擋土墻上被動(dòng)土壓力的變分求解方法

趙國，陳建功

(重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院；山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400045)

被動(dòng)土壓力的計(jì)算是擋土墻上土壓力理論研究內(nèi)容之一，除了對(duì)經(jīng)典的朗肯土壓力理論和庫侖土壓力理論進(jìn)行擴(kuò)展、補(bǔ)充外，學(xué)者們?cè)诳紤]其他諸如土拱效應(yīng)、強(qiáng)度理論、位移模式等方面也對(duì)被動(dòng)土壓力的計(jì)算進(jìn)行了深入探討。李永剛[1]、王立國等[2]考慮了土拱效應(yīng)原理，按庫侖理論得到土壓力強(qiáng)度的計(jì)算方法。侯鍵等[3]對(duì)平移模式下剛性擋土墻和滑裂面間處于被動(dòng)極限平衡狀態(tài)的楔形土體進(jìn)行應(yīng)力分析，推導(dǎo)了基于土拱原理的被動(dòng)土壓力系數(shù)和滑裂面水平傾角,并提出被動(dòng)土壓力分布、土壓力合力及其作用位置公式。Chang[4]、蔣波等[5]和楊泰華等[6-9]對(duì)不同變位模式下的非極限主動(dòng)土壓力進(jìn)行計(jì)算，提出考慮位移效應(yīng)的被動(dòng)土壓力計(jì)算理論。程康等[10]推導(dǎo)了平動(dòng)模式下非飽和土填土擋墻的被動(dòng)土壓力系數(shù)及被動(dòng)土壓力解析解。趙均海等[11]考慮基質(zhì)吸力等因素的影響，結(jié)合雙剪強(qiáng)度理論，建立了非飽和土庫侖被動(dòng)土壓力的統(tǒng)一解。

變分極限平衡法最早是由Kopácsy提出的[12-14]。李興高、劉維寧等[15-17]基于墻后滑楔體整體極限平衡方程，建立了被動(dòng)土壓力計(jì)算的泛函極值模型，計(jì)算結(jié)果表明,擋墻背后土體存在兩種被動(dòng)臨界狀態(tài)，兩種狀態(tài)的計(jì)算結(jié)果就是被動(dòng)土壓力大小的一個(gè)區(qū)間估計(jì)。該方法所建模型為填土面水平、墻背垂直的情況，不能用于一般情況。對(duì)于承受被動(dòng)土壓力的擋土墻(如橋臺(tái))，有必要研究合力作用點(diǎn)位置對(duì)被動(dòng)土壓力大小的影響，本文考慮在一般情況下(傾斜墻背，填土表面非均勻堆載,墻后為黏性土體，坡面為曲面)，利用變分法原理，提出基于合力作用點(diǎn)位置的被動(dòng)土壓力計(jì)算方法，由此可以得到擋墻被動(dòng)土壓力的大小和作用點(diǎn)位置的范圍。

1 被動(dòng)土壓力變分計(jì)算模型

設(shè)擋土墻高為H，坡面形狀為y=g(x)，傾斜角為α，墻后土體容重為γ，墻土間的摩擦角為δ，黏聚力為c、內(nèi)摩擦角為φ，q(x)為作用在坡面上的豎向壓力集度?？紤]極限平衡條件下墻后土體形成滑動(dòng)楔體，假定其滑裂面通過擋墻墻踵，用曲線y=s(x)表示，Pp為擋土墻對(duì)滑動(dòng)土體的作用合力，其值等于被動(dòng)土壓力合力。σ(x)、τ(x)為滑裂面上的法向和切向應(yīng)力，點(diǎn)B為滑裂面的上端的點(diǎn)，其X坐標(biāo)為x1，A為墻背的上端點(diǎn)，其X坐標(biāo)為x2點(diǎn)，x2=-tanα，被動(dòng)土壓力作用點(diǎn)位置至墻踵的垂直距離與擋土墻高度的比值稱為作用點(diǎn)位置系數(shù)ξ，見圖1?；wOAB的靜力平衡方程為

圖1 計(jì)算模型示意圖Fig.1 Sketch map of computation

由∑X=0得

(1)

由∑Y=0得

(2)

由∑MO=0得

qx+(g-s)γx]dx=0

(3)

式中：s′=ds/dx；k=tanα，滑裂面上的應(yīng)力遵循Mohr-Coulomb 破壞準(zhǔn)則，即

τ=n1σ+c

(4)

式中：n1=tanφ。

由式(1)～式(3)，可建立相應(yīng)的泛函極值模型。

由式(3)得泛函

(5)

式中：

F0=(x+ss′+n1s-n1s′x)σ-(g-s)γx-s′xc+sc-qx；

由式(1)得約束條件

(6)

式中：

F1=(-n1-s′)σ-c；

z2=z0z1=const。

由式(2)得約束條件

(7)

