虛擬正畸治療中的錯位牙齒自動排列方法

李占利，付敬鼎，李洪安，周 康，惠巧娟

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虛擬正畸治療中的錯位牙齒自動排列方法

李占利1，付敬鼎1，李洪安1，周 康1，惠巧娟2

(1. 西安科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710054； 2. 中國礦業(yè)大學(xué)銀川學(xué)院機(jī)電動力與信息工程系，寧夏 銀川 750021)

針對虛擬正畸技術(shù)中人工排牙效率低下問題，提出一種基于擬合優(yōu)化的錯位牙齒自動排列方法。對輸入的牙列模型建立排牙坐標(biāo)系，定義單顆牙齒特征點(diǎn)并建立牙齒局部坐標(biāo)系。在此基礎(chǔ)上，從低維角度分析牙列中各顆牙齒的位置和姿態(tài)，采用加權(quán)擬合優(yōu)化的方法分別計(jì)算牙齒的坐標(biāo)平移量與局部坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)量，形成牙齒位姿與空間牙列曲線的關(guān)聯(lián)約束，并結(jié)合矩形包圍盒的碰撞檢測方法，設(shè)計(jì)基于最速下降法的迭代算法在空間牙列曲線約束范圍內(nèi)調(diào)整牙齒位姿，完成牙齒的自動排列。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，排好的牙列與人工排牙結(jié)果相差無異，排牙效率大大提高；與現(xiàn)有排牙方法相比，更貼近臨床牙齒矯治，且牙齒移動代價總量明顯降低。

虛擬正畸；自動排牙；加權(quán)擬合；優(yōu)化

擁有一副整齊潔白的牙齒，能夠令人更加自信，迎合現(xiàn)代人愛美的生活觀念，牙齒健康逐漸受到人們重視。計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(computer aided design，CAD)與口腔醫(yī)學(xué)的交叉融合，使得虛擬牙齒矯治技術(shù)[1-2]成為研究熱點(diǎn)。牙齒排列是牙齒矯治的關(guān)鍵技術(shù)之一，運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)對牙齒數(shù)字模型進(jìn)行排列，一方面，分析三維空間中各顆牙齒的正畸移動方向能夠作為醫(yī)生制定治療計(jì)劃的參考，另一方面，將數(shù)字化三維牙齒模型的排列過程進(jìn)行可視化展示，可以讓患者預(yù)先了解矯治結(jié)果[3]，因此，研究牙齒排列過程具有重要意義。

傳統(tǒng)上，牙齒排列工作由人工完成。MOTOHASHI和KURODA[4]于1999年提出將數(shù)字化牙頜按單顆牙齒分離，并采用人工的方式完成排牙。人工排牙雖然能夠達(dá)到正畸治療的要求，但效率很低，通常的做法是定義排牙坐標(biāo)系與牙齒局部坐標(biāo)系，并根據(jù)臨床經(jīng)驗(yàn)對錯頜牙列生成一條牙弓線作為輔助，人為地將上下頜的牙齒牽引至牙弓線附近。此過程讓一位訓(xùn)練有素的排牙技師操作，大約需要15~20 min，而且還會存在視覺誤差影響排牙結(jié)果，由此可見，實(shí)現(xiàn)自動排牙十分有必要。

目前，CAD自動排牙技術(shù)已有諸多研究成果，自動排牙實(shí)質(zhì)是先預(yù)測每顆牙齒的位置和姿態(tài)，然后將牙齒從初始位姿移動到預(yù)測位姿的過程[5]。研究可分為錯頜正畸[6-8]和個性化義齒排牙[9-13]兩種。錯頜正畸是根據(jù)上下牙頜模型建立咬合面，及上下頜牙弓線，再將牙齒在局部范圍內(nèi)迭代調(diào)整；義齒排牙則是打破現(xiàn)有牙列咬合平衡狀態(tài)，重組牙列，其需要建立符合患者實(shí)際情況的參考平面或參考線作為排牙依據(jù)，通常是根據(jù)患者顱骨數(shù)字模型建立咬合面和牙弓線。相比較之下，錯頜正畸方法的時間復(fù)雜度雖然比義齒排牙方法高，但對于所有牙齒從初始位置移至目標(biāo)位置的移動總量而言，前者方法更有優(yōu)勢，因?yàn)檠例X移動總量越少意味著正畸治療周期越短。

