基于網(wǎng)格自適應(yīng)的飛行器防熱材料熱傳導(dǎo)系數(shù)辨識(shí)

章 勝，周 宇，錢煒祺，何開(kāi)鋒

(1. 空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，綿陽(yáng) 621000；2. 中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心計(jì)算空氣動(dòng)力研究所，綿陽(yáng) 621000)

0 引 言

高超聲速飛行器在飛行過(guò)程中會(huì)遇到復(fù)雜的氣動(dòng)加熱現(xiàn)象，其對(duì)防隔熱材料技術(shù)提出了嚴(yán)苛的要求，發(fā)展?jié)M足設(shè)計(jì)熱性能要求的材料是飛行器完成既定任務(wù)的前提。氣動(dòng)熱辨識(shí)是利用飛行器表面或防熱層內(nèi)部的溫度測(cè)量結(jié)果來(lái)反演飛行器表面熱流、防熱材料熱物性參數(shù)等氣動(dòng)熱相關(guān)物理量的技術(shù)，其研究包括飛行器表面熱流時(shí)間變化歷程的辨識(shí)、防熱材料熱物性參數(shù)隨溫度變化規(guī)律的辨識(shí)與防熱材料熱源項(xiàng)的辨識(shí)等[1]，這些研究對(duì)促進(jìn)高超聲速飛行器的發(fā)展具有重要意義[2]。

氣動(dòng)熱辨識(shí)問(wèn)題又可稱為熱傳導(dǎo)反演問(wèn)題，其是熱傳導(dǎo)物理問(wèn)題的逆問(wèn)題，它在數(shù)學(xué)上的描述是針對(duì)偏微分方程系統(tǒng)的優(yōu)化問(wèn)題。近年來(lái)，國(guó)外學(xué)者在氣動(dòng)熱辨識(shí)技術(shù)的理論研究、數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證等方面開(kāi)展了大量深入的研究工作并在工程實(shí)際中得到了應(yīng)用[3]。材料熱傳導(dǎo)系數(shù)的辨識(shí)是典型的熱傳導(dǎo)逆問(wèn)題，熱傳導(dǎo)系數(shù)一般是溫度的連續(xù)函數(shù)[4]，其辨識(shí)問(wèn)題是無(wú)限維的約束泛函極值問(wèn)題。對(duì)于此類問(wèn)題，一般是通過(guò)參數(shù)化離散手段將其轉(zhuǎn)化為有限維優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。目前，工程上材料熱傳導(dǎo)系數(shù)辨識(shí)中通常假設(shè)熱傳導(dǎo)系數(shù)為常值或隨溫度的變化規(guī)律確定，在此前提下進(jìn)一步采用穩(wěn)態(tài)法、激光法、靈敏度法等方法進(jìn)行參數(shù)反演[1-3]。為了更準(zhǔn)確地辨識(shí)熱傳導(dǎo)系數(shù)，獲得其隨溫度的變化規(guī)律，學(xué)者們將熱傳導(dǎo)系數(shù)值按溫度區(qū)間分段離散，采用折半法[5]、復(fù)變量求導(dǎo)法[6]、遺傳算法[7]等方法辨識(shí)各溫度段的數(shù)值。由于反演問(wèn)題是數(shù)學(xué)上的不適定問(wèn)題，當(dāng)測(cè)量誤差較大或反演數(shù)學(xué)模型和真實(shí)物理模型存在明顯差異時(shí)，辨識(shí)結(jié)果中會(huì)出現(xiàn)較大的數(shù)值振蕩，甚至可能出現(xiàn)熱傳導(dǎo)系數(shù)值小于零的違背物理實(shí)際的情況。因此，在熱傳導(dǎo)系數(shù)辨識(shí)中有必要引入相應(yīng)的物理約束，從而得到更可信的結(jié)果。文獻(xiàn)[8]在反演材料熱傳導(dǎo)系數(shù)的遺傳算法基礎(chǔ)上，考慮熱傳導(dǎo)系數(shù)值大于零、熱傳導(dǎo)系數(shù)值隨溫度增加而增加的物理約束，建立了熱傳導(dǎo)系數(shù)辨識(shí)方法并進(jìn)行了算例考核。

