地月系平動(dòng)點(diǎn)軌道動(dòng)力學(xué)建模與控制策略研究

于登云 周文艷 高珊

(1中國(guó)航天科技集團(tuán)有限公司,北京 100048)(2北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部,北京 100094)

平動(dòng)點(diǎn)是第三體在受2個(gè)大天體的萬(wàn)有引力作用時(shí)在空間中的引力平衡點(diǎn)。1765年,歐拉發(fā)現(xiàn)在一個(gè)旋轉(zhuǎn)二體重力場(chǎng)中存在3個(gè)共線的天平動(dòng)點(diǎn);1772年,拉格朗日指出在一個(gè)旋轉(zhuǎn)二體重力場(chǎng)中存在另外2個(gè)天平動(dòng)點(diǎn)。這5個(gè)點(diǎn)統(tǒng)稱為拉格朗日點(diǎn)(L1～L5),也稱平動(dòng)點(diǎn)。其中,L1、L2和L3是共線平動(dòng)點(diǎn),L4和L5為三角平動(dòng)點(diǎn)。平動(dòng)點(diǎn)特殊的動(dòng)力學(xué)特性和在三體問(wèn)題中相對(duì)固定的幾何位置,使其在中繼通信、在軌服務(wù)、天文觀測(cè)、星際導(dǎo)航、星際轉(zhuǎn)移等深空探測(cè)任務(wù)中具備良好的工程應(yīng)用價(jià)值。雖然此前開(kāi)展了一些研究探索[1-5],但鑒于技術(shù)復(fù)雜性等因素,未有利用地月系平動(dòng)點(diǎn)開(kāi)展地月中繼服務(wù)的先例。

嫦娥四號(hào)是世界首次著陸月球背面進(jìn)行月球探測(cè)的任務(wù),由于月球背面始終背向地球,探測(cè)器無(wú)法直接與地面通信,需要中繼衛(wèi)星作為地面站與月球背面探測(cè)器之間通信的橋梁。為保障中繼任務(wù)順利開(kāi)展,其軌道設(shè)計(jì)不僅要考慮日-地-月-星相對(duì)幾何關(guān)系,還要考慮各種工程約束條件,如測(cè)控要求、運(yùn)載火箭發(fā)射要求、推進(jìn)劑約束、光照條件等;同時(shí),軌道振幅參數(shù)、相位等設(shè)計(jì)變量與速度增量、軌道光照等約束條件具有極為復(fù)雜的耦合關(guān)系,在工程設(shè)計(jì)中要對(duì)軌道特性進(jìn)行分析來(lái)解耦這些約束。因此,必須要建立考慮三體引力的高精度動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行軌道計(jì)算、分析,尋找其中的規(guī)律和軌道特性,確定滿足任務(wù)需求的中繼衛(wèi)星最佳軌道方案和最省推進(jìn)劑的軌道控制策略。

1 軌道動(dòng)力學(xué)建模與求解

1.1 非線性動(dòng)力學(xué)通用模型

在慣性空間中,n個(gè)物體在無(wú)其他外力的作用下,公共質(zhì)心的加速度為零,各質(zhì)量體在相互作用下繞質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng),示意見(jiàn)圖1。設(shè)n個(gè)物體的質(zhì)量分別為m i(i＝1,…,n),它們相對(duì)于慣性坐標(biāo)系OXYZ的矢徑分別為r i(i＝1,…,n),慣性坐標(biāo)系的原點(diǎn)為它們的公共質(zhì)心O。

圖1 n體問(wèn)題示意Fig.1 Illustration of multi-body problem

第i個(gè)物體的單位質(zhì)量加速度為

式中:G為引力常數(shù);第i個(gè)物體到第j個(gè)物體的矢徑r ij＝r j－r i。

一般情況下,要研究衛(wèi)星相對(duì)于某個(gè)主物體的運(yùn)動(dòng),坐標(biāo)系原點(diǎn)在主物體質(zhì)心。把第n個(gè)物體當(dāng)作衛(wèi)星,第1個(gè)物體當(dāng)作主物體,則衛(wèi)星相對(duì)于主物體慣性坐標(biāo)系中的加速度為

這就是n體運(yùn)動(dòng)方程。研究衛(wèi)星在平動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)四體問(wèn)題,要包括日、地、月的中心引力,衛(wèi)星在地心慣性坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程如下。