上述，無論哪種研究方法都需要建立排牙參考平面或曲線。本文結(jié)合兩種研究思路的優(yōu)勢，提出一種基于擬合優(yōu)化的錯位牙齒自動排列方法。該方法無需人工操作生成咬合平面、牙弓線等作為排牙參考，可以將錯頜牙列的光固化成型(STereoLithography，STL)數(shù)字模型快速排列整齊，提高排牙效率。實(shí)驗(yàn)部分對本文方法進(jìn)行驗(yàn)證，展示了多組排牙結(jié)果，并與義齒排牙方法、專家人工排牙結(jié)果進(jìn)行對比。

1 相關(guān)工作

在錯頜正畸方面，ALAN等[5]提出通過在每顆牙齒近遠(yuǎn)中面上選取合適的特征線段，將選取的線段按照牙齒在牙弓線上的順序依次逼近牙弓線并牽引牙齒移動，以實(shí)現(xiàn)半自動排牙。王先澤等[6]提出一種基于粒子群優(yōu)化算法 (particle swarm optimization，PSO)的自動化排牙方法，將單頜的各顆牙齒特征點(diǎn)到該頜的牙弓線最短距離之和作為目標(biāo)函數(shù)，再結(jié)合PSO算法求解出牙齒正畸最終位置。KUMAR等[7]充分使用了牙齒表面特征，如牙尖、邊緣嵴等，定義牙列咬合關(guān)系、頰舌向傾斜度、牙列邊緣對齊等7項(xiàng)約束特征，并建立約束模型圖，以單顆牙齒為質(zhì)點(diǎn)、約束為彈簧，建立彈簧質(zhì)點(diǎn)模型，將上下頜牙齒逐步校正至近似最佳的咬合；但該方法采用了美國正畸學(xué)會公布的客觀評分系統(tǒng)[14](ABO-OGS)作為算法迭代依據(jù)，該評分系統(tǒng)均采用整數(shù)計(jì)分制，因此導(dǎo)致迭代次數(shù)過多，算法運(yùn)行時間長。

在義齒排牙方面，文獻(xiàn)[9-11]提出一系列關(guān)于機(jī)器人義齒排牙方法，采用冪函數(shù)作為牙弓線數(shù)學(xué)模型，利用牙寬迭代計(jì)算各顆牙齒在牙弓線上的擺放位置，分析應(yīng)對患者不同錯頜類型時將頜平面、牙弓線做出相應(yīng)調(diào)整。SUN等[12]提出利用CAD和快速成型(rapid prototyping，RP)技術(shù)輔助制作可摘全口義齒的方法，包括牙齒和牙齦個性化設(shè)計(jì)、自動排牙。文獻(xiàn)[13]介紹了一款個性化的排牙系統(tǒng)，該系統(tǒng)操作對象包括顱骨數(shù)字模型、具有牙根的牙齒數(shù)字模型等，根據(jù)顱骨模型與牙齒模型計(jì)算上下頜骨對顱底，上下頜骨之間的矢狀位置關(guān)系[15]，從而建立咬合面和牙弓線，并采用與文獻(xiàn)[9]類似的方法進(jìn)行排牙，但該系統(tǒng)在部分排牙步驟中仍需要手動調(diào)整，不完全是自動排牙。

2 自動排牙算法設(shè)計(jì)

本文研究對象是牙頜STL數(shù)字模型按單顆牙齒分離后的牙冠數(shù)據(jù)，分離時保留各顆牙齒的相對位置信息[16]。本文采用世界牙科聯(lián)盟(Fédération dentaire internationale，F(xiàn)DI)牙位表示法對牙齒進(jìn)行編號，從觀察者角度看，上頜左側(cè)從中切牙起至第三磨牙編號為11~18，上頜右側(cè)編號為21~28，下頜右側(cè)編號為31~38，下頜左側(cè)編號為41~48。圖1展示了分牙后的上頜牙列數(shù)據(jù)。

圖1 上頜牙列數(shù)據(jù)

