社會科學(xué)中的數(shù)學(xué)原理

本刊編輯部

世界上的事情看起來紛繁復(fù)雜，實(shí)際上很多事物背后都隱含著某些規(guī)律和法則。人們在生活中，總結(jié)出了許多聽上去簡單直白的基本法則和定律，細(xì)想起來卻是哲學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、心理學(xué)家思想和智慧的結(jié)晶。理解這些法則和定律，能讓我們學(xué)到很多數(shù)學(xué)知識，更可以幫助我們更好地理解生活中的許多現(xiàn)象呢！

酒與污水定律近朱者赤，近墨者黑

“酒與污水定律”說的是，假如把一杯美酒倒進(jìn)一桶污水，得到的只能是一桶污水;反之，把一杯污水倒進(jìn)一桶美酒，得到的同樣還是一桶污水。理解這個定律的關(guān)鍵，在于明白酒和污水的比例并不能改變這桶液體的性質(zhì)，不管分量多少，只要有污水存在，加入再多美酒也無濟(jì)于事。

“酒與污水定律”是一條來自西方的管理學(xué)定律，我國也有許多同理的諺語，大家最熟悉的就是“一粒老鼠屎壞了一鍋粥”，還有“一塊臭肉壞了滿鍋湯”等等。

管理學(xué)家認(rèn)為，在任何組織里，都存在著幾個難搞的人物，似乎他們存在的目的就是為了把事情搞糟。他們到處搬弄是非，傳播流言，破壞組織內(nèi)部的和諧。最糟糕的是，他們就像果箱里的爛蘋果一樣，如果不及時處理，甚至?xí)杆賯魅荆尮淅锏钠渌O果也腐爛掉。

我們以生活中的污水和自來水為例，從數(shù)學(xué)角度，通過計算的方式理解這件事。

案例生活中污水

人類的日常生活會產(chǎn)生很多污水，按其來源，污水可分為兩類：工業(yè)污水和生活污水。

工業(yè)污水主要是在工業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)生，不同工廠排出的廢水不一樣，但一般都包含很多重金屬和有毒的化學(xué)物質(zhì)。生活污水則從生活中產(chǎn)生，主要來自廁所、廚房、浴室等。

不管是哪一種污水，都含有大量有機(jī)物和非常非常多的細(xì)菌。一般來說，生活污水中的寄生蟲卵數(shù)為222～2953個/升，大腸桿菌數(shù)量約為10（平方6）個/升～10（平方7）個/升。這些數(shù)字有多可怕呢？大家可以對比一下，我國對飲用水的細(xì)菌標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定是：1毫升飲用水中細(xì)菌總數(shù)不超過100個;1升飲用水中的大腸桿菌數(shù)的數(shù)量不超過3個。（數(shù)據(jù)來自《生活飲用水衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)》GB5749-85）

根據(jù)酒與污水定律，假設(shè)我們將1毫升（大約一勺）污水倒入10升飲用水中，會得到～杯怎樣的水呢？已知污水中大腸桿菌數(shù)量約為10（平方6）個/升，飲用水中大腸桿菌的數(shù)量1個/升。1升污水中有大腸桿菌數(shù)量約10平方6個，那么1毫升污水中大腸桿菌的數(shù)量是1000個，10升飲用水中大腸桿菌的數(shù)量是1x10=10個。

1毫升污水倒入10升飲用水之后，體積和為10.001升，大腸桿菌的數(shù)量和變?yōu)?010個。由此可以算出平均每升水中大腸桿菌的數(shù)量：1010÷10.001=100（個/升）。

顯然.這個數(shù)量大大超過了飲用水的標(biāo)準(zhǔn)！根本不能喝。

這個簡單的估算只針對大腸桿菌的數(shù)量，其他的細(xì)菌和有毒物質(zhì)也可以用類似的方法算出來?？傊?，用計算的方法可以證明，一杯污水的確可以污染掉一大桶美酒，酒與污水定律是對的。

二八法則抓住屬于你的20%

二八法則又名80/20定律，這個定律被廣泛應(yīng)用于社會學(xué)及企業(yè)管理學(xué)中。

1897年，意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家怕累托偶然注意到當(dāng)時英國人的財富和收益模式，他從大量具體的事實(shí)中發(fā)現(xiàn)了兩項非常重要的規(guī)律：

第一項發(fā)現(xiàn)：財富在社會中的分配是不平均的，大部分財富流向了少數(shù)人手里，社會上20%的人占有80%的社會財富。

第二項發(fā)現(xiàn)：這種不平均現(xiàn)象到處都存在，并且會重復(fù)出現(xiàn)。

他發(fā)現(xiàn)，在當(dāng)時和更早期的資料中，英國和同時代的其他國家都一再出現(xiàn)相同的模式，而且這在數(shù)學(xué)上也有相當(dāng)?shù)臏?zhǔn)確度。比如真理往往掌握在少數(shù)人手中，一個企業(yè)80%的利潤源于20%的項目，世界上20%的人手里掌握著全世界80%的財富，20%的人身上集中了人類80%的智慧等等。