從數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)的角度講，辨識(shí)問(wèn)題也可以納入機(jī)器學(xué)習(xí)的范疇，由統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論可知：測(cè)量樣本固定時(shí)，模型的復(fù)雜度越高，則模型的學(xué)習(xí)能力也越強(qiáng)，但過(guò)于復(fù)雜的模型通常會(huì)使得泛化性能降低[9]。對(duì)于觀測(cè)數(shù)據(jù)比較有限同時(shí)噪聲特性不清楚的辨識(shí)問(wèn)題，研究中需要考慮在數(shù)據(jù)擬合誤差與模型泛化能力之間進(jìn)行折中，避免將干擾噪聲誤認(rèn)為物理量變化規(guī)律的“過(guò)擬合”問(wèn)題。另一方面，對(duì)于參數(shù)化離散得到的非線性規(guī)劃問(wèn)題(Non-linear programming, NLP)，不同于常用的迭代優(yōu)化求解方法[10-11]，基于動(dòng)態(tài)優(yōu)化方程(Dynamic optimization equation, DOE)的方法是一種將NLP轉(zhuǎn)化為初值問(wèn)題(Initial-value problem, IVP)加以求解的方法[12-19]。雖然該類方法的研究最早可以溯源到二十世紀(jì)40年代[12]，但是其并沒(méi)有得到廣泛的關(guān)注，由于未知參數(shù)的尋優(yōu)過(guò)程可以通過(guò)一定的動(dòng)力學(xué)方程描述，其可能更適宜于在線參數(shù)辨識(shí)與控制器設(shè)計(jì)(作為增廣狀態(tài))。針對(duì)考慮物理約束的高超聲速飛行器防熱材料熱傳導(dǎo)系數(shù)辨識(shí)問(wèn)題，本文將采用多項(xiàng)式參數(shù)化建模技術(shù)，借鑒機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中防止“過(guò)擬合”的樣本驗(yàn)證手段設(shè)置網(wǎng)格自適應(yīng)調(diào)節(jié)準(zhǔn)則，對(duì)基于DOE的優(yōu)化方法在氣動(dòng)熱辨識(shí)領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行探索，實(shí)現(xiàn)材料熱傳導(dǎo)系數(shù)的準(zhǔn)確辨識(shí)。

1 材料熱傳導(dǎo)系數(shù)辨識(shí)模型

高超聲速飛行器熱防護(hù)層一般為多層多孔隙結(jié)構(gòu)，在一定的合理假設(shè)下，防熱層的三維熱傳導(dǎo)問(wèn)題可以近似為一維問(wèn)題進(jìn)行研究[20-21]。為確定防熱材料的熱傳導(dǎo)物性，工程中可對(duì)其不同方向的特性分別加以研究，確定材料熱傳導(dǎo)系數(shù)的實(shí)驗(yàn)原理圖如圖1所示，在材料上下邊界為絕熱邊界條件的假設(shè)下，材料特定方向的傳熱問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為一維傳熱問(wèn)題，當(dāng)邊界條件和觀測(cè)條件為下述兩種情形之一時(shí)，可以進(jìn)行材料熱傳導(dǎo)系數(shù)的反演[8]。

1)材料內(nèi)部無(wú)測(cè)點(diǎn)溫度測(cè)量的情況：左右邊界分別給定溫度或熱流量，將其中一個(gè)邊界上除邊界條件給定的狀態(tài)量外的另一狀態(tài)量作為觀測(cè)量。

2)材料內(nèi)部有測(cè)點(diǎn)溫度測(cè)量的情況：左右邊界分別給定溫度或熱流量，將內(nèi)部測(cè)點(diǎn)的溫度作為觀測(cè)量。

圖1 反演材料熱傳導(dǎo)系數(shù)的實(shí)驗(yàn)原理示意圖Fig.1 Sketch of the experimental principle for thermal conductivity inversion

本文針對(duì)某種典型防熱材料，對(duì)第二種情形下的材料熱傳導(dǎo)系數(shù)辨識(shí)進(jìn)行研究，在材料左右邊界給定溫度邊界條件，在材料內(nèi)部選取一個(gè)或多個(gè)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行溫度測(cè)量來(lái)對(duì)材料的熱物性參數(shù)進(jìn)行反演。材料的傳熱方程為

(1)

式中:T(x,t)為溫度;ρ為材料密度;Cp為材料比熱;k(T)為材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)，它是溫度T的函數(shù)。方程的邊界條件為

(2)

初始條件為

t=0∶T(x,0)=Tt0

(3)

觀測(cè)方程為

(4)