2.1 技術(shù)準(zhǔn)備

2.1.1 排牙坐標(biāo)系

建立排牙參考坐標(biāo)系是排牙的前提條件之一，但建立坐標(biāo)系的方式不唯一，依然以觀察者的角度，按照如下步驟建立排牙坐標(biāo)系：①確定坐標(biāo)原點(diǎn)，在中線靠近嘴唇的位置，且原點(diǎn)落在咬合面上；②坐標(biāo)軸垂直咬合面，方向指向上唇、人中、鼻尖及眉間點(diǎn)；③坐標(biāo)軸與假想的中線平行，經(jīng)過上頜切牙的切緣，與左右兩側(cè)的第一磨牙近中頰尖點(diǎn)連線垂直；④坐標(biāo)軸在上頜切牙的切緣方向，指向觀察者的右側(cè)。如圖2所示，3個坐標(biāo)軸符合右手定則。

圖2 排牙坐標(biāo)系

2.1.2 牙齒局部坐標(biāo)系

本文采用通過特征點(diǎn)建立牙齒局部坐標(biāo)系的方法。特征點(diǎn)通常是一個區(qū)域與另一個區(qū)域的邊界，且特征點(diǎn)處的曲率變化較大。結(jié)合牙齒解剖學(xué)對人類牙齒特征的描述，牙齒的表面特征點(diǎn)通常定義在相鄰牙齒牙冠的接觸點(diǎn)、牙體各軸面的外形高點(diǎn)以及牙齒突出尖點(diǎn)。

圖3展示了切牙、尖牙、前磨牙、磨牙4種類型牙冠數(shù)據(jù)特征點(diǎn)。以前磨牙為例，在牙齒模型質(zhì)心處建立局部坐標(biāo)系。定義頰側(cè)尖點(diǎn)名稱為、舌側(cè)尖點(diǎn)名稱為、牙槽溝近中側(cè)緣點(diǎn)名稱為、牙槽溝遠(yuǎn)中側(cè)緣點(diǎn)名稱為。以兩點(diǎn)連線方向?yàn)樽鴺?biāo)系的軸方向，正方向由頰側(cè)指向舌側(cè)；再將兩點(diǎn)相連，以和叉積的直線方向?yàn)樽鴺?biāo)系的軸方向，正方向?yàn)橐Ш戏较?；最后以軸和軸叉積的直線方向?yàn)樽鴺?biāo)系的軸方向。圖4展示了前磨牙的局部坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系為右手坐標(biāo)系。

圖3 牙齒特征點(diǎn)

圖4 牙齒局部坐標(biāo)系

2.1.3 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

假設(shè)單顆牙齒不會發(fā)生磨損與形變，可視其為剛體，更深入的研究可以考慮上下頜咬合導(dǎo)致的牙齒微小變形。單顆牙齒在三維空間中可表示為點(diǎn)集{T}(=1,2,···,,≥4)，在本文排牙算法中記為{T}，其中為牙號。剛體在空間中自由度為6，可設(shè)單顆牙齒T上任意一點(diǎn)在排牙坐標(biāo)系的位置為(,,)，建立三維空間下單顆牙齒局部坐標(biāo)系為,,,，如圖5所示。

圖5 牙齒移動示意圖

文獻(xiàn)[17]研究了剛體移動過程中發(fā)生形變與不發(fā)生形變的2種情形，分別求解出2種情形下式(1)的仿射變換矩陣，其中發(fā)生形變時，仿射變換矩陣必不是正交矩陣，此時可將旋轉(zhuǎn)矩陣用一個近似的正交矩陣代替。牙齒初始任意位姿，經(jīng)任意平移旋轉(zhuǎn)變換為牙齒?，任意點(diǎn)處坐標(biāo)(,,)經(jīng)變換得(?,?,?)，局部坐標(biāo)系向量{,,}經(jīng)變換得{?,?,?}，且2個幾何體恒等，有正交變換為

值得注意的是，任意平移旋轉(zhuǎn)都可以拆成3個歐拉角構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣，但繞軸旋轉(zhuǎn)的順序不唯一，因此構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣的方式也不唯一。

2.2 擬合優(yōu)化

圖6 空間牙列曲線示意圖

2.2.1 平移量

結(jié)合2.1.2節(jié)的敘述，分別對上下頜取切牙切緣兩特征點(diǎn)的中點(diǎn)、尖牙的尖點(diǎn)、前磨牙的頰側(cè)尖點(diǎn)、磨牙的頰側(cè)兩特征點(diǎn)的中點(diǎn)，記為P(為牙號)，可得到點(diǎn)集{P}。

