關(guān)于各向異性擴(kuò)張矩陣函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)?

邱小麗，王文華，王愛庭，李寶德

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆烏魯木齊830046)

0 引言

各向異性是自然界物體的一種常見屬性,指物體的全部或部分物理、化學(xué)等性質(zhì)隨方向的不同而各自表現(xiàn)出一定差異的特性.如晶體的各向異性具體表現(xiàn)在不同方向上的彈性模量、硬度等都是不同的.在數(shù)學(xué)上可將各向異性通過(guò)離散伸縮群{Ak:k∈Z}來(lái)表達(dá),其中A為特征值λ均滿足|λ|>1 的n×n實(shí)矩陣.由于各向異性擴(kuò)張矩陣A包括各向齊性擴(kuò)張矩陣diag(2,···,2)和各向異性對(duì)角型擴(kuò)張矩陣diag(λ1,···,λn),其中.因此,它有更廣泛的應(yīng)用.

進(jìn)一步,人們將許多各向齊性函數(shù)空間推廣到了各向異性函數(shù)空間,并研究了它們的相關(guān)性質(zhì)[1–4],如各向異性Hardy 空間[1],各向異性BMO空間[1]和各向異性Morrey型空間[5].此外,作為函數(shù)空間中的重要一員,各向齊性BMO函數(shù)空間被John 和Nirenberg[6]所研究,并且它的關(guān)于分?jǐn)?shù)次交換子的兩個(gè)等價(jià)刻畫被Janson[7]所得到.受以上啟發(fā),一個(gè)自然的問(wèn)題:各向齊性BMO函數(shù)的兩個(gè)等價(jià)刻畫在各向異性情形下是否仍成立? 本文的定理1 給出了肯定的回答.

另一方面,由Fourier 分析理論可知,局部L2可積函數(shù)有各向齊性的Fourier 級(jí)數(shù)展開.受此啟發(fā),一個(gè)自然的問(wèn)題:局部L2可積函數(shù)是否仍然有各向異性的Fourier 級(jí)數(shù)展開? 本文的定理2 也給出了肯定的回答.

本文的定理1 是將各向齊性BMO函數(shù)空間的兩個(gè)等價(jià)特征刻畫推廣到了各向異性情形下,并且此定理的證明也克服了一些新的困難.各向齊性情形下相應(yīng)結(jié)果的證明借助歐氏范數(shù)的光滑性得到了某函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開.在各向異性情形下關(guān)于擴(kuò)張矩陣A的擬范數(shù)ρ卻沒有此光滑性,所以我們沒有找到合適的方法得到對(duì)應(yīng)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開.幸運(yùn)地是,我們通過(guò)如下兩個(gè)結(jié)論克服了這個(gè)困難:相關(guān)于擴(kuò)張矩陣A的一般的擬范數(shù)ρ等價(jià)于相關(guān)于A的階梯擬范數(shù)ρ0(命題l)及相關(guān)于A的階梯擬范數(shù)ρ0有級(jí)數(shù)展開.此外,在定理2 的證明過(guò)程中,各向異性擴(kuò)張球和各向異性擴(kuò)張方體之間的包含關(guān)系(引理3)對(duì)定理2 的證明起到了關(guān)鍵作用.

為行文方便,對(duì)全文做如下約定.設(shè)N:={1,2,...}及Z+:={0}∪N.設(shè)C是與主要變量無(wú)關(guān)的常數(shù),但它在不同行可表示不同的值.用記號(hào)DF表示D≤CF.若DF且FD,則記做D～F.對(duì)集合E?Rn,設(shè)表示集合RnE,χE表示集合E的特征函數(shù)且|E|表示E的n維勒貝格測(cè)度.對(duì)任意的a∈R,表示不超過(guò)a的最大整數(shù).對(duì)q∈[1,∞),用表示它的共軛指標(biāo),即,1/q+1/=1.如無(wú)特別聲明,Rn上的函數(shù)空間X(Rn),簡(jiǎn)記為X.例如,Lp(Rn)簡(jiǎn)記為L(zhǎng)p.