基于邊界條件式(2)與初始條件式(3)，給定熱傳導(dǎo)系數(shù)k(T)，可以采用有限差分法[22]實(shí)現(xiàn)熱傳導(dǎo)正問(wèn)題的數(shù)值求解。對(duì)于逆問(wèn)題，此時(shí)熱傳導(dǎo)系數(shù)k(T)未知，需要通過(guò)觀測(cè)方程式(4)中的信息對(duì)其進(jìn)行辨識(shí)，在數(shù)學(xué)上該逆問(wèn)題可表示為尋求k(T)使得如下性能指標(biāo)達(dá)到極小

(5)

0≤k(T)

(6)

(7)

綜上，熱傳導(dǎo)系數(shù)辨識(shí)問(wèn)題可整理為如下約束泛函極值問(wèn)題：

s.t.

x=0∶T(0,t)=Tx0

x=L∶T(L,t)=TxL

t=0∶T(x,0)=Tt0

0≤k(T)

(8)

2 辨識(shí)方法

2.1 參數(shù)化離散

參數(shù)化離散是求解形如式(8)類型的約束泛函極值問(wèn)題的有效方法。所有的數(shù)值方法都是通過(guò)參數(shù)化離散手段將無(wú)窮維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限維問(wèn)題加以解決的。在眾多離散方法中，基于多項(xiàng)式的參數(shù)化離散是一種重要的手段，其理論基礎(chǔ)是Weierstrass于1885年提出的多項(xiàng)式逼近定理[23]。事實(shí)上，Weie-rstrass定理正是當(dāng)前流行的求解最優(yōu)控制問(wèn)題的偽譜方法的理論基礎(chǔ)[24-25]。下面首先給出該定理。

(9)

式中:上標(biāo)^指代建模結(jié)果;φi(T)為L(zhǎng)agrange插值多項(xiàng)式，為

(10)

顯然φi(T)滿足

(11)

相應(yīng)的，θi(i=1,2,…,n)的物理意義為溫度Ti(i=1,2,…,n)處的熱傳導(dǎo)系數(shù)值，分析可知熱傳導(dǎo)系數(shù)模型式(9)為n-1階多項(xiàng)式。

另一方面，針對(duì)物理約束式(6)和式(7)，在溫度區(qū)間[Ta,Tb]取N個(gè)節(jié)點(diǎn)(同樣T1=Ta,TN=Tb，但N?n)，則物理約束可以表示為

(12)

采用這種方式，即使對(duì)于熱傳導(dǎo)參數(shù)物性復(fù)雜變化的情形，文中方法也易于處理。

s.t.

x=0∶T(0,t)=Tx0

x=L∶T(L,t)=TxL

t=0∶T(x,0)=Tt0

0≤k(T1)

k(Tj)≤k(Tj+1)j=1,2,…,N-1

(13)

2.2 自適應(yīng)網(wǎng)格迭代算法

為實(shí)現(xiàn)對(duì)未知連續(xù)變量的準(zhǔn)確求解，數(shù)值計(jì)算中通常需要對(duì)離散網(wǎng)格進(jìn)行加密、實(shí)施多次參數(shù)化離散以提高解的精度[26-27]。為改善熱傳導(dǎo)系數(shù)辨識(shí)結(jié)果，文中采用自適應(yīng)網(wǎng)格迭代算法，通過(guò)調(diào)節(jié)熱傳導(dǎo)系數(shù)模型式(9)的階次實(shí)現(xiàn)對(duì)真實(shí)熱傳導(dǎo)系數(shù)的逼近。熱傳導(dǎo)系數(shù)辨識(shí)問(wèn)題基于對(duì)溫度信號(hào)的有限含噪觀測(cè)，通過(guò)使重構(gòu)溫度信息與真實(shí)信號(hào)間誤差最小建立熱傳導(dǎo)系數(shù)辨識(shí)模型。在溫度測(cè)量噪聲特性未知的條件下，該誤差的期望值(即期望風(fēng)險(xiǎn))無(wú)法準(zhǔn)確求解，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論中常用的經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則[28]，采用經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)(文中即式(5)定義的優(yōu)化指標(biāo)J)作為對(duì)期望風(fēng)險(xiǎn)的估計(jì)并使之最小。但是，經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則是建立在測(cè)量信息足夠充分的前提之下，當(dāng)測(cè)量樣本比較有限時(shí)(尤其是通過(guò)飛行試驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù))，經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小不一定代表期望風(fēng)險(xiǎn)最小，反而復(fù)雜的學(xué)習(xí)模型(在本文中，相應(yīng)于多項(xiàng)式模型式(9)階次增加)會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)，即模型泛化性能下降，產(chǎn)生“過(guò)擬合”問(wèn)題。為解決這一問(wèn)題，參考機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的典型做法：采用一定時(shí)域TV上的測(cè)量樣本對(duì)辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，定義“過(guò)擬合”檢驗(yàn)指標(biāo)

