一種電纜組件復(fù)雜度的數(shù)學(xué)建模及評(píng)估方法

趙冰欣 崔波 劉奕宏 楊祎 王赫余

(北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部,北京 100094)

航天器電纜網(wǎng)負(fù)責(zé)整器各設(shè)備之間的能量和信號(hào)的傳遞。電纜網(wǎng)是由多個(gè)電纜組件組成,其中存在較多相對(duì)復(fù)雜的電纜組件(簡(jiǎn)稱復(fù)雜電纜組件)。復(fù)雜電纜組件是多始端對(duì)應(yīng)多終端(簡(jiǎn)稱“多對(duì)多”)的電纜組件。復(fù)雜電纜組件在設(shè)計(jì)、生產(chǎn)、檢驗(yàn)、安裝敷設(shè)及拆卸維修等環(huán)節(jié)存在難度,會(huì)導(dǎo)致的問題有:①接口較多,設(shè)計(jì)和生產(chǎn)過程中很容易出錯(cuò);②檢驗(yàn)測(cè)試繁瑣,需要頻繁更換地面接口以滿足要求;③分支設(shè)計(jì)極易成環(huán),長(zhǎng)度難以保證,敷設(shè)難度大;④更改、拆卸電纜難度大;⑤上百個(gè)分支的復(fù)雜電纜組件一般采用模板電纜的方式生產(chǎn),即在生產(chǎn)過程制作1∶1的木模星,在木模上進(jìn)行生產(chǎn)、綁扎、長(zhǎng)度及敷設(shè)驗(yàn)證,人力、物力和財(cái)力的成本非常高?；谝陨蠁栴},航天器電纜網(wǎng)需要識(shí)別出真正影響工程實(shí)踐的復(fù)雜電纜組件,對(duì)電纜組件的復(fù)雜程度進(jìn)行判定并對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化,目前還沒有對(duì)電纜組件的復(fù)雜度的描述方法,無法從復(fù)雜度的角度評(píng)估電纜組件設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣。因此提出一種電纜組件復(fù)雜度的數(shù)學(xué)建模和評(píng)估方法是十分有意義的。

在航空航天、汽車制造和船舶等行業(yè)中,電纜網(wǎng)也是系統(tǒng)的重要組成部分,直接影響系統(tǒng)的可靠性和安全性。隨著系統(tǒng)的高密度、輕量化的發(fā)展趨勢(shì),復(fù)雜電纜組件所帶來的問題也日益突出。復(fù)雜電纜組件在設(shè)計(jì)、布線、安裝以及維修等方面都有一定的難度。文獻(xiàn)[1]提出一種導(dǎo)航式電纜網(wǎng)快速設(shè)計(jì)方法,能夠提高復(fù)雜電纜組件的設(shè)計(jì)效能;文獻(xiàn)[2]基于美國(guó)Mentor公司開發(fā)的CHS軟件平臺(tái),實(shí)現(xiàn)了電纜組件進(jìn)行數(shù)據(jù)庫(kù)化管理,縮短設(shè)計(jì)周期,但均無法解決復(fù)雜電纜組件在布線、生產(chǎn)、安裝等環(huán)節(jié)的困難。在針對(duì)多分支的虛擬裝配仿真方面也有一定的研究,多分支電纜使得路徑規(guī)劃、空間復(fù)雜位姿等問題變得復(fù)雜化。文獻(xiàn)[3]提出一種多分支彈簧質(zhì)點(diǎn)模型,用于多分支柔性電纜的干涉檢驗(yàn)分析;文獻(xiàn)[4]建立了多分支線纜的靜力學(xué)模型,用于分析多分支線纜空間的復(fù)雜位姿,但對(duì)動(dòng)力學(xué)模型建立的研究不足,通過研究解決了復(fù)雜電纜組件的有效靜態(tài)建模和仿真分析,但復(fù)雜電纜組件所帶來的拆裝維修等仍是需要解決的難題。以上研究均是針對(duì)復(fù)雜電纜組件所帶來的問題,而對(duì)于設(shè)計(jì)過程中如何減少?gòu)?fù)雜電纜組件或降低電纜組件復(fù)雜程度方面,一般就是通過定性的方式,如手動(dòng)畫圖去分析某一個(gè)電纜組件是否須調(diào)整和拆分。在國(guó)內(nèi)外的研究中尚未找到關(guān)于電纜組件復(fù)雜度的研究。

