低頻振動(dòng)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法與預(yù)警指標(biāo)研究

寧 星，任 偉，劉 君，田 黎

（1.長(zhǎng)沙理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410114；2.國(guó)網(wǎng)湖南省電力有限公司檢修公司，湖南 長(zhǎng)沙 410004；3.國(guó)網(wǎng)湖南省電力有限公司水電分公司，湖南 長(zhǎng)沙 410000；4.國(guó)網(wǎng)重慶市合川區(qū)供電公司，重慶 404100）

0 引言

近年來(lái)，我國(guó)電力工業(yè)規(guī)模不斷擴(kuò)大，已發(fā)展為區(qū)域互聯(lián)電網(wǎng)。互聯(lián)電網(wǎng)能有效地提高輸電運(yùn)行效率，但多區(qū)域之間的弱互聯(lián)有可能引發(fā)低頻振蕩［1］。國(guó)內(nèi)外一些典型事故亦表明，若不能有效抑制低頻振蕩，電力系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行將遭到破壞［2-4］。然而，振蕩過(guò)程復(fù)雜多樣，且?jiàn)A雜著各種各樣的外部噪聲，導(dǎo)致振蕩信號(hào)出現(xiàn)較強(qiáng)的非線性和非平穩(wěn)性。因此，對(duì)含噪聲、非平穩(wěn)、時(shí)變的振蕩信號(hào)進(jìn)行分析，快速準(zhǔn)確地獲取振蕩模式特征以滿足實(shí)時(shí)在線分析與預(yù)警的要求，是大區(qū)域電網(wǎng)有效控制及安全運(yùn)行的關(guān)鍵［2］。隨著高速通信系統(tǒng)的快速發(fā)展，基于相量測(cè)量單元（Phasor Measurement Unit，PMU）的電力系統(tǒng)廣域測(cè)量系統(tǒng) （Wide Area Measurement System ，WAMS）為低頻振蕩動(dòng)態(tài)特性分析與預(yù)警提供了新的契機(jī)［3］。

目前，基于WAMS的低頻振蕩監(jiān)測(cè)分析主要用于振蕩事件發(fā)生后的告警分析，并未充分發(fā)揮其預(yù)警作用。對(duì)低頻振蕩現(xiàn)象進(jìn)行安全預(yù)警，為調(diào)度運(yùn)行人員提供可靠的預(yù)警指標(biāo)，是非常迫切的課題［4］。當(dāng)前基于WAMS測(cè)量信號(hào)的低頻振蕩分析方法主要有：小波分析法、Prony算法、Kalman濾波法、HHT分析法、原子分解法、ESPRIT法等［5］。小波分析法具有多分辨率分析的特點(diǎn)，但在小波基的選取和結(jié)果精度方面還有待改進(jìn)［6］。Prony法是目前比較流行的分析方法，已應(yīng)用于各大電網(wǎng)公司，但Prony算法在噪聲抑制、階數(shù)辨識(shí)以及非平穩(wěn)信號(hào)的擬合等方面效果不是很理想［7］。Kalman 濾波法［8］是一種用于系統(tǒng)辨識(shí)的遞歸運(yùn)算法，該方法最主要的問(wèn)題是數(shù)值不穩(wěn)定，魯棒性待提高。HHT算法［9］能夠有效地處理非平穩(wěn)信號(hào)，而模態(tài)混疊、邊界分量等問(wèn)題對(duì)算法的準(zhǔn)確性有較大的影響。原子分解法［10］的時(shí)頻跟蹤能力較強(qiáng)，適用于非平穩(wěn)時(shí)變信號(hào)的分析，其算法本質(zhì)上需要進(jìn)行大量的內(nèi)積運(yùn)算，辨識(shí)精度低。TLS-ESPRIT法是一類基于子空間技術(shù)的信號(hào)參數(shù)辨識(shí)法，該方法對(duì)高斯白噪聲有較好的免疫能力，但其需要對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行兩次奇異值分解，計(jì)算速度較慢，另外，該方法基于單通道信號(hào)，使得辨識(shí)精度不高，同時(shí)對(duì)非線性信號(hào)的分析有一定的限制［11］。