(14)

網(wǎng)格自適應(yīng)迭代算法具體實(shí)現(xiàn)為：

為提高計(jì)算效率，從第1次網(wǎng)格迭代開(kāi)始，NLP問(wèn)題式(13)中參數(shù)θ通過(guò)上一次的辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行初始化，即

(15)

2.3 基于DOE的NLP求解方法

針對(duì)參數(shù)化離散得到的NLP，學(xué)者們已發(fā)展了大量的求解方法，如序列二次規(guī)劃方法[10]、內(nèi)點(diǎn)方法[11]等，這些方法通過(guò)離散迭代可以對(duì)NLP進(jìn)行有效求解，但它們的實(shí)現(xiàn)往往比較繁瑣?；贒OE的優(yōu)化方法是一種將NLP轉(zhuǎn)化為IVP加以求解的方法，這類方法具有簡(jiǎn)潔的動(dòng)力學(xué)公式表達(dá)，便于理解與使用。對(duì)于無(wú)約束的優(yōu)化問(wèn)題，學(xué)者們提出了梯度動(dòng)力學(xué)方程[13]與連續(xù)牛頓方程[14]等DOE。為解決包含等式約束與不等式約束的一般NLP，文獻(xiàn)[15-16]建立了求解含等式約束NLP的DOE。通過(guò)松弛參數(shù)技術(shù)，文獻(xiàn)[17-18]將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束，給出了可處理不等式約束的DOE。松弛參數(shù)的引入增加了DOE的維度，對(duì)于含有大量不等式約束的問(wèn)題,這會(huì)引入過(guò)多的待求參數(shù)，增加問(wèn)題復(fù)雜度。文獻(xiàn)[19]利用不等式約束的動(dòng)力學(xué)特性直接對(duì)不等式約束進(jìn)行處理，推導(dǎo)的DOE中避免了松弛參數(shù)的引入。

對(duì)于動(dòng)力學(xué)優(yōu)化方法得到的IVP，可以通過(guò)成熟的常微分方程積分方法進(jìn)行計(jì)算，易于實(shí)現(xiàn)數(shù)值求解。尤其DOE對(duì)最優(yōu)解的求解有理論保證，能嚴(yán)格保證解的全局收斂性，而且還可以得到經(jīng)典最優(yōu)性條件中Lagrange乘子與Karush-Kuhn-Tucker(KKT)乘子的解析表達(dá)式，直觀地揭示了乘子參數(shù)與優(yōu)化參數(shù)之間的理論關(guān)系[19]。

考慮一般形式的NLP，性能指標(biāo)為

minJ=f(θ)

(16)

受到如下的不等式與等式約束：

g(θ)≤0

(17)

h(θ)=0

(18)

式中:θ∈Rn為待優(yōu)化參數(shù);f:Rn→R為一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的標(biāo)量函數(shù);g:Rn→Rp、h:Rn→Rq為一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的矢量函數(shù)。為建立求解NLP的DOE，文獻(xiàn)[19]定義了如下達(dá)可行性動(dòng)力學(xué)優(yōu)化問(wèn)題，這是一個(gè)二次規(guī)劃問(wèn)題，為

s.t.

(19)

式中：fθ與(gi)θ分別為函數(shù)f與gi對(duì)參數(shù)θ的梯度(列)矢量，hθ代表Jacobi矩陣，Kθ、Kh與kg分別為正定矩陣與正常數(shù)，τ為描述參數(shù)演化的虛擬時(shí)間維度，指標(biāo)集Ⅱ?yàn)?/p>

Ⅱ={i|gi≥0,i=1,2,…,p}

(20)

定理2[19].對(duì)于上述定義的NLP，給定任意初始條件θτ=0，求解如下DOE

(21)

式中:Lagrange乘子參數(shù)πE∈Rq與KKT乘子參數(shù)πI∈Rp通過(guò)下式確定

(22)

(23)

(24)

(25)

i=1,2,…,n

(26)