基于以上問題,航天器電纜網(wǎng)產(chǎn)品亟需一種復(fù)雜程度的評(píng)估方法。本文提出電纜組件復(fù)雜度的概念,利用無向圖對(duì)電纜組件連接關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)描述[5];結(jié)合航天器電纜網(wǎng)產(chǎn)品特點(diǎn),分析影響實(shí)際設(shè)計(jì)、生產(chǎn)及應(yīng)用方面的因素,建立電纜組件復(fù)雜度的數(shù)學(xué)模型;引入Floyd算法計(jì)算結(jié)點(diǎn)間總距離,并結(jié)合結(jié)點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)綜合衡量復(fù)雜度,得到電纜組件復(fù)雜度的計(jì)算方法。該方法可以快速識(shí)別出相對(duì)復(fù)雜的電纜組件,能夠有效控制電纜網(wǎng)中電纜組件的復(fù)雜程度。

1 電纜組件的數(shù)學(xué)描述

電纜組件由電連接器和導(dǎo)線束組成。將電纜組件看成為點(diǎn)和邊的關(guān)系,電連接器為結(jié)點(diǎn),分支關(guān)系為邊。圖1是幾種常見的電纜組件連接關(guān)系,其中(a)～(d)的電纜組件結(jié)點(diǎn)數(shù)為5,(e)～(f)的電纜組件結(jié)點(diǎn)數(shù)為4。根據(jù)電纜組件分支情況,可分為以下幾種形式:單始端對(duì)單終端(即“一對(duì)一”),單始端對(duì)多終端(即“一對(duì)多”),多始端對(duì)多終端(即“多對(duì)多”)。將點(diǎn)的集合和點(diǎn)之間連接關(guān)系的集合組成的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),稱為電纜組件連接圖,用W(P,Q)來表示。點(diǎn)的集合用P(W)表示,集合中的元素稱為點(diǎn)。點(diǎn)之間連接關(guān)系的集合用Q(W)表示,集合中的元素稱為邊。表1為電纜組件W001的連接關(guān)系,如圖1(a)所示,表示為W(P,Q),點(diǎn)的集合P(W)＝{A,B,C,D,E},點(diǎn)之間連接關(guān)系的集合Q(W)＝{(A,B),(A,D),(A,E),(C,B),(C,D),(C,E)}。

圖1 電纜組件連接關(guān)系圖Fig.1 Cable connection diagram

表1 W001電纜組件連接關(guān)系Table 1 W001 cable connection

電纜組件的連接關(guān)系沒有方向性,均為無向圖。本文對(duì)于電纜組件連接圖的邊的權(quán)值均設(shè)置為1,即具有連接關(guān)系的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系為邊,距離定義為1。后續(xù)研究可根據(jù)導(dǎo)線根數(shù)、成本等對(duì)權(quán)值進(jìn)行不同設(shè)定。如圖1(a)中A與B具有直接的連接關(guān)系,A與B之間最小距離為1。沒有直接連接關(guān)系的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間距離,需要通過其他結(jié)點(diǎn)間接連接,如A與C之間沒有直接的連接關(guān)系,A與C的連接關(guān)系中最短距離是通過B或D或E,即通過兩條邊,那么A與C之間的最小距離為2。

電纜組件連接圖可以采用鄰接矩陣存儲(chǔ)方法進(jìn)行記錄,包括一個(gè)記錄各個(gè)頂點(diǎn)信息的頂點(diǎn)數(shù)組和一個(gè)表示各個(gè)頂點(diǎn)之間關(guān)系的鄰接矩陣。設(shè)無向圖W(P,Q)的頂點(diǎn)數(shù)為n,P＝{p1,p2,…,p n},則圖的鄰接矩陣是一個(gè)n×n的二維數(shù)組,用F[n][n]表示為