式中:r和v為衛(wèi)星的位置矢量和速度矢量;rm和rs為地心指向月球和太陽(yáng)的矢量;rmd和rsd為月心和日心指向衛(wèi)星的矢量;μe,μm,μs為地球、月球和太陽(yáng)的引力常數(shù);J2為地球帶諧系數(shù);矢量r z可表示為[0 0z]T;地球平均赤道半徑Re＝6378.140 km。

1.2 微分修正方法

衛(wèi)星在不同運(yùn)行階段的計(jì)算是選取不同的初始和末端狀態(tài),利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行迭代求解,從而找到精確的結(jié)果[6-7]。初始狀態(tài)參數(shù)矩陣p和末端狀態(tài)參數(shù)矩陣q之間的關(guān)系可以表示為q＝f(p),兩狀態(tài)之間的誤差關(guān)系可線性化表示為Δq＝利用這個(gè)關(guān)系,在合適的初值基礎(chǔ)上,通過(guò)若干次迭代就可以求出十分精確的數(shù)值解。Δq就是誤差傳遞矩陣,它的數(shù)值解可以通過(guò)數(shù)值積分得到,見(jiàn)式(4)。

式中:r0和v0為衛(wèi)星在初始時(shí)刻的位置和速度;3個(gè)矩陣S,R,T的乘積結(jié)果為誤差傳遞矩陣Ts,其中S和T分別為末端和初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,R為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,見(jiàn)式(5),其微分形式見(jiàn)式(6)。

式中:g為。

首先,給出軌道積分的初值,將式(3)和式(6)一起積分,得到任意時(shí)刻衛(wèi)星的位置、速度和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣R,再利用軌道積分的初值求出矩陣T,軌道積分到末端狀態(tài)求出矩陣S,這3個(gè)矩陣相乘就得到了誤差傳遞矩陣Ts;然后,把積分得到的末端狀態(tài)減去要求達(dá)到的值,差值就是誤差傳遞矩陣Δq,則初始狀態(tài)的修正量Δp＝Ts－1Δq。用這個(gè)修正量來(lái)修正初始狀態(tài),然后再重復(fù)上述積分,這樣反復(fù)迭代到末端狀態(tài)達(dá)到一定的精度,最終求解出滿足末端狀態(tài)的軌道。

1.3 解析計(jì)算模型

考慮3個(gè)物體的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(即三體系統(tǒng)),其中2個(gè)為主引力天體,第3個(gè)為衛(wèi)星,其質(zhì)量遠(yuǎn)小于前2個(gè)天體,可認(rèn)為前2個(gè)天體的運(yùn)行不受衛(wèi)星影響。進(jìn)一步假定2個(gè)天體圍繞該系統(tǒng)的公共質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng),則稱為圓型限制性三體問(wèn)題。以地月系為例描述這一問(wèn)題,建立地月質(zhì)心會(huì)合坐標(biāo)系OBXBYBZB,其坐標(biāo)原點(diǎn)位于三體系統(tǒng)的公共質(zhì)心,XB軸為大天體指向小天體方向,ZB軸沿2個(gè)天體運(yùn)行的角動(dòng)量方向,YB軸滿足右手坐標(biāo)系定義。在此基礎(chǔ)上定義平動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)系OLXLYLZL,將質(zhì)心會(huì)合坐標(biāo)系平移至相應(yīng)的平動(dòng)點(diǎn),其余指向不變。

圖2以地月系L2為例給出地月質(zhì)心會(huì)合坐標(biāo)系

OBXBYBZB、平動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)系OLXLYLZL和地心慣性坐標(biāo)系OXYZ的關(guān)系。平動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)系(地月L2會(huì)合坐標(biāo)系)的原點(diǎn)在L2,L2與地月系公共質(zhì)心的距離為1.155682 110 911D(D為地月距離,由星歷表DE405得到),L2與月心的距離為0.167 832 682 341D;地月L2會(huì)合坐標(biāo)系的XL軸為瞬時(shí)地月矢量方向,ZL軸為白道面法向。