式(26)中需要確定溫度T對(duì)θi(i=1,2,…,n)的梯度，它們可以通過(guò)求解下述靈敏度方程獲得

i=1,2,…,n

(27)

相應(yīng)的邊界條件為

(28)

初始條件為

(29)

對(duì)于該靈敏度偏微分方程組，同樣可以采用有限差分方法進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于NLP問(wèn)題式(13)中的N個(gè)約束，由于熱傳導(dǎo)系數(shù)對(duì)參數(shù)θ的梯度為

(30)

基于上式，容易求得約束函數(shù)對(duì)參數(shù)θ的梯度。

3 算例分析

算例中研究的防熱材料的參數(shù)為ρ=1000 kg·m-3，Cp=1000 J·kg-1·K-1，材料長(zhǎng)為L(zhǎng)=10 mm，左右邊界的溫度條件如圖2中“x=0 mm”,“x=10 mm”所示，為

初始條件為

T(x,0)=600 K

測(cè)點(diǎn)數(shù)為m=2個(gè)，它們分別位于“x=3 mm”和“x=6 mm”位置。假設(shè)材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)隨溫度的變化規(guī)律為

基于熱傳導(dǎo)方程可計(jì)算出兩個(gè)測(cè)點(diǎn)的溫度歷程，圖2給出了無(wú)測(cè)量噪聲情況下“x=3 mm”和“x=6 mm”處的溫度變化曲線。

圖2 溫度邊界條件及測(cè)點(diǎn)理想溫度曲線Fig.2 Temperature boundary conditions and noiseless measurement curves

3.1 無(wú)測(cè)量噪聲情形

采用文中的辨識(shí)方法，第4次網(wǎng)格迭代后“過(guò)擬合”檢驗(yàn)指標(biāo)增加，因此最終辨識(shí)熱傳導(dǎo)系數(shù)采用第3次網(wǎng)格迭代后的計(jì)算結(jié)果，表1給出了網(wǎng)格迭代過(guò)程中的具體結(jié)果，從表1中可以看到，最終辨識(shí)的熱傳導(dǎo)系數(shù)對(duì)應(yīng)的優(yōu)化與檢驗(yàn)指標(biāo)值均很小，這說(shuō)明其與真實(shí)值很接近。

表1 無(wú)測(cè)量噪聲情形的辨識(shí)結(jié)果Table 1 Identified results without measurement noise

圖3給出了初始網(wǎng)格下NLP參數(shù)動(dòng)力學(xué)發(fā)展曲線，可以看到在設(shè)置的Kθ下參數(shù)收斂很快，在τ=1 s時(shí)結(jié)果已趨于穩(wěn)定，這說(shuō)明了本文發(fā)展的DOE的高效性。圖4給出了第4次迭代網(wǎng)格下NLP參數(shù)辨識(shí)的過(guò)程曲線，最終結(jié)果與初始值幾乎完全相同，表明文中基于上一步辨識(shí)結(jié)果設(shè)置參數(shù)初值的方式可以提供良好的初始值。根據(jù)表1的辨識(shí)結(jié)果，圖5給出了初始網(wǎng)格下得到的熱傳導(dǎo)系數(shù)、最終辨識(shí)的熱傳導(dǎo)系數(shù)與真實(shí)系數(shù)的比較曲線，可以看到辨識(shí)結(jié)果很好地滿足了實(shí)際物理約束，但線性近似與真實(shí)曲線之間還是存在較明顯的差異，而最終辨識(shí)結(jié)果與真實(shí)曲線幾乎完全重合，最大誤差僅為3.5020×10-5W·m-1·K-1。

圖3 無(wú)測(cè)量噪聲情形初始網(wǎng)格參數(shù)辨識(shí)曲線Fig.3 Identification curve for the parameters of the initial mesh without measurement noise

圖4 無(wú)測(cè)量噪聲情形第4次迭代網(wǎng)格參數(shù)辨識(shí)曲線Fig.4 Identification curve for the parameters of the 4th refined mesh without measurement noise

圖5 無(wú)測(cè)量噪聲情形辨識(shí)熱傳導(dǎo)系數(shù)與真實(shí)系數(shù)比較Fig.5 Comparison between the identified thermal conductivity without measurement noise and the true quantity