1 關(guān)于擴(kuò)張矩陣的概念和基本性質(zhì)

Bownik[8]首先提出了擴(kuò)張矩陣的概念.若minλ∈σ(A)|λ|>1,其中σ(A)為n×n實(shí)矩陣A的全體特征值組成的集合,則A稱為擴(kuò)張矩陣.設(shè)λ?,λ+是滿足如下條件的兩個(gè)正數(shù)

若擴(kuò)張矩陣A為復(fù)數(shù)域C 上的可對(duì)角化矩陣時(shí),則記λ?:=min{|λ|:λ∈σ(A)}和λ+:=max{|λ|:λ∈σ(A)}.由文獻(xiàn)[1]知,存在與x和j無(wú)關(guān)的正的常數(shù)C1使得,對(duì)任意的x∈Rn,當(dāng)j∈Z+,

且當(dāng)j∈Z+,

文獻(xiàn)[8]中引理2.2 證明了如下結(jié)論:對(duì)給定的擴(kuò)張矩陣A,可以找到一個(gè)大于1 的實(shí)數(shù)r和開橢球?:={x∈Rn:|Px|<1},使得??r??A?,其中P表示一個(gè)非退化的n×n矩陣.通過(guò)標(biāo)量變更,不妨假設(shè)|?|=1.設(shè)Bk:=Ak?,k∈Z.易知Bk是開集,并且滿足Bk?rBk?Bk+1以及|Bk|=bk,b:=|detA|.設(shè)σ是一個(gè)滿足2B0?Bσ的最小整數(shù).對(duì)任意的k,j∈Z 且k≤j,有如下包含關(guān)系

其中E+F表示為集合E,F?Rn的代數(shù)和{x+y:x∈E,y∈F}.

下面定義來(lái)自文獻(xiàn)[8]中定義2.3.

定義1若ρA:Rn→[0,∞)滿足如下條件:

(i)任意的x∈Rn{0n},ρA(x)>0;

(ii)任意的x∈Rn,ρA(Ax)=bρA(x),其中,b:=|detA|;

(iii)任意的x,y∈Rn,ρA(x+y)≤H[ρA(x)+ρA(y)],其中H∈[1,∞)是不依賴于x和y的常數(shù),則稱ρ是相關(guān)于擴(kuò)張矩陣A的擬范數(shù).

當(dāng)A:=2In×n時(shí),對(duì)任意的x∈Rn,設(shè)ρ(x):=|x|n,則ρ是一個(gè)相關(guān)于擴(kuò)張矩陣A的齊次擬范數(shù).

設(shè)A是一個(gè)各向異性擴(kuò)張矩陣.階梯擬范數(shù)ρ0定義如下

對(duì)任意的x,y∈Rn,由(3)式可得

由文獻(xiàn)[1]中引理3.2,則存在常數(shù)C2>0 使得對(duì)任意的x∈Rn,

下面命題來(lái)自文獻(xiàn)[8]中引理2.4.

命題1設(shè)ρ是如定義1所示的一般的擬范數(shù),且ρ0是如定義(5)所示的階梯擬范數(shù).則對(duì)任意的x∈Rn,有ρ(x)～ρ0(x).

在下文中,對(duì)任意的p∈(0,∞),設(shè)勒貝格函數(shù)空間

其中

設(shè)弱勒貝格函數(shù)空間

其中

2 各向異性BMO函數(shù)的兩個(gè)等價(jià)特征刻畫

所有擴(kuò)張球的集合定義為B:={z+Bk:z∈Rn,k∈Z}.

定義2各向異性BMO函數(shù)空間定義為其中,

fB表示f在B上的平均值,即

定義3[2]設(shè)0 ≤α<1 且f:Rn→R 是局部可積函數(shù).各向異性分?jǐn)?shù)次積分算子Iα,A(f)定義如下,對(duì)任意的x∈Rn,

定理1設(shè)0 ≤α<1,1

則如下結(jié)論相互等價(jià):

(i)b∈BMOA;

(ii)交換子[b,Iα,A]從Lp到Lq是有界的;

(iii)交換子[b,Iα,A]從Lp到Lq,∞是有界的.

備注1當(dāng)A:=2In×n時(shí),定理1 與文獻(xiàn)[9]中的定理3.1一致.