圖2 3個(gè)坐標(biāo)系的關(guān)系Fig.2 Relationship among three coordinate systems

圓型限制性三體問(wèn)題動(dòng)力學(xué)模型普遍表達(dá)為

式中:xB,yB,zB為衛(wèi)星在地月質(zhì)心會(huì)合坐標(biāo)系中的位置分量;擬勢(shì)函數(shù)U＝(1－μ)/r1B＋μ/r2B＋(xB2＋yB2)/2,其中μ為三體系統(tǒng)的2個(gè)天體中較小天體的質(zhì)量占比,r1B和r2B分別為地月質(zhì)心會(huì)合坐標(biāo)系中2個(gè)天體的矢徑大小;U xB,U yB,U zB表示擬勢(shì)函數(shù)U對(duì)xB,yB,zB求偏導(dǎo)。

平動(dòng)點(diǎn)軌道類型有很多,最常見(jiàn)和工程上已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的是Halo軌道和Lissajous軌道。Halo軌道分為南向軌道和北向軌道,以地月系為例,判斷Halo軌道的最簡(jiǎn)單準(zhǔn)則是,當(dāng)衛(wèi)星經(jīng)過(guò)地月視線時(shí),其速度近似平行于白道面并垂直于地月視線。Lissajous軌道的通常定義是,平面內(nèi)振動(dòng)頻率和垂直平面的振動(dòng)頻率不同。平動(dòng)點(diǎn)軌道還有Lyapunov軌道、垂直軌道、軸向軌道、蝶形軌道等類型,關(guān)于各種類型平動(dòng)點(diǎn)軌道的定義,目前沒(méi)有統(tǒng)一[8]。本文結(jié)合“鵲橋”衛(wèi)星的任務(wù)特點(diǎn),主要圍繞Halo軌道開(kāi)展研究,對(duì)于Lissajous軌道模型不再贅述,具體可參見(jiàn)文獻(xiàn)[9]。下面主要針對(duì)Halo軌道的解析解進(jìn)行介紹。

三體動(dòng)力學(xué)方程無(wú)法直接得到解析解,但可以利用勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式將平動(dòng)點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)方程線性化近似,再通過(guò)求解線性化方程組給出周期軌道的近似解析解。將式(7)所采用的地月質(zhì)心會(huì)合坐標(biāo)系平移至相應(yīng)的平動(dòng)點(diǎn)(如L2),指向保持不變,并且進(jìn)行無(wú)量綱化和歸一化處理,可以得到第三體在共線平動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程形式為

考慮運(yùn)動(dòng)方程中的三階項(xiàng)影響,利用Legendre級(jí)數(shù)得到保留三階小量的方程,見(jiàn)式(9)。采用Lindestedt-Poincaré方法,可進(jìn)一步推導(dǎo)出Halo軌道的三階近似解析解,見(jiàn)式(10)。

式中:A XL和A ZL分別為XL軸和ZL軸方向的振幅;τ1為相位角;a,b,k,d均為推導(dǎo)因子;zL取“＋”時(shí)為南向Halo軌道,取“－”時(shí)為北向Halo軌道。

需要說(shuō)明的是,式(10)中利用Legendre級(jí)數(shù)對(duì)三體動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行展開(kāi),在平動(dòng)點(diǎn)附近時(shí),因高階項(xiàng)均為小量o(x n),可以在近似計(jì)算中舍去。然而,當(dāng)?shù)谌w位置與平動(dòng)點(diǎn)的距離較大時(shí),高階項(xiàng)中因包含該距離及各方向分量的高次項(xiàng),不再是小量,若采用舍去高階項(xiàng)的近似處理,則由高次項(xiàng)后產(chǎn)生的差異會(huì)使解析近似計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況偏差較大。

2 中繼衛(wèi)星運(yùn)行軌道的確定

2.1 飛行方案簡(jiǎn)介

“鵲橋”衛(wèi)星飛行階段分為發(fā)射段、地月轉(zhuǎn)移段、月球到L2轉(zhuǎn)移段、捕獲段和使命段。

(1)發(fā)射段:從運(yùn)載火箭發(fā)射到星箭分離的飛行階段。

(2)地月轉(zhuǎn)移段:從星箭分離到近月點(diǎn)的飛行階段,1天2個(gè)發(fā)射窗口的轉(zhuǎn)移軌道飛行時(shí)間分別按照112 h和136 h設(shè)計(jì)。