如W001電纜組件連接圖,頂點(diǎn)n為5個(gè),頂點(diǎn)數(shù)組為[A,B,C,D,E],鄰接矩陣如式(2)所示。無向圖的鄰接矩陣是沿主對(duì)角線對(duì)稱的。

2 電纜組件復(fù)雜度的定義

本文給出的電纜組件絕對(duì)復(fù)雜度和相對(duì)復(fù)雜度的概念分別由式(3)和式(4)定義。

一個(gè)電纜組件所包含的電連接器數(shù)量越多,分支關(guān)系越多,表示越復(fù)雜,即點(diǎn)和邊的數(shù)量表征了電纜組件的復(fù)雜程度。由此可以定義電纜組件的絕對(duì)復(fù)雜度,見式(3),間接表征電纜組件的復(fù)雜程度。

式中:Ca為絕對(duì)復(fù)雜度,N為結(jié)點(diǎn)數(shù),S為邊數(shù)。

但是絕對(duì)復(fù)雜度不能真實(shí)的反映電纜組件的復(fù)雜程度,對(duì)于相同結(jié)點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)的電纜組件,存在多種電纜組件連接關(guān)系,如4個(gè)結(jié)點(diǎn)3條邊的連接關(guān)系有W005、W006,5個(gè)結(jié)點(diǎn)4條邊的連接關(guān)系有W002、W003、W004。絕對(duì)復(fù)雜度無法考量電纜組件連接關(guān)系對(duì)電纜組件復(fù)雜度的影響,如W004電纜組件的絕對(duì)復(fù)雜度大于 W005電纜組件,但W004在實(shí)際過程中更易敷設(shè)和插接,僅從電連接器和分支數(shù)量上來看,無法正確評(píng)估復(fù)雜度,還需要考慮分支的連接關(guān)系。

根據(jù)圖1中電纜組件連接圖情況,可分為鏈條型(如 W003、W005)、星型(如 W004、W006),復(fù)雜電纜組件一般是鏈條型和星型的組合。根據(jù)實(shí)際應(yīng)用情況,認(rèn)為電纜組件連接的復(fù)雜度為星型小于鏈條型。所以除了結(jié)點(diǎn)數(shù)和邊數(shù),平均結(jié)點(diǎn)間距離同樣會(huì)影響電纜組件的復(fù)雜程度。平均結(jié)點(diǎn)間距離是指所有結(jié)點(diǎn)兩兩之間最小邊數(shù)之和除以結(jié)點(diǎn)組合數(shù),體現(xiàn)由于分支耦合帶來的距離增長(zhǎng),電纜組件如果沒有耦合應(yīng)該都是“一對(duì)一”或“一對(duì)多”的分支形式。由此可以定義電纜組件的相對(duì)復(fù)雜度,見式(4)。

式中:Cr為相對(duì)復(fù)雜度,N為結(jié)點(diǎn)數(shù),S為邊數(shù),L為結(jié)點(diǎn)間距離之和,K1、K2為權(quán)重系數(shù),本文中設(shè)置為1,后續(xù)研究中可根據(jù)對(duì)電纜組件的不同要求進(jìn)行權(quán)重系數(shù)的設(shè)定)。

3 電纜組件絕對(duì)復(fù)雜度和相對(duì)復(fù)雜度的計(jì)算方法

3.1 簡(jiǎn)單電纜組件絕對(duì)復(fù)雜度和相對(duì)復(fù)雜度計(jì)算示例

圖1中電纜組件的結(jié)點(diǎn)數(shù)均不大于5個(gè),計(jì)算量較小。根據(jù)絕對(duì)復(fù)雜度和相對(duì)復(fù)雜度的定義,對(duì)圖1中電纜組件進(jìn)行復(fù)雜度的計(jì)算,表2給出了兩個(gè)電纜組件W001和W002的結(jié)點(diǎn)間距離之和計(jì)算示例,W001～W006的復(fù)雜度計(jì)算結(jié)果見表3。