針對(duì)上述方法的不足，將用于分析航空航天、機(jī)械結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的多通道特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法（Eigensystem Realization Algorithm，ERA）［12-13］與隨機(jī)減量技術(shù)（Random Decrement Technique，RDT）相結(jié)合，應(yīng)用于環(huán)境激勵(lì)下低頻振蕩信號(hào)模態(tài)辨識(shí)與預(yù)警，提取其阻尼比、頻率和振蕩模態(tài)等參數(shù)，并及時(shí)、準(zhǔn)確地反應(yīng)系統(tǒng)的當(dāng)前動(dòng)態(tài)特性。該方法具有較強(qiáng)的抗噪聲能力以及出色的并行能力，可用于廣域多通道量測(cè)信號(hào)的實(shí)時(shí)在線分析與預(yù)警。

1 隨機(jī)減量技術(shù)原理

隨機(jī)減量技術(shù)（RDT）是一種從環(huán)境激勵(lì)下系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)提取自由振蕩信號(hào)的有效方法［14-15］，由H.A.cole等人在20世紀(jì)60年代末提出，已成功地應(yīng)用于分析航天器在環(huán)境激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征。

在電力系統(tǒng)中，當(dāng)發(fā)電機(jī)采取經(jīng)典二階模型時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)行點(diǎn)處進(jìn)行線性化，可得：

式中：Δδ為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角增量；M、D、K分別為發(fā)電機(jī)慣性時(shí)間常數(shù)、定常阻尼系數(shù)和同步力矩系數(shù)。

用F（t）表示負(fù)荷波動(dòng)激勵(lì)。若電力系統(tǒng)中所有的發(fā)電機(jī)同時(shí)運(yùn)行，則：

先選取觸發(fā)時(shí)刻ti，并在每個(gè)ti后均取長(zhǎng)度為L(zhǎng)的響應(yīng)信號(hào)，方程（2）滿足：

式中：τ=1，2，…，L。

對(duì)于隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)，提取N段具有長(zhǎng)度相同的響應(yīng)，再求得其平均值，可得：

當(dāng)電網(wǎng)處于穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，負(fù)荷激勵(lì)服從高斯分布，即N→∞時(shí)，，方程（4）變?yōu)?/p>

因此，對(duì)于方程（2）所描述的環(huán)境激勵(lì)下負(fù)荷的隨機(jī)波動(dòng)方程，可轉(zhuǎn)化為方程（5）描述的自由振蕩響應(yīng)方程，通過(guò)對(duì)方程（2）中的非齊次解 Δδ（t）的多次平均求得方程（5）的齊次解 y（τ）。y（τ）即為所求的自由振蕩響應(yīng)信號(hào)。

ti（i=1，2，···，N）稱為觸發(fā)時(shí)刻，由觸發(fā)條件確定。只有選擇合適的觸發(fā)條件，才能準(zhǔn)確提取系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)中的自由振蕩信號(hào)。本文選用工程領(lǐng)域應(yīng)用最多的水平穿越觸發(fā)條件，可得：

對(duì)于離散化的線性系統(tǒng)，當(dāng)ti滿足式（7）時(shí)，可認(rèn)定為觸發(fā)時(shí)刻。

2 基于RDT-ERA方法的振蕩模態(tài)分析

2.1 ERA方法原理

ERA法是近年來(lái)出現(xiàn)一種多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）的模態(tài)參數(shù)辯識(shí)方法，最早由NASA所屬的Langley研究中心提出，被廣泛用于航空航天領(lǐng)域，分析航天器的振動(dòng)特性［16］

電力系統(tǒng)是一個(gè)超大規(guī)模的非線性系統(tǒng)，在探討小信號(hào)穩(wěn)定性時(shí)，通常將其轉(zhuǎn)化為線性時(shí)不變系統(tǒng)來(lái)處理。對(duì)于N維線性電力系統(tǒng)，設(shè)有m個(gè)輸入U(xiǎn)（k）和 n 個(gè)輸出 Y（k），U（k）為通過(guò) RDT 提取的自由振蕩信號(hào)，則離散時(shí)間狀態(tài)方程為