(3)月球到L2轉(zhuǎn)移段:衛(wèi)星到達(dá)近月點(diǎn)時(shí)進(jìn)行近月制動(dòng),制動(dòng)的速度增量不足以使衛(wèi)星捕獲進(jìn)入月球軌道,而是進(jìn)入穩(wěn)定流形,飛行3～4天到達(dá)L2附近,即到達(dá)經(jīng)過(guò)地月連線并垂直于白道面的平面。

(4)捕獲段:衛(wèi)星到達(dá)L2后的第1圈軌道。捕獲段通過(guò)軌道捕獲控制形成滿足任務(wù)要求的使命軌道。

(5)使命軌道段:捕獲段結(jié)束后,衛(wèi)星進(jìn)入使命軌道并開(kāi)展中繼工作,預(yù)期工作壽命為3年。

在軌道設(shè)計(jì)過(guò)程中,需要首先根據(jù)任務(wù)需求和約束確定使命軌道,然后以使命軌道為目標(biāo),針對(duì)從地球出發(fā)的轉(zhuǎn)移軌道的任務(wù)參數(shù)和軌道控制策略進(jìn)行設(shè)計(jì)。下文給出具體設(shè)計(jì)過(guò)程和結(jié)果。

2.2 使命軌道的確定

中繼軌道可選擇方案有月球凍結(jié)軌道(環(huán)月軌道)、地月L2軌道,以及介于兩者之間的近直線暈軌道(NRHO),見(jiàn)圖3。環(huán)月中繼軌道可采用大橢圓凍結(jié)軌道,這樣幾乎不需要進(jìn)行軌道維持,但是無(wú)法保證月球背面著陸點(diǎn)的全時(shí)段覆蓋,存在通信盲區(qū)。地月L2中繼軌道通過(guò)合理選擇著陸區(qū)及軌道構(gòu)型,可實(shí)現(xiàn)月球背面著陸點(diǎn)的全時(shí)段通信覆蓋。NRHO也是近年來(lái)備受關(guān)注的一種軌道類型,其主要優(yōu)點(diǎn)是通過(guò)設(shè)置軌道的共振周期避免月影,但也無(wú)法實(shí)現(xiàn)月球背面著陸點(diǎn)的全時(shí)段通信覆蓋。3種中繼軌道通信覆蓋對(duì)比如表1所示?？梢钥闯?以NRHO共振周期與月球會(huì)合周期比例9∶2為例,NRHO對(duì)嫦娥四號(hào)著陸區(qū)也有較好的覆蓋性,但對(duì)近月點(diǎn)幅角要求約90°,直接地月轉(zhuǎn)移軌道無(wú)法滿足幅角要求,需要采用低能轉(zhuǎn)移(弱穩(wěn)定邊界轉(zhuǎn)移)的方式,轉(zhuǎn)移時(shí)間3～4個(gè)月;另外,該類型軌道對(duì)運(yùn)載火箭出發(fā)能量要求較高。通過(guò)對(duì)比,中繼軌道選擇地月L2軌道。

圖3 中繼軌道類型Fig.3 Types of relay orbit

表1 中繼軌道通信覆蓋對(duì)比Table 1 Comparison of communicationscoverage of relay orbits

對(duì)于平動(dòng)點(diǎn)軌道類型的選擇,Lissajous軌道在會(huì)合坐標(biāo)系下呈Lissajous曲線的形式,在長(zhǎng)時(shí)間飛行的情況下難以避免月掩的出現(xiàn),對(duì)關(guān)鍵事件測(cè)控弧段的安排帶來(lái)不利。因此,為保障長(zhǎng)期運(yùn)行對(duì)地通信的需求,使命軌道類型選擇Halo軌道。由于嫦娥四號(hào)任務(wù)著陸區(qū)域位于南半球,為了使中繼衛(wèi)星能夠有更多時(shí)間處于南半球上空,以利于中繼任務(wù)的空間幾何關(guān)系,因此使命軌道選擇南向Halo軌道。

利用解析方法,可以計(jì)算出不同形狀Halo軌道的位置和速度,見(jiàn)圖4。一些典型的振幅對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)月端和近月端的位置和速度見(jiàn)表2[10]。

圖4 Halo軌道的位置和速度Fig.4 Halo orbit position and velocity

表2 不同振幅下的Halo軌道的位置和速度Table 2 Halo orbit position and velocity of different amplitudes