對于平移量Δ，Δ，計(jì)算思路如下：選定擬合函數(shù)模型，通過得到的投影點(diǎn)集{P}⊥擬合得到曲線表達(dá)式，再計(jì)算各投影點(diǎn)到擬合曲線的最短距離即為平移量Δ，Δ。許多專家研究了人類牙弓線數(shù)學(xué)模型，觀點(diǎn)不一，主要有橢圓線函數(shù)、垂鏈線函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)、三次樣條函數(shù)、冪函數(shù)、Beta方程[19]等。本文選用Beta方程作為擬合函數(shù)模型

其中，為牙弓深度；為牙弓寬度；參數(shù)可通過尖牙位置求得，即：在，確定后，將(2-1/2,1+2/2)坐標(biāo)代入式(2)中求出值，(1,1)，(2,2)分別為單頜左右兩側(cè)尖牙的特征點(diǎn)在橫斷面上的投影坐標(biāo)，式(2)中參數(shù)可取=42.512 mm，=57.923 mm，=1.921。

選定函數(shù)模型之后，利用最小二乘法求解擬合曲線解析式，考慮到在實(shí)際正畸治療中，后牙的移動量遠(yuǎn)小于前牙，因此為每顆牙齒加權(quán)，得到如下表達(dá)式

其中，()為選取的函數(shù)模型；為權(quán)值；為單頜牙齒數(shù)量。通過式(2)擬合投影點(diǎn)集{P}⊥得到函數(shù)模型參數(shù)，繪制函數(shù)圖像如圖7所示，從圖中可以看出，后牙特征點(diǎn)幾乎分布在曲線上，這是由于為后牙賦的權(quán)值相對前牙較高，符合后牙正畸移動相對困難的實(shí)際。圖7(a)以Beta函數(shù)為模型擬合上下頜牙齒特征點(diǎn)在橫斷面投影點(diǎn)，其中下頜擬合曲線比上頜縮進(jìn)一些。計(jì)算各投影點(diǎn)到擬合曲線的最短距離，即

聯(lián)立曲線解析式()求得平移量Δ，Δ。值得注意的是，按照上述方法計(jì)算得出的平移量并非排牙最終結(jié)果，后敘基于碰撞檢測的調(diào)整算法以空間牙列曲線作為，變量的約束進(jìn)行迭代調(diào)整。

為擬合模型，擬合的數(shù)據(jù)為單頜牙齒在冠狀面的投影點(diǎn)集。求得平移量Δz時需注意，此時牙齒的Δy已確定，因此對圖7(b)所示數(shù)據(jù)作擬合優(yōu)化時只取點(diǎn)PN在Z軸方向到曲線的最短距離，由曲線解析式z=f(y)即可求得Δz。

2.2.2 旋轉(zhuǎn)量

其中，等號右邊由式(2)求一階導(dǎo)數(shù)得到，構(gòu)造出角關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式()，以此關(guān)系式為函數(shù)模型，對單頜每顆牙齒的軸在橫斷面的投影向量與軸的夾角和牙齒特征點(diǎn)軸坐標(biāo)進(jìn)行加權(quán)擬合，即

(a) 旋轉(zhuǎn)角(b) 軸傾角(c) 轉(zhuǎn)矩角

其中，等號右邊由式(4)求一階導(dǎo)數(shù)所得。同樣采用加權(quán)擬合，由式(6)可以得到函數(shù)圖像如圖9(b)所示，圖中擬合圖像展示了各顆牙齒i軸向量投影與的夾角關(guān)于X軸坐標(biāo)的變化趨勢為方便觀察，將上頜的夾角取補(bǔ)角，因此上頜擬合曲線一階導(dǎo)數(shù)走勢恰好與下頜擬合曲線相反。同樣的，由計(jì)算得出牙齒繞j軸的旋轉(zhuǎn)量。

2.2.3 碰撞檢測與迭代調(diào)整

上節(jié)采用加權(quán)擬合優(yōu)化的方法對錯位牙齒的位置和姿態(tài)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整，得到了各個平移量和旋轉(zhuǎn)量關(guān)于排牙坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，相當(dāng)于將牙齒位姿約束到空間曲線上，但各顆牙齒在空間曲線的具體位置尚不可知，因此還需要針對此問題設(shè)計(jì)一個子算法，使得排牙算法設(shè)計(jì)完整。本文將碰撞檢測和調(diào)整融為一個環(huán)節(jié)，即在對相鄰牙齒間進(jìn)行碰撞檢測之后，根據(jù)相鄰牙齒間距做出相應(yīng)的迭代調(diào)整。牙齒間碰撞檢測借鑒了基于矩形包圍盒的方法[21]，圖10中被選牙齒與近中相鄰牙齒相距<0.1 mm、與遠(yuǎn)中相鄰牙齒相距約0.2 mm，在臨床口腔正畸治療中，牙齒間距≤0.5 mm最為理想[14]。