后人給予這項發(fā)現(xiàn)許多不同的命名，例如怕累托定律、最省力的法則、不平衡原則等。二八法則的數(shù)學(xué)原理

“二八法則”向人們揭示了這樣一個真理，即投入與產(chǎn)出、努力與收獲、原因和結(jié)果之間，普遍存在著不平衡關(guān)系。小部分的努力，有可能獲得大部分的收獲;起關(guān)鍵作用的小部分，通常就能主宰整個組織的產(chǎn)出、盈虧和成敗。

二八法則給我們的一個忠告就是：應(yīng)該把精力用在最見成效的地方。

二八法則無處不在，它就像人的影子，潛伏在生活的每個角落。我們看看下面這組數(shù)據(jù)。

※2016年9月出版的《現(xiàn)代漢語詞典》第7版，共收錄各類單字13000多個;根據(jù)教育部的規(guī)定，小學(xué)中學(xué)階段要求學(xué)生認(rèn)識3500字。大家知道，高中生進(jìn)行普通閱讀肯定是沒有問題的，也就是說，我們一生最常用的大概80%的漢字（3500×80%：2800）僅占字典總數(shù)的21%（2800÷13000×100%=21%）。

※根據(jù)美國經(jīng)濟(jì)政策研究所的統(tǒng)計報告，1962年，美國1%最富有家庭的收入占所有家庭收入的21.2%，20%富有家庭的收入占所有家庭收入的80.4%;到2009年，美國20%富有家庭的收入更是占到全部家庭收入的87.2%。

※汽車發(fā)動機(jī)的作用是將汽油燃燒產(chǎn)生的能量轉(zhuǎn)化為動能，推動車輛前進(jìn)。由此可以寫成公式：發(fā)動機(jī)的熱效率=車輛的動能÷汽油燃燒產(chǎn)生的總能量×100%。然而在實(shí)際生活中，汽油燃燒產(chǎn)生的能量中的80%是浪費(fèi)掉了，只有20%能被車輛利用起來。

※統(tǒng)計顯示，2017年，全球所有國家的GDP總量約為80萬億美元。世界上GDP最高的前20個國家（美國、中國、日本、德國、英國、印度、法國、意大利、巴西、加拿大、韓國、西班牙、澳大利亞、俄羅斯、墨西哥、印度尼西亞、荷蘭、土耳其、瑞士、沙特阿拉伯）的GDP總和約為64萬億美元，占了全球GDP總量的80%。

被稱為“20世紀(jì)最大投資失敗”的銥星公司倒閉，也是被“二八法則”擊敗的典型事例。

1997-1998年，美國銥星公司發(fā)射了66顆人造衛(wèi)星用于手機(jī)全球通訊，稱為銥星。這些銥星均勻分布在太空中的6條軌道上，每條軌道有11顆衛(wèi)星。銥星公司的目標(biāo)是讓人類實(shí)現(xiàn)5個“任何”，即任何人在任何地點(diǎn)、任何時間與任何其他人采取任何方式進(jìn)行通信。

這樣的先進(jìn)技術(shù)在當(dāng)時簡直是舉世無雙，可就是這樣一個“天之驕子”，卻在投入運(yùn)營兩年后不得不宣布倒閉。原因何在？除了運(yùn)營方面的種種失誤，還有一個最重要的敗因正是它所追求的“覆蓋全球”的理想。我們來看下面這些數(shù)據(jù)：

※地球表面積5.1億平方千米，其中陸地為1.49億平方千米，占全球表面積的29.2%，其余71%為海洋。

※在地球陸地面積之中，有很多人跡罕至的地區(qū)，如終年冰雪的南極洲（0.14億平方千米），廣闊的沙漠地區(qū)（0.15萬平方千米），還有利用價值較低的高山和荒原等（0.4億平方千米）。

人們經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，地球表面至少80%以上是人跡罕至的海洋、極地和高山。為了將這些地域納入通訊網(wǎng)絡(luò)，銥星公司不但要發(fā)射大量衛(wèi)星，還要負(fù)擔(dān)維護(hù)其運(yùn)轉(zhuǎn)的巨額費(fèi)用，但這些地方能產(chǎn)生的利潤卻微乎其微。這些成本最終只能由另外20%地區(qū)的用戶來負(fù)擔(dān)，這就造成銥星電話價格過高，無法和普通移動電話競爭，最后不得不以破產(chǎn)收場。

暈輪效應(yīng)愛屋及烏的認(rèn)知偏差

暈輪效應(yīng)最早是由美國心理學(xué)家愛德華·桑代克于20世紀(jì)20年代提出的。他認(rèn)為，人們對某個人的認(rèn)知和判斷往往只從局部出發(fā)，就像日暈一樣，由一個中心點(diǎn)逐步向外擴(kuò)散成越來越大的圓圈，最終由此得出整體印象，因此，暈輪效應(yīng)也叫“光環(huán)效應(yīng)”。