其中：X（k）為狀態(tài)增量向量；狀態(tài)矩陣A、控制矩陣B和觀測(cè)矩陣C共同構(gòu)成了系統(tǒng)的一個(gè)最小實(shí)現(xiàn)。則電力系統(tǒng)的響應(yīng)數(shù)據(jù)可以表示為

構(gòu)造Hankel矩陣：

整理后有：

其中：α、β為任意整數(shù)；P和Q分別為廣義的觀測(cè)和控制矩陣。

在式（11）中，令 k=1，對(duì) H（0）進(jìn)行 SVD 分解可得：

其中U，V分別為左右奇異值向量矩陣，Σ為對(duì)角陣，即：

其中：σ1，σ2，…，σn，…，σN均為 H（0）的奇異值。

從式（15）可以看出，數(shù)值相對(duì)較小的奇異值σ對(duì)應(yīng)于噪聲模態(tài)或數(shù)值計(jì)算誤差，因此，定義一個(gè)閾值ε，當(dāng)?shù)?個(gè)奇異值與第i個(gè)奇異值滿足式（16）時(shí)，第i個(gè)及其后面的奇異值都可被舍棄，從而提高了辨識(shí)參數(shù)的抗噪性。

由式（14）可得：

設(shè)系統(tǒng)矩陣A的特征值矩陣為Λ，由指數(shù)矩陣的性質(zhì)可得A1的特征矢量與A的相同，A1的特征矢量矩陣為

由此A的特征值矩陣 Λ=diag（λ1λ2… λ2n），且。

則對(duì)應(yīng)于特征值λi的振蕩頻率fi和阻尼比ξi分別為

2.2 階數(shù)確定

對(duì)于實(shí)際電力系統(tǒng)而言，系統(tǒng)的階次是不確定的，因此在應(yīng)用ERA算法前要對(duì)系統(tǒng)的階次p進(jìn)行確定［17］。

合理的階次確定對(duì)系統(tǒng)模態(tài)辨識(shí)非常重要，目前用于ERA算法定階的方法主要有奇異值跳躍法和穩(wěn)定圖法。奇異值跳躍法就是通過(guò)找出奇異值跳躍的點(diǎn)來(lái)確定模型的階次，但奇異值按照從小到大排序時(shí)無(wú)明顯突變，則無(wú)法進(jìn)行判斷。穩(wěn)定圖法需要計(jì)算系統(tǒng)處于不同階次時(shí)的模態(tài)參數(shù)，計(jì)算量大，對(duì)計(jì)算機(jī)的要求較高［18］。

通過(guò)對(duì)式（10）所示的Hankel矩陣進(jìn)行SVD分解來(lái)確定系統(tǒng)的階次p。即定義模型階次指標(biāo)為

由于通過(guò)計(jì)算得到的奇異值 σ1，σ2，…σn…σN是按降序排列的正數(shù)，突降比較大的奇異值σi對(duì)應(yīng)的pi也是一個(gè)大值。因此，將系統(tǒng)階次p設(shè)定為模型階次指標(biāo)pi所對(duì)應(yīng)的最大值。

3 算例仿真

3.1 數(shù)值信號(hào)算例分析

數(shù)值信號(hào)算例是含白色噪聲的多通道低頻振蕩信號(hào)，構(gòu)造復(fù)合信號(hào) x（t）為

式中：n（t）為信噪比20 dB的高斯白噪聲。為驗(yàn)證本文方法的有效性，分別采用RDT-ERA算法和傳統(tǒng)的Prony算法對(duì)復(fù)合信號(hào)x（t）進(jìn)行去噪與辨識(shí)，其去噪擬合結(jié)果如圖1～2所示。為避免辨識(shí)結(jié)果出現(xiàn)偶然誤差，將仿真進(jìn)行100次，其辨識(shí)結(jié)果如表1所示。