式中：

F2=(-n1s′+1)σ-cs′-q-γ(g-s)；

上述模型是變分學(xué)中的等周模型，可轉(zhuǎn)化為無約束泛函極值模型，構(gòu)造泛函J*。

(8)

F=F0+λ1F1+λ2F2

式中：λ1、λ2為拉格朗日乘子。變分模型的歐拉微分方程、邊界條件及可動(dòng)邊界處的橫截條件為

1)Euler微分方程

(9)

(10)

2)約束方程

同式(6)、式(7)。

3)邊界條件

s(0)=0

(11)

s(x1)=g(x1)

(12)

4)橫截條件

(13)

2 被動(dòng)土壓力變分計(jì)算模型的求解

由式(9)，可得到

(14)

進(jìn)行坐標(biāo)平移，引入新坐標(biāo)

u=x+λ2，v=s-λ1

(15)

坐標(biāo)平移后的模型見圖2。

圖2 坐標(biāo)變換后的計(jì)算模型Fig.2 Computation model after coordinate

令w=v/u，則微分方程式(14)變?yōu)?/p>

(16)

分離變量得通解為

ln[u2(1+w2)]=2n1arctanw+z5

(17)

平移后的坐標(biāo)換成極坐標(biāo)

u=rcosθ，v=rsinθ

(18)

式(17)變?yōu)?/p>

r=z6en1θ

(19)

式中：z5、z6為任意積分常數(shù)。

由s(0)=0得原坐標(biāo)原點(diǎn)O在新坐標(biāo)中為u0=λ2，v0=-λ1，新坐標(biāo)中O點(diǎn)的極坐標(biāo)為(r0,θ0)，則滑裂面方程為

r=r0e-n1(θ0-θ)

(20)

滑裂面為對(duì)數(shù)螺旋面。

由式(10)得

-2n1σ+(-n1x+s-λ1-n1λ2)σ′-

γx-λ2γ-2c=0

(21)

式(21)在新坐標(biāo)下的極坐標(biāo)形式為

(22)

式(22)的通解為

式中：z7為積分常數(shù)；θ1為任意角度，可取θ1=0。

σ=z7e-2n1θ-

(23)

由式(13)可得A點(diǎn)處正應(yīng)力為

σ(x1)=σ(θ1)=

(24)

將式(24)代入式(23)，得

z7= e2n1θ1·

上述變分問題只包含兩個(gè)未知的拉格朗日常數(shù)λ1、λ2，可由式(6)和式(7)聯(lián)立求出，相當(dāng)于求式(25)函數(shù)Φ的零值問題。

(25)

式(25)的解可通過求解函數(shù)Φ的極小值且極小值為0得到，可采用Matlab提供的Fminsearch函數(shù)進(jìn)行求解。

3 算例分析

設(shè)擋土墻墻高6 m，墻后為砂土，重度γ=18 kN/m3，內(nèi)聚力c=0，內(nèi)摩擦角φ=30°，擋土墻傾角α=70°，擋墻與土體的摩擦角δ=10°，坡面傾角β=20°，上部堆載q=10 kPa。

計(jì)算結(jié)果見圖3，圖中Φ曲線存在一Φ=0的水平直線段，此直線段的ξ系數(shù)變化范圍就是被動(dòng)土壓力合力作用點(diǎn)的位置系數(shù)范圍，存在上下界限值(此例中下限值ξd=0.336 9，上限值ξu=0.535 5)，在此范圍內(nèi)，Φ=0，也即是說，當(dāng)土壓力的合力作用點(diǎn)位于距墻鍾2.02～3.21 m范圍內(nèi)時(shí)，墻后土體可以達(dá)到極限平衡狀態(tài)。圖4為被動(dòng)土壓力合力隨作用點(diǎn)位置系數(shù)ξ的變化曲線，圖5為滑裂面隨作用點(diǎn)位置系數(shù)ξ的變化情況。隨著作用點(diǎn)位置系數(shù)的增大，被動(dòng)土壓力呈非線性增長，在作用點(diǎn)位置下限處，被動(dòng)土壓力最小，滑裂面為對(duì)數(shù)螺旋曲面，但隨著作用點(diǎn)位置的上移，曲率半徑逐漸增大，到上限處變?yōu)槠矫妫藭r(shí)，被動(dòng)土壓力值達(dá)到最大。

圖3 Φ函數(shù)計(jì)算結(jié)果Fig.3 Calculated result of function Φ

圖4 被動(dòng)土壓力隨系數(shù)ξ的變化曲線Fig.4 The curves of varied passive pressure according the coefficient ξ

圖5 不同ξ對(duì)應(yīng)的不同滑裂面曲線Fig.5 The different curves of slip face according to different values of

