fā)生變化，進(jìn)而帶動過渡曲線形狀的改變。然而對于文獻(xiàn)[9]而言，即使規(guī)定基曲線形狀固定，由其構(gòu)造的過渡曲線形狀依然可以調(diào)整，這是因?yàn)樗o過渡曲線的方程中包含了不依附于基曲線的調(diào)節(jié)參數(shù)。雖然文獻(xiàn)[9]中的過渡曲線具備相對于固定基曲線的形狀調(diào)整能力，但其基曲線是指定類型的Bézier-like曲線?？紤]到在實(shí)際應(yīng)用中，基曲線的模型往往并非特定，因此，要想得到適用面更廣的形狀調(diào)配方法，必須突破對基曲線類型的限制。

李凌豐等[10]提出基于勢函數(shù)與Metaball技術(shù)的過渡曲線構(gòu)造方法，其采用一種6次多項(xiàng)式勢函數(shù)來構(gòu)造過渡曲線，由該方法構(gòu)造的過渡曲線對基曲線的種類沒有限制，所得過渡曲線形狀自然，但過渡曲線在兩個端點(diǎn)處與基曲線之間只能達(dá)到擬1連續(xù)，并且過渡曲線不具備相對于固定基曲線的形狀調(diào)整能力。基于嚴(yán)蘭蘭等[11]所給帶形狀參數(shù)的Bézier曲線模型，李軍成等[3,12]采用相同的方法構(gòu)造了一種帶參數(shù)的7次多項(xiàng)式調(diào)配函數(shù)，任給兩條參數(shù)曲線作為基曲線，由該調(diào)配函數(shù)構(gòu)造的過渡曲線在兩個端點(diǎn)處與基曲線之間可以達(dá)到擬2連續(xù)，而且過渡曲線的形狀還可以在不改變基曲線形狀以及過渡曲線與基曲線在端點(diǎn)處連續(xù)性的情況下自由調(diào)整。也就是說，文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[12]中的過渡曲線不僅兼具了文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]中過渡曲線的優(yōu)點(diǎn)，而且還提高了文獻(xiàn)[10]中過渡曲線在端點(diǎn)處的連續(xù)性。

為了保留文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[12]中形狀調(diào)配方法的2個優(yōu)點(diǎn)：①對基曲線的類型不做限制；②過渡曲線形狀可調(diào)，同時又進(jìn)一步提升過渡曲線在端點(diǎn)處與基曲線之間的連續(xù)性。本文打算構(gòu)造一種新的含參數(shù)的多項(xiàng)式調(diào)配函數(shù)，使得對于任意給定的基曲線，由該調(diào)配函數(shù)構(gòu)造的過渡曲線在端點(diǎn)處與基曲線之間至少可以達(dá)到擬3連續(xù)，而且過渡曲線的形狀還可以在不改變基曲線形狀的前提下自由調(diào)整。

1 預(yù)備知識

1.1 問題描述

從形狀調(diào)配的應(yīng)用背景出發(fā)，過渡曲線的構(gòu)造問題可以描述為：已知平面上兩條參數(shù)曲線1()與2()，1()的起點(diǎn)記為，2()的終點(diǎn)記為，希望構(gòu)造一條曲線()，以為起點(diǎn)，以為終點(diǎn)，如圖1所示。要求曲線()的形狀取決于曲線1()與2()的形狀，并要求曲線()在兩個端點(diǎn)和處分別與曲線1()、2()之間滿足一定的擬連續(xù)性要求。

圖1 過渡曲線的構(gòu)造

稱1()與2()為基曲線，稱()為過渡曲線。文獻(xiàn)[12]給出過渡曲線的方程為

式(1)表明過渡曲線為基曲線的加權(quán)組合，當(dāng)基曲線給定時，過渡曲線的形狀和性質(zhì)完全取決于調(diào)配函數(shù)的性質(zhì)。

1.2 Bernstein基函數(shù)的相關(guān)結(jié)論

定理1. Bernstein基函數(shù)具有下列性質(zhì)：

(6) 端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。次Bernstein基函數(shù)在端點(diǎn)處的階導(dǎo)數(shù)為

證明：性質(zhì)(1)~(5)在教材[13]中可以直接找到。下面推導(dǎo)性質(zhì)(6)。

又文獻(xiàn)[13]中給出

對照式(5)和式(7)即可得出式(2)。將式(8)改寫為

對照式(6)和式(9)即可得出式(3)。 證畢。

2 調(diào)配函數(shù)及其性質(zhì)