圖10 碰撞檢測牙齒間距(mm)

在碰撞檢測基礎(chǔ)上，本文針對擬合優(yōu)化后出現(xiàn)的牙齒碰撞問題設(shè)計(jì)了迭代調(diào)整算法，其思想是：以第一磨牙為基準(zhǔn)，上下頜左右兩側(cè)牙齒均從遠(yuǎn)中往近中方向逐顆進(jìn)行調(diào)整，根據(jù)碰撞檢測計(jì)算出待調(diào)整牙齒與相鄰其牙齒之間的間距后，由間距大小判斷往近中方向還是遠(yuǎn)中方向平移，并采用最速下降法迭代調(diào)整，其中對第二磨牙和第三磨牙，則是從近中往遠(yuǎn)中方向進(jìn)行調(diào)整。在迭代調(diào)整牙齒位置的同時也需要結(jié)合圖9調(diào)整牙齒的姿態(tài)。對單顆牙齒作調(diào)整的算法步驟如下：

步驟1. 計(jì)算待調(diào)整牙齒與相鄰牙齒的間距，若遠(yuǎn)中方向相鄰牙齒間距>0.5 mm或<0，則跳轉(zhuǎn)到步驟2，否則跳出迭代；

步驟4. 將待調(diào)整牙齒按位移量平移，并對應(yīng)圖9中的擬合函數(shù)，根據(jù)軸位移量作牙齒唇(頰)舌側(cè)、近遠(yuǎn)中方向及自旋轉(zhuǎn)姿態(tài)調(diào)整，調(diào)整結(jié)束后跳轉(zhuǎn)至步驟1。

按照上述迭代調(diào)整算法還存在邊界問題，從第一磨牙往近中方向逐個牙齒調(diào)整，可能出現(xiàn)如圖11所示的2種情況，其原因是由于擬合的空間曲線不足以讓牙齒整齊排列或者是排列位置有多余。針對該問題，本文采用的解決方案為通過調(diào)整式(2)模型的參數(shù)，尋找一條曲線的弧長為作為牙弓周長，即

其中，L為式(2)模型f(x)在區(qū)間[–W, W]的弧長；W為牙弓寬度，指單頜左右兩側(cè)第一磨牙遠(yuǎn)中頰側(cè)尖點(diǎn)的距離，經(jīng)過前面算法對牙列的調(diào)整，牙齒能夠沿牙弓線緊密排列，因此計(jì)算的曲線弧長近似為牙弓周長。由左右中切牙間距d判斷，通過改變式(2)模型的參數(shù)實(shí)現(xiàn)對圖12中曲線的縮進(jìn)或擴(kuò)展，其中，圖11(a)的中切牙間距d<0，f(x)需作擴(kuò)展微調(diào)，圖11(b)的中切牙間距d>0.5 mm，f(x)需作縮進(jìn)微調(diào)，微調(diào)過程中同時保持牙齒間距，通過微調(diào)獲取合適的擬合曲線后，重新執(zhí)行迭代調(diào)整算法使得牙列排列整齊。

圖12 邊界問題處理

2.3 排牙算法

輸出：排列完成的牙齒模型。

算法步驟：

步驟1. 輸入牙齒模型，建立排牙坐標(biāo)系；

步驟5. 執(zhí)行碰撞檢測及迭代調(diào)整算法：

步驟5.1. 上下頜左右兩側(cè)牙齒均以第一磨牙為基準(zhǔn)，對于第二前磨牙至中切牙，從遠(yuǎn)中方向往近中方向?qū)ρ例X逐顆進(jìn)行調(diào)整；