表2 結(jié)點(diǎn)間距離計(jì)算(N＝5)Table 2 Distance between modes(N＝5)

表3 電纜組件的復(fù)雜度計(jì)算結(jié)果Table 3 Cable complexity calculation results

續(xù) 表

由W001～W006電纜組件復(fù)雜度的計(jì)算結(jié)果可以看出,絕對(duì)復(fù)雜度和相對(duì)復(fù)雜度均可以表征電纜組件的復(fù)雜程度,但相對(duì)復(fù)雜度可以較為準(zhǔn)確的描述電纜組件連接的復(fù)雜程度。

3.2 復(fù)雜電纜組件絕對(duì)復(fù)雜度和相對(duì)復(fù)雜度計(jì)算方法

結(jié)點(diǎn)數(shù)大或連接關(guān)系復(fù)雜的電纜組件的復(fù)雜度計(jì)算量較大。計(jì)算復(fù)雜電纜組件或電纜網(wǎng)的復(fù)雜度,主要步驟如下:①對(duì)電纜組件進(jìn)行數(shù)據(jù)記錄,通過無向圖鄰接矩陣儲(chǔ)存方法將電纜組件連接關(guān)系轉(zhuǎn)換為數(shù)據(jù);②對(duì)已知無向圖求解結(jié)點(diǎn)數(shù)N、邊數(shù)S及結(jié)點(diǎn)間距離之和L;③根據(jù)第2章絕對(duì)復(fù)雜度和相對(duì)復(fù)雜度的定義,求解Ca和Cr。

計(jì)算相對(duì)復(fù)雜度的關(guān)鍵在于求解結(jié)點(diǎn)間距離,即找出兩兩頂點(diǎn)之間的最短路徑并計(jì)算出最短路徑長(zhǎng)度,屬于全局最短路徑問題,本文采用Floyd算法進(jìn)行求解[6-10]。Floyd算法的基本思想是:對(duì)于一個(gè)頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為n的無向網(wǎng),設(shè)置一個(gè)n×n的方陣A(k),其中除對(duì)角線的矩陣元素都等于0外,其他元素A(k)[i][j](i≠j)表示從頂點(diǎn)到頂點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度,k表示運(yùn)算步驟,k＝0,1,…,n。初始時(shí),A(0)＝F,即初始時(shí),以任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間的直接邊的權(quán)值作為最短路徑長(zhǎng)度。逐步嘗試在原路徑中加入其他頂點(diǎn)作為中間頂點(diǎn),如果增加中間頂點(diǎn)后,等到的路徑比原來的最短路徑長(zhǎng)度減少了,則以此新路徑代替原路徑,修改矩陣元素,更新為更短的路徑長(zhǎng)度。

Floyd算法的遞推公式為

反復(fù)迭代后得到的A(n),將其中的A(n)[i][j](i＜j,i＝1,2,…,n,j＝1,2,…,n)相加即得到電纜組件結(jié)點(diǎn)間最小距離之和L。

4 電纜組件復(fù)雜度的評(píng)估方法應(yīng)用及優(yōu)化

4.1 電纜組件復(fù)雜度的評(píng)估方法應(yīng)用

通過上述章節(jié)對(duì)電纜組件復(fù)雜度的數(shù)學(xué)描述和計(jì)算方法的研究,可以對(duì)電纜組件的復(fù)雜程度進(jìn)行定量的評(píng)估。以某航天器整器電纜網(wǎng)為例,電纜組件共計(jì)314個(gè),對(duì)每一個(gè)電纜組件的復(fù)雜度進(jìn)行計(jì)算,絕對(duì)復(fù)雜度和相對(duì)復(fù)雜度值對(duì)應(yīng)的電纜組件數(shù)量統(tǒng)計(jì)結(jié)果見圖2、圖3。通過式(3)和式(4)計(jì)算,實(shí)現(xiàn)了以定量數(shù)據(jù)表示出電纜組件的復(fù)雜程度,快速的識(shí)別出復(fù)雜電纜組件,同時(shí)對(duì)整套電纜網(wǎng)設(shè)計(jì)的復(fù)雜情況有更為直觀而準(zhǔn)確的認(rèn)知,從而可以對(duì)不同方案的電纜組件設(shè)計(jì)進(jìn)行評(píng)估。