為了證明定理1,需要引入一些概念和引理,首先介紹Morrey空間.

定義4設(shè)1

引理1設(shè)1 0 使得

證明在文獻(xiàn)[10]中引理1.7 證明的啟發(fā)下,我們得到了引理1 的證明.

對(duì)任意的f∈Lq,∞,需證對(duì)任意的t> 0,設(shè)Kt:= {x∈Rn:|f(x)| >t}.因f∈Lq,∞,則存在正的常數(shù)C0使得對(duì)任意的t>0,不等式成立.設(shè)B:=x0+Bl∈B,x0∈Rn,l∈Z,且綜上可得

定理1 的證明為證此定理,需證(i)(ii)(iii)(i).幸運(yùn)地是,(i)(ii)由丁勇等人在[2]中的定理1.11 得到.運(yùn)用Lq?Lq,∞,可得(ii)(iii).下面僅需證(iii)(i)的情形.

由?的定義,有

由上式和球Bk的定義可得,對(duì)任意的k∈Z,

設(shè)σ是如定義(3)所示的常數(shù),且B:=x0+Bl,x0∈Rn,l∈Z.對(duì)任意的x,y∈B,由(9)和(3)可得

上式蘊(yùn)含著A?l(x?y)∈Bσ.由上估計(jì)和(5)可得

設(shè)

由球B∈B的任意性,進(jìn)一步可得b∈BMOA且

3 各向異性的傅里葉級(jí)數(shù)

本節(jié)得到了任意局部L2可積函數(shù)都有各向異性傅里葉級(jí)數(shù)展開.首先介紹幾個(gè)引理.

引理2對(duì)任意有界集K?Rn,存在依賴于K的一個(gè)整數(shù)k,使得K?Bk.

證明對(duì)于有界集K?Rn,存在一個(gè)球B(0,r):={y∈Rn:|y|

(i)若ρ0(x)≥1,由(8)可得

進(jìn)而有

故

(ii)若ρ0(x)<1,類似地,由(7)可得

綜合(i)和(ii),選取整數(shù)

可得ρ0(x)

引理3設(shè)A?是各向異性擴(kuò)張矩陣A的轉(zhuǎn)置.對(duì)任意的k∈Z,存在依賴于k和A的一個(gè)正整數(shù)j使得Bk?(A?)j(?π,π)n.

證明對(duì)任意的y∈Bk,存在一個(gè)正整數(shù)j使得y∈(A?)j(?π,π)n.易得B(0,1):= {x∈Rn:|x|<1}?(?π,π)n.對(duì)任意的j∈Z+,則有(A?)jB(0,1)?(A?)j(?π,π)n.接下來(lái)只需證明y∈(A?)jB(0,1)即可,也就是證明|(A?)?jy|<1.由(2)可得,對(duì)任意的j∈Z+,

(i)若ρ(y)≤1,由(7)可得

若C1C2(λ?)?j<1,即,j>logλ?(C1C2),則|(A?)?jy|<1.

(ii)若ρ(y)>1,對(duì)任意的y∈Bk,有ρ(y)

綜合(i)和(ii),選取整數(shù)

可得|(A?)?jy|<1.

定理2設(shè)f是局部L2可積函數(shù)且A?是各向異性擴(kuò)張矩陣A的轉(zhuǎn)置.對(duì)任意的有界集K?Rn,存在正整數(shù)j0使得K?(A?)j0(?π,π)n且fχK=k∈Znakei A?j0k,x在L2((A?)j0(?π,π)n)上成立,其中

即

證明對(duì)任意有界集K,由引理2 知,存在一個(gè)擴(kuò)張球Bk0∈B使得K?Bk0,k0∈Z.由引理3 可得,存在依賴于k0和A的正整數(shù)j0使得Bk0?(A?)j0(?π,π)n,進(jìn)一步有K?(A?)j0(?π,π)n.由[11]中的引理2.8 的證明可得到L2((A?)j0(?π,π)n)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基是

另外,易知fχK∈L2((A?)j0(?π,π)n).故

在L2((A?)j0(?π,π)n)上成立.