2.1 調(diào)配函數(shù)需滿足的條件

將式(1)整理成

由Leibniz公式可得

要使過渡曲線()在兩個端點(diǎn)處與曲線1()和2()之間滿足擬3連續(xù)要求，必須

其中，=0,1,2,3。

由式(10)可知，若調(diào)配函數(shù)()在兩個端點(diǎn)處滿足條件

以及

則有式(11)成立。因此式(12)和式(13)給出了為使過渡曲線在端點(diǎn)處達(dá)到擬3連續(xù)，調(diào)配函數(shù)需滿足的條件。

2.2 不含參數(shù)的調(diào)配函數(shù)

由2.1節(jié)的分析可知，為了使式(1)給出的過渡曲線在兩個端點(diǎn)處達(dá)到擬3連續(xù)，必須要求調(diào)配函數(shù)()滿足式(12)和式(13)給出的所有條件。條件一共有8個，當(dāng)調(diào)配函數(shù)()為7次多項(xiàng)式時，其未知系數(shù)一共有8個，恰好與條件個數(shù)一致，因此將其條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于未知系數(shù)的方程組，有望得到唯一解。

多項(xiàng)式調(diào)配函數(shù)()既可以用冪基表達(dá)，也可以用Bernstein基函數(shù)表達(dá)。式(12)和式(13)涉及到調(diào)配函數(shù)()的導(dǎo)數(shù)，雖然冪基求導(dǎo)方便，但用冪基表示時，所得方程組的解要通過一定計算才能得出。

將調(diào)配函數(shù)()用Bernstein基函數(shù)表達(dá)，設(shè)

由式(2)和式(12)及式(14)可得

由此推出

由式(3)和式(13)及式(14)可得

由此推出

將式(15)和式(16)所得結(jié)果代入式(14)，得到

定理2.由式(17)得到的調(diào)配函數(shù)()具有下列性質(zhì)：

(1) 端點(diǎn)性。即式(12)和式(13)成立。

(2) 對稱性。即()+(1-)=1。

(4) 單調(diào)性。即()關(guān)于單調(diào)遞增。

證明：

(1) 由()的構(gòu)造過程可知，端點(diǎn)性顯然成立。

(2) 由Bernstein基函數(shù)的對稱性可得

再由Bernstein基函數(shù)的規(guī)范性可得

(4) 由Bernstein基函數(shù)的求導(dǎo)公式可得

圖2給出了調(diào)配函數(shù)()的圖形，從圖中可直觀看出其端點(diǎn)性((0)=0與(1)=1)、中點(diǎn)性、單調(diào)性、有界性是成立的。

圖2 調(diào)配函數(shù)H(t)的圖形

2.3 含參數(shù)的調(diào)配函數(shù)

在2.2節(jié)中，從調(diào)配函數(shù)需滿足的端點(diǎn)條件出發(fā)，得到了同時具備端點(diǎn)性、對稱性、中點(diǎn)性、單調(diào)性、有界性的調(diào)配函數(shù)()。

由于()的表達(dá)式中不包含任何自由參數(shù)，因此以其作為調(diào)配函數(shù)時，按照式(1)構(gòu)造的過渡曲線形狀由基曲線唯一確定。為了實(shí)現(xiàn)在不改變基曲線的前提下，過渡曲線的形狀仍然可以調(diào)整的目標(biāo)，需要在調(diào)配函數(shù)中引入調(diào)節(jié)參數(shù)。

為了避免混淆，將融入了參數(shù)的調(diào)配函數(shù)記作()。在已有()的表達(dá)式中融入?yún)?shù)并不困難，但注意在引入?yún)?shù)的同時，不可以破壞調(diào)配函數(shù)已經(jīng)具備的性質(zhì)。

為了得到滿足預(yù)期目標(biāo)的調(diào)配函數(shù)()，將式(17)所給()的表達(dá)式升階兩次，得到

在式(18)的基礎(chǔ)上，令

因?yàn)?)已具備中點(diǎn)性，所使()滿足中點(diǎn)性，必須

定理3. 由式(19)給出的調(diào)配函數(shù)()具有下列性質(zhì)：

證明：

(1) 若記

則有

易知

由式(21)和式(22)及()的端點(diǎn)性可知，()同樣滿足端點(diǎn)性。

(2) 由式(20)可得

由式(20)和式(23)可得

由式(21)和式(24)及()的對稱性可知，()同樣滿足對稱性。

(3) 由()的構(gòu)造過程可知，中點(diǎn)性顯然成立。

(4) 將Bernstein基函數(shù)的求導(dǎo)公式用于式(19)，可得

又由式(20)和式(21)可得

(5) 由(0)=0，(1)=1，以及()關(guān)于的單調(diào)性可知，有界性成立。

(6) 在式(25)所得結(jié)果的基礎(chǔ)上再求一次導(dǎo)數(shù)，得到

記

圖3 拐點(diǎn)唯一的調(diào)配函數(shù)G(t)