3.2 含測(cè)量噪聲情形

進(jìn)一步考慮測(cè)量中存在噪聲的情形，假設(shè)噪聲服從正態(tài)分布，均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為σ=4 K，辨識(shí)計(jì)算條件與無(wú)噪聲情形完全相同。表2給出了熱傳導(dǎo)系數(shù)辨識(shí)過(guò)程中的具體計(jì)算結(jié)果，其中第2次網(wǎng)格迭代后的結(jié)果對(duì)應(yīng)的“過(guò)擬合”檢驗(yàn)指標(biāo)最小，說(shuō)明此時(shí)達(dá)到了“經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)”與“結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)”的最佳折中。注意不同于無(wú)測(cè)量噪聲情形，由于噪聲的影響，辨識(shí)結(jié)果對(duì)應(yīng)的指標(biāo)值并不接近于0值。

圖6給出了辨識(shí)的熱傳導(dǎo)系數(shù)與真實(shí)系數(shù)的比較曲線，從圖中看到存在噪聲時(shí)候辨識(shí)結(jié)果與真實(shí)曲線之間有一定的細(xì)微差別(最大誤差為0.0165 W·m-1·K-1)，但是其仍然很好地反映了真實(shí)物理量的變化規(guī)律。為進(jìn)行比較，圖7給出了第3次迭代網(wǎng)格下的辨識(shí)結(jié)果，表2中的檢驗(yàn)指標(biāo)顯示此時(shí)結(jié)果出現(xiàn)了“過(guò)擬合”現(xiàn)象，從圖中也看到辨識(shí)的熱傳導(dǎo)系數(shù)與真值間的誤差開(kāi)始增大(最大誤差為0.0744 W·m-1·K-1)。通過(guò)對(duì)比，表明本文自適應(yīng)網(wǎng)格迭代算法“學(xué)習(xí)”到了更接近于真實(shí)物理量的結(jié)果。圖8給出了基于辨識(shí)的熱傳導(dǎo)系數(shù)重構(gòu)的溫度狀態(tài)與測(cè)量量的對(duì)比結(jié)果，可以看到重構(gòu)結(jié)果較好地?cái)M合了測(cè)量信息。

表2 含測(cè)量噪聲情形的辨識(shí)結(jié)果Table 2 Identified results with measurement noise

圖6 有測(cè)量噪聲情形辨識(shí)熱傳導(dǎo)系數(shù)與真實(shí)系數(shù)比較Fig.6 Comparison between the identified thermal conductivity with measurement noise and the true quantity

圖7 有測(cè)量噪聲情形“過(guò)擬合”熱傳導(dǎo)系數(shù)與真實(shí)系數(shù)比較Fig.7 Comparison between the over-fitted thermal conductivity with measurement noise and the true quantity

圖8 溫度測(cè)量結(jié)果與重構(gòu)曲線比較Fig.8 Comparison between the temperature measurement and the reconstructed results

4 結(jié) 論

考慮物理約束的高超聲速飛行器防熱材料熱傳導(dǎo)系數(shù)辨識(shí)是針對(duì)偏微分方程系統(tǒng)的約束泛函極值問(wèn)題，本文對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了有效求解，辨識(shí)結(jié)果較準(zhǔn)確地反映了熱傳導(dǎo)系數(shù)的變化規(guī)律。研究表明本文采用的多項(xiàng)式建模手段可以較好地模擬材料熱傳導(dǎo)系數(shù)的物理特性，發(fā)展的動(dòng)態(tài)優(yōu)化方程能有效求解最優(yōu)參數(shù)，對(duì)于測(cè)量數(shù)據(jù)比較有限的問(wèn)題，借鑒“機(jī)器學(xué)習(xí)”思想，提出的基于“過(guò)擬合”指標(biāo)的網(wǎng)格自適應(yīng)迭代方法能實(shí)現(xiàn)模型準(zhǔn)確性與泛化性能的較好折中。

由于熱傳導(dǎo)系數(shù)的模型結(jié)構(gòu)是通過(guò)“學(xué)習(xí)”確定，本文方法相較于之前確定模型結(jié)構(gòu)的辨識(shí)方法更具靈活性?；趧?dòng)態(tài)優(yōu)化方程的非線性規(guī)劃方法在工程上的應(yīng)用較新穎，本文工作也證明了這種方法的有效性。在本文中，三維傳熱問(wèn)題是簡(jiǎn)化為一維問(wèn)題加以求解，為更準(zhǔn)確地獲得材料的熱傳導(dǎo)物性，下一步將針對(duì)多維情形的問(wèn)題開(kāi)展研究。