圖1 RDT-ERA法辨識(shí)結(jié)果

圖2 Prony法辨識(shí)結(jié)果

由圖1可知，對(duì)含有高斯白噪聲的多通道信號(hào)直接使用Prony辨識(shí)，得到的擬合曲線與原始信號(hào)偏差較大且不能完全去除噪聲，而基于RDT-ERA算法擬合效果更佳，基本上與原始信號(hào)重疊。表1給出了兩種方法辨識(shí)結(jié)果的相對(duì)誤差，由表可知基于多通道信號(hào)的Prony算法參數(shù)辨識(shí)精確度低，誤差較大。而RDT-ERA算法辨識(shí)的參數(shù)相對(duì)比較接近理論值，相對(duì)誤差均小于3%，由此可知本文方法在抗噪聲和多通道信號(hào)模式參數(shù)辨識(shí)上具有一定的優(yōu)越性。

表1 兩種方法辨識(shí)結(jié)果比較

3.2 2區(qū)域4機(jī)系統(tǒng)分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性和優(yōu)越性，選擇如圖3所示的IEEE四機(jī)兩區(qū)域系統(tǒng)為電力系統(tǒng)仿真算例［19］。在該系統(tǒng)中，發(fā)電機(jī)G1～G4都安裝了勵(lì)磁器、調(diào)速器和電力系統(tǒng)穩(wěn)定器（PSS），兩區(qū)域聯(lián)絡(luò)弱，負(fù)荷重，是非常典型的低頻振蕩模型。設(shè)定系統(tǒng)擾動(dòng)為0.1 s時(shí)刻母線7和8之間的輸電線路發(fā)生單相接地短路故障，故障點(diǎn)距離母線7的距離占整個(gè)線路的5%，0.15 s切除故障。利用PSASP軟件的暫態(tài)穩(wěn)定計(jì)算進(jìn)行分析，輸出每臺(tái)發(fā)電機(jī)的功角曲線如圖4所示。

圖3 2區(qū)域4機(jī)系統(tǒng)

圖4 各發(fā)電機(jī)功角曲線

對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行分析可得，該系統(tǒng)中存在3個(gè)低頻振蕩模式，其頻率f和阻尼比ξ如表1所示。其中一個(gè)為區(qū)域型振蕩模式，兩個(gè)為局部振蕩模式。振蕩模式1為發(fā)電機(jī)G1和G2相對(duì)于發(fā)電機(jī)G3和G4振蕩；振蕩模式2為發(fā)電機(jī)G3和G4相互振蕩；振蕩模式3為發(fā)電機(jī)G1和G2相互振蕩。相對(duì)于局部振蕩模式，區(qū)域型振蕩模式包含的發(fā)電機(jī)較多，其ξ也小很多，所以系統(tǒng)更容易趨向不穩(wěn)定。

表2 4機(jī)系統(tǒng)低頻振蕩模式理論值

在PMU測(cè)量的數(shù)據(jù)中，經(jīng)常帶有噪聲信號(hào)，為了檢驗(yàn)本文方法在多通道下的抗噪性能，在對(duì)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分析前，首先要排除環(huán)境的隨機(jī)因素的影響，采用Monte Carlo Method思路，進(jìn)行100次試驗(yàn)仿真，從而避免了環(huán)境激勵(lì)的隨機(jī)性對(duì)辨識(shí)結(jié)果產(chǎn)生誤差。以重點(diǎn)關(guān)注的弱阻尼模式1作為例子來(lái)驗(yàn)證其抗噪性，將上述4臺(tái)發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速信號(hào)作為參考信號(hào)，自由振蕩信號(hào)時(shí)間長(zhǎng)度設(shè)為10 s，仿真時(shí)長(zhǎng)為10 min。對(duì)輸入的信號(hào)疊加不同分貝的高斯白噪聲，采用ESPRIT法和本文方法分別進(jìn)行辨識(shí)，辨識(shí)結(jié)果如表3所示。