隨后，不少心理學(xué)家通過各種實(shí)驗(yàn)，證明了這個想法的正確性。

比如在1974年，一些心理學(xué)家就做了關(guān)于暈輪效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)。心理學(xué)家們選了60名男性來給一些論文打分，同時給他們看作者的照片。結(jié)果人們發(fā)現(xiàn)，這樣評出來的論文的分?jǐn)?shù)和作者的外貌明顯相關(guān)。

在1到9的分?jǐn)?shù)范圍內(nèi)，針對同一篇寫得較好的論文，如果評分人看到的作者照片很漂亮，該論文能得到6.6分，如果評分人看到的作者照片不夠漂亮，該論文只能得到5.9分。同理，針對同一篇寫得不太好的論文，漂亮的作者能得到4.7分，不夠漂亮的作者僅能得到2.7分。

從上面這個例子可以看出來，如果作者長相漂亮，其他人會下意識認(rèn)為她的論文更好些;如果作者長相不夠漂亮，那么論文的得分就要差一些。然而，論文的好壞和作者的長相是沒有關(guān)系的。

“暈輪效應(yīng)”的特點(diǎn)就是以偏概全，在對不熟悉的人或者有嚴(yán)重情感傾向的人進(jìn)行評價時，這種效應(yīng)體現(xiàn)得尤其明顯。比如一個學(xué)習(xí)成績好的學(xué)生，老師和家長往往認(rèn)為他是一個智力很高、聰明、熱情、靈活、有創(chuàng)造性的人。與之相反，如果一個學(xué)生在某一方面表現(xiàn)不好，不管是他成績不好還是喜歡調(diào)皮搗蛋，老師和家長往往認(rèn)為他一無是處。

名人效應(yīng)也是一種典型的暈輪效應(yīng)。大家在生活中不難發(fā)現(xiàn)，商家喜歡選有名的歌星、影星來拍廣告，而很少選擇沒人認(rèn)識的普通人。因?yàn)槊餍莻兿嗝渤霰?，會讓觀眾覺得他們推薦的商品也很出色。

暈輪效應(yīng)的數(shù)學(xué)原理

要更好地理解暈輪效應(yīng)，我們先要理解什么是暈。

“暈輪”中的“暈”是一個天文學(xué)名詞，指的是太陽和月亮周圍有時會出現(xiàn)的一種光圈。有暈的時候，遠(yuǎn)遠(yuǎn)看上去，太陽和月亮好像擴(kuò)大了許多。太陽的暈叫“日暈”，月亮的暈叫“月暈”。

※暈的成因

“暈”是一種比較罕見的天象。當(dāng)氣溫變低時，在高空的大氣里有時會結(jié)出六棱柱的冰晶，如果太陽光或月光剛好射到它們，冰晶便以一種特殊的方式將光彎曲聚集，這樣便形成了暈。

暈分為內(nèi)暈和外暈。內(nèi)暈比較常見，它是圍繞太陽和月亮的22°的圓弧。這個22°是怎么得來的呢？假設(shè)從太陽到日暈畫一條線，作為一條三角形的底邊，觀察者站在三角形頂尖量出的角度就是22°。

外暈相比而言更少見，它有46°的弧，故稱為“46°暈”，內(nèi)暈和外暈看起來像圍繞太陽和月亮的較大的圓圈。

※內(nèi)暈和太陽的大小比

暈都在太陽外面，那內(nèi)暈比太陽大多少呢？這還需要我們掌握一個概念：天體的視大小。

對站在地球上的我們來說，天體的視大小就是從被觀察的天體的兩側(cè)引向我們眼睛的兩條直線間的角度的大小，這個角度也稱為“天體的視角”。

也就是說，天體的視大小和你距離天體的距離有關(guān)。那么，我們站在地球上看太陽的視角有多大呢？這句話用幾何語言來說，就是計算如下問題：在一個半徑1.496億千米（地球和太陽的平均距離）的圓上，太陽的直徑139萬千米這段弧對應(yīng)的圓心角是多少度？用公式計算很簡單：

139÷（15000×2×3.15）×360°=0.53°

站在地球上看月球，月球的視大小是多少呢？我們也可以計算一下。月球和地球的平均距離是38.4萬千米，月球的平均半徑是1738千米。同理可以算出：

1738×2÷（384000×2×3.14）×360°=0.52du3

我們驚訝地發(fā)現(xiàn)，太陽和月球的視大小差不多：這是因?yàn)樘柕闹睆讲畈欢嗍窃虑虻?00倍，同時，地球與太陽的距離也是地球與月球距離的390倍（很接近400倍），所以在地球上看起來兩者大小差不多。

對比一下，內(nèi)暈的視角是22°×2=44°，可太陽的視角只有0.53°，44°比0.53°大許多，內(nèi)暈看上去可謂十分醒目了。