對(duì)2018年5－6月各窗口使命軌道本影時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),使命軌道的運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)為3年,結(jié)果見(jiàn)表3。由表3可知:對(duì)于2018年5－6月的發(fā)射窗口,A ZL為13 000 km的軌道最長(zhǎng)本影時(shí)長(zhǎng)為4.7 h。

“鵲橋”衛(wèi)星相對(duì)于嫦娥四號(hào)著陸器的距離和方位角的極坐標(biāo)及仰角變化見(jiàn)圖5?？梢钥闯?對(duì)于主選著陸區(qū)中心點(diǎn),使命軌道段運(yùn)行3年內(nèi),“鵲橋”衛(wèi)星相對(duì)著陸器的仰角均大于20°。

綜合考慮光照、測(cè)控、速度增量等約束,L2環(huán)繞軌道選擇A ZL為13 000 km的南向軌道。Halo軌道的基本參數(shù)為:A XL約為12 500 km,A YL約為37 000 km,A ZL約為13 000 km,軌道的平均周期約為14天。其軌道形狀如圖6所示?？紤]軌道演化和誤差的影響,使命軌道運(yùn)行3年的振幅變化范圍為:A XL不超過(guò)14 000 km,A YL不超過(guò)38 000 km,A ZL不超過(guò)17 000 km。該使命軌道與著陸器通信覆蓋率達(dá)100%,且對(duì)于首發(fā)窗口在3年飛行過(guò)程中只有2次經(jīng)歷地球的本影。

表3 Halo軌道本影時(shí)長(zhǎng)Table 3 Eclipse time of Halo orbit

圖5 “鵲橋”衛(wèi)星方位角和仰角Fig.5 Azimuth and elevation angle of Queqiao satellite

圖6 Halo軌道形狀Fig.6 Illustration of Halo orbit

2.3 轉(zhuǎn)移軌道的確定

實(shí)現(xiàn)地月L2軌道飛行的轉(zhuǎn)移軌道,有直接轉(zhuǎn)移、低能轉(zhuǎn)移和月球引力輔助轉(zhuǎn)移3種方案可選,見(jiàn)圖7。

直接轉(zhuǎn)移軌道與地月轉(zhuǎn)移軌道類似,只是其遠(yuǎn)地點(diǎn)更高,因此出發(fā)能量比地月轉(zhuǎn)移軌道稍大。直接轉(zhuǎn)移軌道在到達(dá)L2時(shí)要進(jìn)行捕獲控制,所需速度增量約1.0 km/s。低能轉(zhuǎn)移軌道即行星際高速公路,通過(guò)從地球發(fā)射進(jìn)入拋物線軌道,使衛(wèi)星運(yùn)行到距離地球1.5×106km左右后再返回地月系,進(jìn)入地月L2軌道,其所需速度增量小,但是近地點(diǎn)出發(fā)速度較大,且轉(zhuǎn)移時(shí)間一般為3～4個(gè)月。月球引力輔助轉(zhuǎn)移軌道是將衛(wèi)星從地球發(fā)射進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道,衛(wèi)星飛行至近月點(diǎn)時(shí)通過(guò)近月制動(dòng)完成減速變軌,所需速度增量約為0.2 km/s。衛(wèi)星并不進(jìn)入環(huán)月軌道,而是在飛越月球后進(jìn)入地月L2附近的穩(wěn)定流形,在到達(dá)L2附近時(shí)可不經(jīng)變軌或只需很小的速度增量就進(jìn)入環(huán)繞L2的軌道。3種轉(zhuǎn)移軌道參數(shù)比較見(jiàn)表4。

圖7 3種轉(zhuǎn)移軌道Fig.7 Three transfer trajectories

表4 轉(zhuǎn)移軌道對(duì)比Table 4 Comparison of transfer trajectories

月球引力輔助轉(zhuǎn)移軌道繼承性好,轉(zhuǎn)移時(shí)間短,速度增量需求遠(yuǎn)小于直接轉(zhuǎn)移軌道,而且考慮到發(fā)射能量對(duì)發(fā)射質(zhì)量的影響,“鵲橋”衛(wèi)星的剩余質(zhì)量大。