圖2 絕對(duì)復(fù)雜度的計(jì)算統(tǒng)計(jì)結(jié)果Fig.2 Absolute complexity calculation results

圖3 相對(duì)復(fù)雜度的計(jì)算統(tǒng)計(jì)結(jié)果Fig.3 Relative complexity calculation results

通過圖2和圖3計(jì)算結(jié)果得知,電纜號(hào)W405A的絕對(duì)復(fù)雜度最高,值為64,而其相對(duì)復(fù)雜度為4.68,分支數(shù)為39;電纜號(hào) W060的相對(duì)復(fù)雜度最高,值為5.17,而其絕對(duì)復(fù)雜度為58,分支數(shù)為30。由此可得出,分支數(shù)越多,或絕對(duì)復(fù)雜度越高,相對(duì)復(fù)雜度不一定越高,還取決于電纜組件結(jié)構(gòu),相對(duì)復(fù)雜度越高的電纜組件才是實(shí)際情況下越復(fù)雜的電纜組件,這也說明了電纜組件復(fù)雜度評(píng)估的必要性。

4.2 電纜組件復(fù)雜度的優(yōu)化

復(fù)雜電纜組件在敷設(shè)、安裝、維修等方面均存在較大難度,所以減少?gòu)?fù)雜電纜組件的數(shù)量、降低相對(duì)復(fù)雜度的數(shù)值是電纜組件優(yōu)化的目標(biāo)。通過計(jì)算復(fù)雜度,識(shí)別出的復(fù)雜電纜組件后,可以通過打斷、重新分配、更改設(shè)備接口等方式去實(shí)現(xiàn)優(yōu)化。例如相對(duì)復(fù)雜度最高的W060電纜組件,其電纜組件連接如圖4所示?？梢栽O(shè)置不同的過渡打斷點(diǎn),進(jìn)行電纜網(wǎng)復(fù)雜度的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

假設(shè)整器僅允許多增加一個(gè)過渡打斷點(diǎn),設(shè)計(jì)兩種打斷方案如下。

方案一,通過過渡打斷點(diǎn)1,即S202-X10與N202b-X04、S101-X45與S202-X92一并打斷,W060拆分成兩個(gè)電纜組件W060A1和W060B1;

方案二,通過過渡打斷點(diǎn)2,N202a-X04與S201-X12打斷、S202-X92與S201-X12一并打斷,W060拆分成兩個(gè)電纜組件W060A2和W060B2。

圖4 復(fù)雜電纜組件W060的連接圖Fig.4 Connection diagram of complex cable W060

重新計(jì)算兩個(gè)方案的復(fù)雜度情況見表4,可以明顯看到,方案一的電纜組件相對(duì)復(fù)雜度小于方案二,方案一優(yōu)于方案二。

表4 兩個(gè)打斷方案的復(fù)雜度計(jì)算結(jié)果Table 4 Complexity calculation results of two interrupting plan

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出的電纜組件絕對(duì)復(fù)雜度和相對(duì)復(fù)雜度的概念和計(jì)算方法,可以解決以下問題:①給出了衡量電纜組件復(fù)雜程度的定量指標(biāo);②提供了電纜組件設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣的判斷依據(jù),復(fù)雜度相對(duì)較低的方案更優(yōu);③快速識(shí)別出電纜網(wǎng)中復(fù)雜度較高的電纜組件;④對(duì)整器電纜網(wǎng)的電纜組件給出復(fù)雜度的量化評(píng)估,對(duì)于復(fù)雜度較高的電纜組件,可以從設(shè)計(jì)、加工、敷設(shè)等方面對(duì)其進(jìn)行分析和優(yōu)化,有效控制其復(fù)雜程度。電纜組件復(fù)雜度的提出為后續(xù)電纜組件的優(yōu)化和方案評(píng)估奠定了理論基礎(chǔ)。