圖4 單調(diào)遞增的調(diào)配函數(shù)G(t)

3 過渡曲線

3.1 過渡曲線的特征

任給兩條基曲線1()與2()，取式(19)所給()作為式(1)中的調(diào)配函數(shù)，下面根據(jù)調(diào)配函數(shù)()的性質(zhì)來分析所得過渡曲線()的特征。

(2) 由()的中點(diǎn)性可知

3.2 過渡曲線的圖例

圖5 C-形過渡曲線(基曲線上凸下凹)

圖6 S-形過渡曲線(基曲線上凸下凹)

圖7 C-形過渡曲線(基曲線上凸下凸)

圖8 S-形過渡曲線(基曲線上凸下凸)

圖9 C-形過渡曲線(基曲線上凹下凹)

圖10 S-形過渡曲線(基曲線上凹下凹)

圖11 本文方法與文獻(xiàn)[3]方法的比較

4 結(jié)束語

在對現(xiàn)有文獻(xiàn)優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，以進(jìn)一步提高文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]中過渡曲線在端點(diǎn)處的連續(xù)性為目標(biāo)，本文展開了相關(guān)研究。首先預(yù)設(shè)一個連續(xù)階，然后采用逆向思維法，從過渡曲線的表達(dá)式出發(fā)，反推出調(diào)配函數(shù)需滿足的一些最基本的性質(zhì)。將調(diào)配函數(shù)表達(dá)成Bernstein基函數(shù)的線性組合，由調(diào)配函數(shù)的基本性質(zhì)，結(jié)合Bernstein基函數(shù)的相關(guān)結(jié)論，得出滿足預(yù)設(shè)連續(xù)階的不含任何調(diào)節(jié)參數(shù)的調(diào)配函數(shù)初步表達(dá)式。為了在調(diào)配函數(shù)中引入?yún)?shù)，同時又保持調(diào)配函數(shù)已經(jīng)具備的一些良好的性質(zhì)，對調(diào)配函數(shù)的初步表達(dá)式進(jìn)行升階，進(jìn)而引入?yún)?shù)，得出調(diào)配函數(shù)的最終表達(dá)式。歸功于Bernstein基函數(shù)完善的理論和良好的性質(zhì)，調(diào)配函數(shù)的整個構(gòu)造過程未涉及復(fù)雜繁瑣的計算，所得調(diào)配函數(shù)也很自然地具備一些預(yù)期的性質(zhì)，因此可以說該調(diào)配函數(shù)的構(gòu)造方法既簡單又高效，而且還具有一般性，仿照上述步驟可以構(gòu)造出能使過渡曲線在端點(diǎn)處達(dá)到更高連續(xù)階的調(diào)配函數(shù)。下一步的研究工作可以從2個方面展開：①將本文的結(jié)果一般化，即探討如何構(gòu)造在端點(diǎn)處可以與基曲線之間達(dá)到任意C連續(xù)并且形狀可調(diào)的過渡曲線；②將本文用于構(gòu)造過渡曲線的方法推廣至過渡曲面的構(gòu)造。

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Design of Transition Curve with Parameters in Shape Blending

YAN Lan-lan1, FAN Ji-qiu1, MA Li2

(1. College of Science, East China University of Technology, Nanchang Jiangxi 330013, China; 2. The First Secondary School in Macheng City Hubei Province, Macheng Hubei 438300, China)

curve design; transition curve; shape blending; shape adjustment

TP 391.72

10.11996/JG.j.2095-302X.2019020379

A

2095-302X(2019)02-0379-09

2018-03-15；

2018-04-30

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11261003，11761008)；江西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(20161BAB211028)；江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ160558)

嚴(yán)蘭蘭(1982-)，女，湖北浠水人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)橛嬎銠C(jī)輔助幾何設(shè)計。E-mail：yxh821011@aliyun.com