步驟5.2. 同樣以第一磨牙為基準(zhǔn)，對于第二、第三磨牙，從近中方向往遠(yuǎn)中方向?qū)ρ例X逐顆進(jìn)行調(diào)整；

步驟5.3. 判斷是否存在邊界問題，若存在，則作相應(yīng)處理，處理完成后跳至步驟5；否則，結(jié)束迭代調(diào)整；

步驟6. 輸出排列完成的牙齒數(shù)據(jù)。

3 實(shí) 驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)使用Intel i5-3470 3.20 GHz CPU計(jì)算機(jī)、Visual Studio 2016開發(fā)平臺、VTK工具包，在具有自主知識產(chǎn)權(quán)的排牙軟件e-Set(1.4v)的環(huán)境下實(shí)現(xiàn)前文介紹的自動排牙算法，采用的10組牙齒數(shù)據(jù)均由廣州瑞通生物科技有限公司提供。所有數(shù)據(jù)從開始執(zhí)行算法到排好牙列，平均花費(fèi)時間約48 s，相比于專家人工排列牙齒所花費(fèi)的時間有很大改善。

3.1 排牙前后對比

以圖1樣例數(shù)據(jù)為輸入，執(zhí)行本文算法，結(jié)果如圖13(a)和圖13(b)所示，說明本文算法能夠同時將各顆牙齒在局部范圍內(nèi)經(jīng)平移或旋轉(zhuǎn)調(diào)整至合適的姿態(tài)。對照圖13(c)與表1，以上頜為例，可以直觀看出各顆牙齒的平移量和旋轉(zhuǎn)量，其中旋轉(zhuǎn)量以正對坐標(biāo)軸方向，逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)。例如，樣例數(shù)據(jù)中的上頜左側(cè)中切牙(牙號11)在正畸治療時需要繞軸順時針旋轉(zhuǎn)32.005°，上頜右側(cè)側(cè)切牙(牙號22)在正畸治療時在軸正方向的平移量為2.193 mm、在軸負(fù)方向的平移量為2.853 mm。就樣例數(shù)據(jù)而言，主要的移動量集中在兩側(cè)前牙、右側(cè)前磨牙、兩側(cè)第二磨牙，兩側(cè)第一磨牙移動量相對較少。理論上，樣例數(shù)據(jù)第二磨牙的初始位置相對咬合面偏高，需要壓低位置，應(yīng)用本文算法也得到較好的調(diào)整，但在實(shí)際正畸治療中對第二磨牙矯正的難度較大。

圖14為部分不同程度畸形的牙頜數(shù)據(jù)的排牙前后對比，其畸形程度依次遞增?？梢钥闯觯疚乃惴☉?yīng)對不同程度的畸形牙頜，仍可取得不錯的效果。在實(shí)驗(yàn)中，除了定義牙齒特征點(diǎn)和調(diào)整權(quán)值參數(shù)，其余過程均為自動。

(a) 整頜排牙前(b) 整頜排牙后(c) 上頜排牙前后

(a) 整頜排牙前(b) 整頜排牙后

表1 上頜牙齒排牙后的移動量和旋轉(zhuǎn)量

偏移量牙號 1112131415161721222324252627 △x(mm)–0.638–2.392–0.447–1.207–0.7010.3260.1111.3952.1930.9841.4241.2390.008–0.638 △y(mm)–1.699–3.0750.798–0.340–0.399–0.0090.024–3.002–2.853–0.394–0.287–0.2540.098–1.699 △z(mm)0.1290.652–1.339–0.0840.1320.637–0.3950.552–0.158–1.079–0.0120.2600.4270.129 △φ(°)–1.0460.7021.8522.486<0.001–2.5870.323–3.3661.8451.4980.4643.4872.284–1.046 △θ(°)14.432–5.9933.5756.0002.515–3.548–6.801–2.997–2.0130.109–6.511–3.0823.00614.432 △ψ(°)–32.00521.440–6.011–2.950–4.4935.5393.4952.9992.590–7.0026.458–0.499–4.494–32.005

3.2 與人工排牙結(jié)果對比

衡量算法自動排牙結(jié)果質(zhì)量的好壞可以通過對比人工排牙的結(jié)果來檢驗(yàn)，且CAD能提供精確的測量手段。引用文獻(xiàn)[22]提到的牙頜測量比較方法，測量項(xiàng)如圖15所示，以樣例數(shù)據(jù)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別按照頜寬、整頜、上下頜覆蓋測量為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行自動排牙與人工排牙結(jié)果對比，測量結(jié)果對比如圖16所示。

從圖16中可以看出，本文自動排牙算法的排牙結(jié)果與人工排牙結(jié)果相比差距較小，證明本文算法可以替代人工排牙。其中，人工排牙上頜頜寬測量項(xiàng)結(jié)果比自動排牙結(jié)果略寬，差距均在1 mm之內(nèi)，下頜頜寬測量項(xiàng)則平均相差不大。