表3 兩種方法在不同噪聲下對(duì)弱阻尼模式

由表3可以看出，對(duì)含有不同高斯白噪聲的信號(hào)，RDT-ERA算法能更準(zhǔn)確地辨識(shí)低頻振蕩的模態(tài)參數(shù)，且相對(duì)于理想擾動(dòng)的誤差較小。而ESPRIT算法辨識(shí)的頻率、阻尼比相對(duì)于理論值的誤差較大，特別是隨著量測(cè)噪聲水平的提高，其變化越明顯，表明本文方法具有較強(qiáng)的魯棒性。另外，ESPRIT法是基于單通道信號(hào)的方法，需對(duì)4個(gè)機(jī)組輸出信號(hào)進(jìn)行逐一辨識(shí)，但RDT-ERA能同時(shí)對(duì)多組輸出信號(hào)進(jìn)行辨識(shí)，因此RDT-ERA在計(jì)算速度上具有一定的優(yōu)勢(shì)。同理，以相同的方法辨識(shí)模式2和3，結(jié)論依然成立。

圖5和圖6表示在量測(cè)噪聲水平為20 dB時(shí)，使用RDT-ERA方法以及ESPRIT法進(jìn)行辨識(shí)的擬合曲線。從擬合曲線可以看出，對(duì)于含有量測(cè)噪聲的信號(hào)，ESPRIT算法擬合的曲線有較大的偏差，而基于RDT-ERA算法的擬合曲線在總體趨勢(shì)上更加吻合。

圖5 本文方法擬合結(jié)果

圖6 ESPRIT算法擬合結(jié)果

3.3 主導(dǎo)模式最弱阻尼比指標(biāo)預(yù)警

主導(dǎo)模式最弱阻尼比指標(biāo)一般與電力系統(tǒng)的網(wǎng)架結(jié)構(gòu)特征值有關(guān)，因此本文從電力系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)本質(zhì)特性對(duì)其進(jìn)行預(yù)警分析。根據(jù)主導(dǎo)模式最弱阻尼比指標(biāo)，將低頻振蕩分為3個(gè)等級(jí)：當(dāng)阻尼比大于3%時(shí)系統(tǒng)阻尼較強(qiáng)，此時(shí)系統(tǒng)較難出現(xiàn)低頻振蕩現(xiàn)象，安全等級(jí)較高；當(dāng)阻尼比處于0～3%時(shí)可認(rèn)為系統(tǒng)阻尼較弱，此時(shí)系統(tǒng)有可能發(fā)生低頻振蕩問(wèn)題，安全等級(jí)較弱；當(dāng)阻尼比小于0時(shí)，系統(tǒng)將會(huì)發(fā)生增幅性振蕩，電力系統(tǒng)處于高度危險(xiǎn)狀態(tài)，需采取對(duì)應(yīng)策略進(jìn)行抑制。指標(biāo)等級(jí)評(píng)價(jià)如表4所示。

表4 主導(dǎo)模式最弱阻尼比指標(biāo)等級(jí)評(píng)價(jià) %

由仿真辨識(shí)得到的主導(dǎo)模式阻尼比在閾值3%之下，此時(shí)系統(tǒng)發(fā)出報(bào)警，系統(tǒng)運(yùn)行人員應(yīng)及時(shí)采取有效措施抑制其振蕩。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)電力系統(tǒng)由負(fù)荷的隨機(jī)波動(dòng)引起的響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行低頻振蕩辨識(shí)與預(yù)警，提出了將隨機(jī)減量技術(shù)（RDT）和特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法（ERA）方法相結(jié)合。在采用RDT從隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)中提取系統(tǒng)自由振蕩信號(hào)的基礎(chǔ)上，使用ERA方法能夠快速準(zhǔn)確地識(shí)別低頻振蕩模式，得到其頻率、阻尼比等參數(shù)。仿真分析表明，RDT-ERA法比Prony法、ESPRIT法的辨識(shí)結(jié)果更精確，抗噪聲能力更強(qiáng)。同時(shí)，RDT-ERA法可以基于多通道信號(hào)，可一次性準(zhǔn)確的辨識(shí)出多種振蕩模式的結(jié)果，在計(jì)算速度和精度上表現(xiàn)更出色。

該方法僅討論高斯白噪聲環(huán)境激勵(lì)下的在線辨識(shí)與預(yù)警，具有良好的準(zhǔn)確性和有效性，使該方法的適用范圍存在有限性。課題下一步將研究在高斯有色噪聲的信號(hào)下，解決在線監(jiān)測(cè)、預(yù)警等方面的問(wèn)題，擴(kuò)大其應(yīng)用范圍。