4 與庫侖土壓力理論結(jié)果對(duì)比

按變分法的計(jì)算結(jié)果與按庫侖公式的計(jì)算結(jié)果見表1?？梢钥闯?，當(dāng)作用點(diǎn)位置在上界限時(shí)，即滑裂面為平面時(shí)，被動(dòng)土壓力值與按庫侖公式得到的土壓力值是一致的，但合力作用點(diǎn)位置卻不一致，這主要是因?yàn)閹靵隼碚摷俣ㄍ翂毫€性分布，且不考慮土楔體力矩平衡條件。按變分法的計(jì)算結(jié)果，當(dāng)滑裂面為平面時(shí)，滑裂面上的應(yīng)力分布呈非線性，相應(yīng)的土壓力分布也應(yīng)是非線性的。

表1 變分法與庫侖土壓力理論的計(jì)算結(jié)果比較Table 1 Result comparing of passive earth pressure using variational method and using Coulomb theory

圖6所示為庫侖理論的擋土墻模型，取墻后部分三角形滑動(dòng)土楔體ABD作為研究對(duì)象，如圖7所示。Pp(y)為墻背對(duì)滑楔體的支撐反力合力，也即被動(dòng)土壓力合力；R(y)為不動(dòng)土體對(duì)滑楔體的反力合力；G(y)為土體ABD的重量；Q(y)為作用在AD面上豎向壓力。

圖6 庫侖剛性擋土墻模型圖Fig.6 COULOMB’s Model of retaining

圖7 土楔體ABD受力分析Fig.7 mechanical analysis on sliding wedge

土楔體ABD的力平衡條件見圖8，由三角形正弦定理可得

(26)

令pp(y)為墻背對(duì)滑楔體的支撐反力強(qiáng)度，也即被動(dòng)土壓力強(qiáng)度，r(y)為不動(dòng)土體對(duì)滑楔體的反力強(qiáng)度，即

(27)

將式(27)代式(26)，得

(28)

考慮幾何關(guān)系

(29)

式(28)兩邊對(duì)y求導(dǎo)，得

(30)

圖8 土楔體ABD的力平衡條件Fig.8 Force equilibrium of sliding wedge

圖9 土壓力強(qiáng)度分布圖Fig.9 Distribution of earth

表1中的安全系數(shù)一欄是指按庫侖公式進(jìn)行擋墻的抗傾覆設(shè)計(jì)，取1.5的安全系數(shù)時(shí)所對(duì)應(yīng)的按本文方法計(jì)算的抗傾覆安全系數(shù)范圍。若按庫侖理論進(jìn)行設(shè)計(jì)，實(shí)際的被動(dòng)土壓力合力作用點(diǎn)位置比庫侖理論設(shè)定的要高，其安全系數(shù)達(dá)不到1.5的要求，所以，應(yīng)優(yōu)化擋墻的結(jié)構(gòu)，控制擋墻的變位模式，使合力作用點(diǎn)降低，提高抗傾覆安全系數(shù)。

5 坡面起伏和非均勻超載對(duì)被動(dòng)土壓力的影響

設(shè)擋墻高6 m，墻后土重度γ=18 kN/m3，內(nèi)聚力c=10 kPa，內(nèi)摩擦角φ=20°，擋土墻傾角α=70°， 坡面形狀函數(shù)g(x)和非均勻超載q(x)均用三角函數(shù)模擬坡面的起伏和非均勻超載。表2為計(jì)算結(jié)果，可以看出，被動(dòng)土壓力合力和作用點(diǎn)受坡面的起伏以及坡面超載的不均勻性影響不能忽視。

表2 考慮坡面起伏及非均勻超載的計(jì)算結(jié)果Table 2 Computed results considering surface undulation of earth filling and uneven surface load

6 結(jié)論

基于墻后滑楔體整體極限平衡方程，利用變分法原理推導(dǎo)了被動(dòng)土壓力泛函極值的變分模型，提出了相應(yīng)的計(jì)算方法，當(dāng)作用點(diǎn)位置已知時(shí)，可有效確定被動(dòng)土壓力大小和滑裂面形狀位置。算例分析表明，墻后土體的極限平衡狀態(tài)對(duì)應(yīng)于作用點(diǎn)位置系數(shù)范圍，隨著作用點(diǎn)位置系數(shù)的增大，被動(dòng)土壓力呈非線性增長，在作用點(diǎn)位置下限處，被動(dòng)土壓力最小，滑裂面為對(duì)數(shù)螺旋曲面，但隨著作用點(diǎn)位置的上移，滑裂面曲率半徑逐漸增大，到上限處變?yōu)槠矫妗４藭r(shí)，被動(dòng)土壓力值達(dá)到最大，且與按庫侖理論計(jì)算的被動(dòng)土壓力一致，但作用點(diǎn)位置位于墻背中點(diǎn)以上，與庫侖理論所假定的合力作用點(diǎn)位置不一致。