2.3.1 地月轉(zhuǎn)移段

“鵲橋”衛(wèi)星的地月轉(zhuǎn)移段設(shè)計(jì)充分繼承嫦娥三號(hào)探測(cè)器的設(shè)計(jì)方法和特點(diǎn),由長(zhǎng)征-4C運(yùn)載火箭送入近地點(diǎn)高度200 km、遠(yuǎn)地點(diǎn)高度380000 km、傾角28.5°降軌發(fā)射的地月轉(zhuǎn)移軌道,經(jīng)過(guò)5～6天的飛行,降軌到近月點(diǎn)高度100 km、軌道傾角15°。在設(shè)計(jì)過(guò)程中,根據(jù)任務(wù)需求對(duì)到達(dá)傾角進(jìn)行優(yōu)化,飛行時(shí)間根據(jù)近月制動(dòng)時(shí)的測(cè)控條件在112 h和136 h附近進(jìn)行調(diào)整。

2.3.2 月球到L2轉(zhuǎn)移段

初始狀態(tài)參數(shù)矩陣p和末端狀態(tài)參數(shù)矩陣q在月球到L2轉(zhuǎn)移段可表示為[6]

式中:Δv為近月點(diǎn)制動(dòng)速度增量,衛(wèi)星在地月轉(zhuǎn)移段運(yùn)行到近月點(diǎn)時(shí),位置和速度是確定的,此時(shí)在近月點(diǎn)沿衛(wèi)星相對(duì)于月球的速度反方向進(jìn)行減速制動(dòng),使衛(wèi)星進(jìn)入地月L2穩(wěn)定流形;v XL為衛(wèi)星運(yùn)行到地月L2會(huì)合坐標(biāo)系OLXLYLZL的XLOLZL平面時(shí)XL軸方向速度。

Δv的初值為,其中,μm為月球引力常數(shù),rp為衛(wèi)星從月球出發(fā)時(shí)的月心距,月球到L2轉(zhuǎn)移段的剩余速度平方C3?。?.175 km2/s2。

迭代計(jì)算時(shí)采用逐次迭代收斂的方法,具體過(guò)程如下。

(1)以近月制動(dòng)速度增量為控制變量,目標(biāo)為第1次經(jīng)過(guò)地月L2會(huì)合坐標(biāo)系XLOLZL平面時(shí),相對(duì)于會(huì)合坐標(biāo)系的速度v XL＝0,迭代收斂;

(2)繼續(xù)以近月制動(dòng)速度增量為控制變量,目標(biāo)為第2次經(jīng)過(guò)地月L2會(huì)合坐標(biāo)系XLOLZL平面時(shí),相對(duì)于會(huì)合坐標(biāo)系的速度v XL＝0,迭代收斂;

(3)繼續(xù)對(duì)軌道進(jìn)行積分,目標(biāo)為第3次經(jīng)過(guò)地月L2會(huì)合坐標(biāo)系XLOLZL平面時(shí),相對(duì)于會(huì)合坐標(biāo)系的速度v XL＝0,迭代收斂。

經(jīng)過(guò)3次迭代收斂,求出近月制動(dòng)速度增量。衛(wèi)星按該增量減速制動(dòng)后,從月球飛至地月L2,進(jìn)入L2的穩(wěn)定流形,近月點(diǎn)高度100 km,軌道傾角15°,地月轉(zhuǎn)移時(shí)間112 h。不同發(fā)射窗口下近月制動(dòng)速度增量見(jiàn)圖8?？梢钥闯?近月制動(dòng)速度增量1個(gè)月變化1個(gè)周期,與月球公轉(zhuǎn)周期相同。

圖8 不同發(fā)射窗口的近月制動(dòng)速度增量ΔvFig.8 Perilune decelerationΔv of different launch windows

3 中繼衛(wèi)星軌道控制策略

“鵲橋”衛(wèi)星整個(gè)飛行過(guò)程需要進(jìn)行的軌道控制可分為捕獲控制、軌道修正和軌道維持3類。捕獲控制的目的是使衛(wèi)星捕獲進(jìn)入預(yù)定的使命軌道;軌道修正的目的是對(duì)飛行過(guò)程中的各類誤差(包括運(yùn)載火箭入軌誤差、測(cè)控誤差、軌道控制誤差等)進(jìn)行修正,使在誤差情況下飛行軌道仍能滿足任務(wù)要求;軌道維持則是由于地月系L2是不穩(wěn)定點(diǎn),在使命軌道飛行階段需要定期進(jìn)行軌道維持以保證衛(wèi)星在Halo軌道上的長(zhǎng)期穩(wěn)定運(yùn)行。