圖15 單頜測量項(xiàng)

圖16 人工排牙與自動排牙測量對比

3.3 與現(xiàn)有排牙方法對比

與文獻(xiàn)[7]相比，其采用美國正畸學(xué)會客觀評分系統(tǒng)(ABO-OGS)作為評分標(biāo)準(zhǔn)，該評分標(biāo)準(zhǔn)均為整數(shù)型數(shù)據(jù)，導(dǎo)致算法迭代次數(shù)過高(約400次)，而本文算法平均執(zhí)行時間在48 s左右，在進(jìn)行迭代調(diào)整之前已經(jīng)將牙齒位姿約束到空間曲線上，采用最速下降法即可滿足迭代需求，迭代次數(shù)遠(yuǎn)低于文獻(xiàn)[7]方法。文獻(xiàn)[11]與文獻(xiàn)[13]研究思路均為義齒排牙，將2篇文獻(xiàn)中所述算法與本文算法進(jìn)行比較，對比結(jié)果如圖17所示，義齒排牙算法是以咬合面上的二維牙弓線為依據(jù)，排列后的牙列Spee曲線平整，而采用本文算法排列后的牙列Spee曲線具有一定深度，是由于考慮了牙齒在空間中的位姿，因此本文算法更貼近實(shí)際正畸治療。

圖17 排牙算法對比圖

圖18 平移和旋轉(zhuǎn)移動總量對比

4 結(jié)束語

本文針對人工排牙效率低下問題，結(jié)合CAD在口腔正畸領(lǐng)域中的應(yīng)用，設(shè)計(jì)一種基于擬合優(yōu)化的錯位牙齒自動排列方法，并應(yīng)用該方法對多組數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果表明，本文算法能夠?qū)㈠e頜牙列各顆牙齒平移旋轉(zhuǎn)至目標(biāo)位置，得到的牙列與人工排牙結(jié)果對比相差無異，能夠大幅減少人力；與現(xiàn)有排牙算法對比，計(jì)算效率高，更貼近臨床牙齒矯治，且在牙齒移動代價方面優(yōu)勢明顯。在今后工作中，將進(jìn)一步研究牙齒正畸路徑規(guī)劃。

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Automatic Alignment Method for Malocclusion in Virtual Orthodontics Treatment

LI Zhan-li1, FU Jing-ding1, LI Hong-an1, ZHOU Kang1, HUI Qiao-juan2

(1. College of Computer Science and Technology, Xi’an University of Science and Technology, Xi’an Shaanxi 710054, China; 2. Department of Mechatronics Power and Information Engineering, China University of Mining and Technology Yinchuan College, Yinchuan Ningxia 750021, China)

Aiming at the problem of low efficiency of teeth arrangement by artificial teeth in virtual orthodontics treatment technology, this paper proposes an automatic alignment method for malocclusion based on fitting optimization. Firstly, we create a coordinate system for the input dental model, define single tooth feature points and establish the local coordinate system of teeth. On this basis, the position and posture of each tooth in the dentition is analyzed from a lower dimension. The weighted fitting optimization method is employed to calculate the coordinate translation and local axis rotation of tooth which forms the association constraints of the position, posture of teeth and the spatial dental curves. Then, combined with the collision detection method of rectangular bounding box, we design an iterative algorithm based on method of steepest descent to adjust the position and posture of teeth within the constraints of spatial dental curves. The experimental results show that the teeth alignment is similar to artificial alignment of teeth, and the alignment efficiency is highly improved. The proposed method is not only more like clinical orthodontics, but also reduces the total cost of teeth movement compared with the existing teeth alignment method.

virtual orthodontics; automatic teeth alignment; weighted fitting; optimization

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2019020225

A

2095-302X(2019)02-0225-10

2018-09-03；

2018-09-14

寧夏高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目(NGY2017234)；陜西高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(17BY040)；西安科技大學(xué)博士啟動金項(xiàng)目(2019QDJ007)；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目(2019JM-162)

李占利(1964-)，男，陜西周至人，教授，博士，博士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形學(xué)、圖像處理等。E-mail：lizl@xust.edu.cn

李洪安(1978-)，男，山東武城人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)閳D形圖像處理、機(jī)器視覺等。E-mail：an6860@126.com