3.1 捕獲控制

根據(jù)軌道特性和地月L2的Halo軌道構(gòu)型需要,“鵲橋”衛(wèi)星通過(guò)1次近月制動(dòng)和2次Halo軌道捕獲控制,變軌進(jìn)入特定構(gòu)型的Halo軌道(南向、A XL為12500 km、A YL為38 000 km、A ZL為13 000 km),并通過(guò)合理安排2次捕獲脈沖的位置及Halo軌道進(jìn)入點(diǎn)的相位,使3次脈沖的速度增量之和最小。

“鵲橋”衛(wèi)星近月制動(dòng)后進(jìn)入月球到L2轉(zhuǎn)移段,為確保在到達(dá)L2附近后能夠順利進(jìn)入環(huán)繞L2的軌道并開(kāi)展捕獲控制,近月制動(dòng)及后續(xù)轉(zhuǎn)移段的控制機(jī)動(dòng)均應(yīng)以保障到達(dá)L2附近后第1圈軌道的穩(wěn)定為目標(biāo)。近月制動(dòng)采用4個(gè)20 N推力器加8個(gè)5 N推力器組合執(zhí)行,推力方向沿近月點(diǎn)速度反方向,采用慣性定向,1次完成,通過(guò)控制推力作用時(shí)間實(shí)現(xiàn)預(yù)定軌道控制目標(biāo)。

“鵲橋”衛(wèi)星到達(dá)地月L2附近后的第1圈為捕獲段,進(jìn)行2次捕獲控制,用于調(diào)整軌道位置和速度,形成滿足中繼任務(wù)的使命軌道;同時(shí),由于捕獲控制速度增量較大,為保證軌道穩(wěn)定性,在各次捕獲控制后分別安排1次軌道修正,用于修正捕獲控制殘差。

第1次捕獲控制為“3對(duì)2”的控制策略,即通過(guò)調(diào)整變軌點(diǎn)3個(gè)方向的速度分量瞄準(zhǔn)第3次穿過(guò)地月L2會(huì)合坐標(biāo)系XLOLZL平面時(shí)XL軸方向和ZL軸方向位置。該策略解不唯一,通過(guò)對(duì)控制變量進(jìn)行優(yōu)化獲得推進(jìn)劑最優(yōu)解。

第2次捕獲控制為“3對(duì)1”控制策略,需要首先以Halo軌道過(guò)XLOLZL平面時(shí)地月L2會(huì)合坐標(biāo)系下各方向速度分量要求(對(duì)于A ZL為13000 km的南向Halo軌道,過(guò)遠(yuǎn)月端XLOLZL平面時(shí)v XL為0 m/s,v ZL為0 m/s,v YL為－165.40 m/s)為初始目標(biāo),計(jì)算滿足各方向速度所需要的變軌速度增量,并將計(jì)算結(jié)果作為初值,通過(guò)迭代調(diào)整變軌點(diǎn)各方向速度,使控制后第3次穿過(guò)地月L2會(huì)合坐標(biāo)系XLOLZL平面時(shí)沿XL軸方向的速度為零。

3.2 軌道修正

地月轉(zhuǎn)移段中途修正安排3次,綜合考慮各發(fā)射窗口測(cè)控弧段差異和后續(xù)可能的微調(diào),第1次安排在星箭分離后的14 h±1 h,第2次安排在星箭分離后的38 h±1 h,第3次安排在到達(dá)近月點(diǎn)前24 h±1 h實(shí)施。地月轉(zhuǎn)移中途修正為“3對(duì)3”的微分修正策略,由變軌速度增量3個(gè)方向分量瞄準(zhǔn)近月點(diǎn)高度100 km、軌道傾角15°和真近點(diǎn)角0°的軌道控制目標(biāo)。

在月球到L2轉(zhuǎn)移段,根據(jù)定軌結(jié)果和測(cè)控弧段安排2次中途修正,分別在近月制動(dòng)后24 h和48 h,用于修正近月制動(dòng)殘差。中途修正沿速度方向施加速度增量,軌道控制目標(biāo)為第3次穿過(guò)地月L2會(huì)合坐標(biāo)系XLOLZL平面時(shí)沿XL軸方向的速度為零。

“鵲橋”衛(wèi)星在每次捕獲后約2天進(jìn)行1次軌道修正,具體修正時(shí)刻根據(jù)實(shí)際測(cè)控條件決定,并可根據(jù)每次捕獲后的誤差情況決定是否取消。軌道修正的目標(biāo)與前一次捕獲控制的目標(biāo)一致。

3.3 軌道維持

“鵲橋”衛(wèi)星在L2工作期間,計(jì)劃每周進(jìn)行1次軌道維持,3年共150次。軌道維持安排在“鵲橋”衛(wèi)星過(guò)地月L2會(huì)合坐標(biāo)系XLOLZL平面前后,具體時(shí)刻可根據(jù)國(guó)內(nèi)地面站測(cè)控條件確定。軌道維持策略是通過(guò)調(diào)整控制時(shí)刻各方向速度增量,實(shí)現(xiàn)第3次穿過(guò)地月L2會(huì)合坐標(biāo)系XLOLZL平面時(shí)沿XL軸方向速度為零的目標(biāo)。

4 應(yīng)用效果

“鵲橋”衛(wèi)星于2018年5月21日由長(zhǎng)征-4C運(yùn)載火箭直接送入地月轉(zhuǎn)移軌道,經(jīng)過(guò)1次地月轉(zhuǎn)移中途修正、1次近月制動(dòng)、1次月球到L2轉(zhuǎn)移中途修正、2次Halo軌道捕獲控制,于6月14日進(jìn)入距離月球約65 000 km的地月L2的Halo使命軌道,成為世界上首顆運(yùn)行在地月L2的Halo軌道衛(wèi)星,飛控實(shí)施的飛行軌跡見(jiàn)圖9[11],與設(shè)計(jì)結(jié)果一致。

圖9 “鵲橋”衛(wèi)星飛行軌跡Fig.9 Trajectory of Queqiao satellite

進(jìn)入使命軌道后至2019年4月初,“鵲橋”衛(wèi)星圍繞L2飛行20圈,共實(shí)施32次軌道維持。軌道維持情況見(jiàn)表5。針對(duì)已有的維持實(shí)施情況分析維持頻率和速度增量消耗,“鵲橋”衛(wèi)星軌道維持頻率平均約9天1次,1年對(duì)應(yīng)的速度增量約為18 m/s,滿足前期的速度增量預(yù)算。衛(wèi)星整個(gè)飛行過(guò)程中的參數(shù)和軌道控制效果符合預(yù)期,速度增量滿足前期預(yù)算設(shè)計(jì)結(jié)果,充分驗(yàn)證了衛(wèi)星軌道設(shè)計(jì)和軌道控制策略設(shè)計(jì)的正確性和合理性。

“鵲橋”衛(wèi)星軌道設(shè)計(jì)開(kāi)創(chuàng)了地月平動(dòng)點(diǎn)Halo軌道設(shè)計(jì)的先河,也是國(guó)際上首次工程實(shí)現(xiàn)。與其他月球探測(cè)軌道設(shè)計(jì)不同,它涉及到發(fā)射軌道和地月轉(zhuǎn)移軌道的拼接、地月轉(zhuǎn)移軌道和月球到L2轉(zhuǎn)移軌道的拼接、月球到L2轉(zhuǎn)移軌道和L2使命軌道的拼接,設(shè)計(jì)過(guò)程復(fù)雜。另外,L2軌道的不穩(wěn)定,在軌道計(jì)算時(shí),初值、計(jì)算精度都會(huì)影響計(jì)算的收斂性,僅使用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算很難收斂?！谤o橋”衛(wèi)星的軌道設(shè)計(jì)結(jié)果滿足工程任務(wù)需求,為中繼任務(wù)的成功實(shí)施提供了保證,并經(jīng)過(guò)了飛行試驗(yàn)的驗(yàn)證,設(shè)計(jì)模型和設(shè)計(jì)方法在后續(xù)平動(dòng)點(diǎn)相關(guān)任務(wù)中具有良好的應(yīng)用前景。

表5 軌道維持統(tǒng)計(jì)Table 5 Summary of orbit stationkeeping